（江苏专用）2015届高考数学 考前三个月 必考题型过关练（打包44套）理
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（江苏专用）2015届高考数学 考前三个月 必考题型过关练（打包44套）理,江苏,专用,高考,数学,考前,三个月,必考,题型,过关,打包,44
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第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径题型一与抽象函数有关的函数性质问题例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的_条件破题切入点周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件答案充要解析f(x)在R上是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称f(x)为0,1上的增函数，f(x)为1,0上的减函数又f(x)的周期为2，f(x)为区间14,043,4上的减函数f(x)为3,4上的减函数，且f(x)的周期为2，f(x)为1,0上的减函数又f(x)在R上是偶函数，f(x)为0,1上的增函数由知“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件题型二与抽象函数有关的函数零点问题例2设函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，则方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上的根的个数为_破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识答案805解析f(7x)f(7x)f(2(5x)f(2(5x)f(3x)，即f(x10)f(x)，所以函数的周期为10，且对称轴为x2，x7，在0,10内，f(1)f(3)f(11)f(13)，所以一个周期内只有2个零点，在0,2 011内2 011201101有20121403个，在2 011,0内2 011201(10)1，有201个周期且f(1)0，此时有2012402个零点，合计805.题型三与抽象函数有关的新概念问题例3设V是全体平面向量构成的集合若映射f：VR满足：对任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意R，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，则称映射f具有性质P，现给出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性质P的映射为_(写出所有具有性质P的映射的序号)破题切入点准确把握性质P的含义答案解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)对于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)，而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，具有性质P.对于，f2(m)x2y，设a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又是任意实数，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故不具有性质P.对于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性质P.综上，具有性质P的映射的序号为.总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法1设f(x)为偶函数，对于任意的x0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)_.答案8解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当x1时，f(21)(2)f(21)，f(3)(2)48，f(3)8.2对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的_条件答案必要不充分解析若函数yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)此时|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出yf(x)为奇函数，故“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要不充分条件3若f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又f(2)0，则xf(x)0的解集为_答案(2,0)(0,2)解析因为f(x)为奇函数，且f(2)0，所以f(2)0.作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：当2x0，所以xf(x)0；当0x2时，f(x)0，所以xf(x)0.故不等式xf(x)0)，其图象如图所示，则方程f(g(x)0根的个数为_答案6解析由f(x)的图象可知方程f(x)0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因为ax1a0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|0a0，cb0，ab且a，b，c不能构成三角形的三边，02ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.xlog2.log21.0c.ca0，cb0，01,0cxcx0.x(，1)，f(x)0.故正确令a2，b3，c4，则a，b，c可以构成三角形但a24，b29，c216却不能构成三角形，故正确ca，cb，且ABC为钝角三角形，a2b2c20，f(2)a2b2c21时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1、x2(0，)，且x1x2，则1.当x1时，f(x)0.f()0，即f(x1)f(x2)0，有f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上单调递减 (3)由f()f(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2.函数f(x)在区间(0，)上单调递减，原不等式为f(|x|)9，x9，不等式的解集为x|x912设集合Pn1,2，n，nN*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：APn；若xA，则2xA；若xPnA，则2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)当n4时，符合条件的集合A为：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶数xPn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是xm2k，其中m为奇数，kN*.由条件知，若mA，则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)- 8 -第11练寻图有道，破解有方函数的图象问题题型一对函数图象的直接考查例1函数y的图象大致是_破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值答案解析由3x10得x0，函数y的定义域为x|x0，可排除；当x1时，y0，可排除；当x2时，y1，当x4时，y，但从的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除.故符合要求题型二对函数零点的考查例2已知函数f(x)满足f(x)f()，当x1,3时，f(x)ln x若在区间，3内，函数g(x)f(x)ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_破题切入点求出f(x)在，3上的解析式，数形结合解决答案，)解析由题意可知当x在区间，1内时，1,3，f(x)f()ln ln x，则f(x)函数g(x)f(x)ax与x轴有三个不同的交点，即f(x)ax0有三个不同的根，即f(x)ax有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线yax有三个不同的交点，当x在区间，1)上时，函数f(x)的图象与直线yax有一个交点，当x1,3时，函数f(x)的图象与直线yax有两个交点当直线yax过点(3，ln 3)时，a的值满足ln 33a，即a；当直线yax与f(x)相切时，设切点为(x0，ln x0)，则点(x0，ln x0)在直线上，故ln x0ax0，而a(ln x)|，所以ln x01，x0e，即a，函数f(x)的图象与直线yax有三个不同的交点，则a的取值范围是，)题型三综合考查函数图象例3已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)xax，且g(x)在区间0,2上为减函数，求实数a的取值范围破题切入点(1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换(2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母a的取值范围解(1)f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B(x，y)，则B(x，y)在h(x)上，yx2.2yx2，yx，即f(x)x.(2)g(x)x2ax1，又g(x)在0,2上为减函数，2，即a4.a的取值范围为(，4总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确1设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是_答案(3,1)(3，)解析画出分段函数的图象如图，令f(x)f(1)，得x3,1,3.所以当f(x)f(1)时，必有x(3,1)(3，)2已知函数y，将其图象向左平移a(a0)个单位，再向下平移b(b0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为_答案1解析图象平移后的函数解析式为yb，由题意知b0，ab1.3(2014山东改编)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案(，1)解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)4如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为_答案2解析由图象知f(3)1，1，f()f(1)2.5(2014湖北改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为_答案，解析因为当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以当0xa2时，f(x)(a2x2a2x3a2)x；当a2xx的解集为_答案2，)(0，)解析依题意，画出yf(x)与yx的图象，如图所示，注意到yf(x)的图象与直线yx的交点坐标是(，)和(，)，结合图象可以求得解集为2，)(0，)7已知定义在R上的函数f(x)满足：函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称；对xR，f(x)f(x)成立；当x(，时，f(x)log2(3x1)则f(2 014)_.答案2解析由知函数yf(x)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由知函数图象关于直线x对称，即f(x)f(x)，由奇函数可得f(x)f(x)，据此可推出f(x)f(3x)，则有f(x)f(x3)，故函数以3为周期，因此f(2 014)f(1)f(1)log242.8已知函数f(x)x21的定义域为a，b(ab)，值域为1,5，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是_答案4解析由f(x)x211，得x0；由f(x)x215，得x24，即x2.如图所示，根据题意，得或所以点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，其面积为4.9(2014江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x)|x22x|.若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_答案(0，)解析作出函数yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)，观察图象可得0a.10方程1的曲线即为函数yf(x)的图象，对于函数yf(x)，有如下结论：f(x)在R上单调递减；函数F(x)4f(x)3x不存在零点；函数yf(x)的值域是R；f(x)的图象不经过第一象限其中正确的有_答案解析由方程1可知，x，y不可能同时大于0，分类讨论：当x0，y0时，1表示双曲线的一部分；当x0，y0时，1表示椭圆的一部分；当x0，y2a(x2)4.解(1)b0，kf(x).(2)设M(x，y)是曲线yg(x)上任意一点，由于函数g(x)与f(x)的图象关于直线yx对称，所以M(x，y)关于直线yx的对称点M(y，x)必在曲线yf(x)上，所以x，即yx2，所以g(x)x2(x0)，于是g(x)g(x2)2a(x2)4.若a2，则不等式的解集为x|x2；若a2，则不等式的解集为x|xa12已知函数yf(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2x)(1)证明：函数yf(x)的图象关于直线x2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x0,2时，f(x)2x1，求x4,0时f(x)的表达式(1)证明设P(x0，y0)是函数yf(x)图象上任一点，则y0f(x0)，点P关于直线x2的对称点为P(4x0，y0)因为f(4x0)f2(2x0)f2(2x0)f(x0)y0，所以P也在yf(x)的图象上，所以函数yf(x)的图象关于直线x2对称(2)解当x2,0时，x0,2，所以f(x)2x1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)2x1，x2,0当x4，2时，4x0,2，所以f(4x)2(4x)12x7，而f(4x)f(x)f(x)，所以f(x)2x7，x4，2所以f(x)- 7 -第12练函数的零点关键抓住破题题眼题型一函数零点所在区间问题例1函数f(x)ln 的零点所在的大致区间是(n，n1)，则n_.破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间答案2解析f(x)ln ln(x1)，函数的定义域为(1，)当1x2时，ln(x1)0，所以f(x)0，故函数在(1,2)上没有零点f(2)ln 110，f(3)ln 2，因为22.828，所以e，故 ln eln ，即1ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2,3)上必存在零点又由复合函数的单调性判断方法可知f(x)在(1，)单调递减，故n2.题型二函数零点个数问题例2已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,1内有且只有一个根x，则f(x)0在区间0,2 014内根的个数为_破题切入点由条件推出f(x)是周期等于2的周期函数，且关于直线x1对称根据f()0，可得f()0，从而得到函数f(x)在一个周期内的零点个数，最后得到f(x)0在区间0,2 014内根的个数答案2 014解析由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)，可知函数f(x)关于直线x1对称，因为函数f(x)0在0,1内有且只有一个根x，所以函数f(x)0在区间0,2 014内根的个数为2 014.题型三由函数零点求参数范围问题例3函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决答案a解析由f(x2)f(x)得函数的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，设yf(x)，yax2a，作出函数yf(x)，yax2a的图象，如图，要使方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则直线yax2aa(x2)的斜率满足kAHakAG，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以a0)的解的个数是_答案2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点3定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为_答案12a解析当0x1时，f(x)0.由F(x)f(x)a0，画出函数yf(x)与ya的图象如图函数F(x)f(x)a有5个零点当1x0时，0x1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1x0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)f(x)a(0a0时，由f(x)0，即ln(x2x1)0，得x2x11，解得x0(舍去)或x1.当x0时，f(x)exx2，f(x)ex10，所以函数f(x)在(，0上单调递减而f(0)e00210，故函数f(x)在(2,0)上有且只有一个零点综上，函数f(x)有两个零点5(2013天津改编)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_答案2解析当0x1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，综上有两个零点6已知函数f(x)则下列关于函数yf(f(x)1的零点个数的判断正确的是_当k0时，有3个零点；当k0时，有4个零点；当k0时，f(f(x)1，综合图(1)分析，则f(x)t1(，)或f(x)t2(0,1)对于f(x)t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点当k0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析由于2a3b4，故f(1)loga11b1b0，而0loga21,2b(2，1)，故f(2)loga22b0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n2.8方程2xx23的实数解的个数为_答案2解析方程变形为3x22x()x，令y13x2，y2()x.如图所示，由图象可知有2个交点9(2014连云港模拟)已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_答案解析若a0，则f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.10(2014天津)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_答案1a0)当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点故a2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点故实数a的取值范围是1a1，h(x)e3x3aex，x0，ln 2，求h(x)的极小值；(3)设F(x)2f(x)3x2kx(kR)，若函数F(x)存在两个零点m，n(0m0,2x2，当且仅当x时等号成立故(2x)min2，所以a2.(2)由(1)知，1a2.令ext，则t1,2，则h(t)t33at.h(t)3t23a3(t)(t)由h(t)0，得t或t(舍去)，a(1,2，1,2，若1t，则h(t)0，h(t)单调递减；若0，h(t)单调递增故当t时，h(t)取得极小值，极小值为h()a3a2a.(3)设F(x)在(x0，F(x0)的切线平行于x轴，其中F(x)2ln xx2kx.结合题意，有得2ln (mn)(mn)k(mn)所以k2x0.由得k2x0.所以ln .设u(0,1)，式变为ln u0(u(0,1)设yln u(u(0,1)，y0，所以函数yln u在(0,1)上单调递增，因此，yy|u10，即ln u0.也就是，ln ，此式与矛盾所以F(x)在(x0，F(x0)处的切线不能平行于x轴12(2014四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点所以a0，g(1)e2ab0.由f(1)0，有abe10，g(1)1a0.解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e2a1.- 9 -第13练以函数为背景的创新题型题型一新定义函数名称的问题例1定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为_破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证答案解析等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)22 2f2(an1)；f(an)f(an2)2f2(an1)；f(an)f(an2)ln |an|ln |an2|(ln |an1|)2f2(an1)题型二新定义函数的性质或部分性质问题例2设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使得C成立(其中C为常数)，则称函数yf(x)在D上的均值为C.现在给出下列4个函数：yx3；y4sin x；ylg x；y2x.则在其定义域上的均值为2的所有函数是_破题切入点如何求均值？按定义，能否使均值为2?答案解析经验证，是符合题意的；对于，x2不唯一；对于，若满足题中的定义，则f(x1)f(x2)4，f(x2)4f(x1)，由x1的任意性，知f(x2)需满足能取到负值，而这是不可能的总结提高有关以函数为背景的创新题型，一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把握新定义1设D(x，y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为_答案解析如图，平面区域D为阴影部分，当t1时，S0，排除；当t时，SSmax，排除.2设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有|f(x)g(x)|k(k0)，则称f(x)与g(x)在a，b上是“k度和谐函数”，a，b称为“k度密切区间”设函数f(x)ln x与g(x)在，e上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是_答案1，e1解析设h(x)f(x)g(x)ln xmln x，h(x)，故当x，1)时，h(x)1，所以h()h(e)，故函数h(x)的最大值为h()me1.故函数h(x)在，e上的值域为m1，me1由题意，得|h(x)|e，即eh(x)e，所以解得1m1e.3(2014苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，cR，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”已知函数f(x)是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是_答案，2解析因为对任意的实数x1，x2，x3R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立由f(x)1，设ex1m(m1)，则原函数可化为f(m)1(m1)，当t1时，函数f(m)在(1，)上单调递减，所以f(m)(1，t)，此时2f(x1)f(x2)2t,1f(x3)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需t2，所以1t2；当t1时，f(x)1，显然满足题意；当t1时，函数f(m)在(1，)上单调递增，所以y(t,1)，此时2tf(x1)f(x2)2，tf(x3)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需满足2t1，所以t0，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，x02.6(2014辽宁改编)已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0,1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为_答案解析取y0，则|f(x)f(0)|x0|，即|f(x)|x，取y1，则|f(x)f(1)|x1|，即|f(x)|(1x)|f(x)|f(x)|xx，|f(x)|.不妨取f(x)0，则0f(x)，0f(y)，|f(x)f(y)|0，要使|f(x)f(y)|k恒成立，只需k.k的最小值为.7设集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M为“垂直双点集”给出下列四个集合：M(x，y)|y；M(x，y)|ysin x1；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2其中是“垂直双点集”的序号是_答案解析对于，y是以x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90，在同一支上，任意(x1，y1)M，不存在(x2，y2)M，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x1，y1)M，在另一支上也不存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ysin x1，如图1所示，在曲线ysin x1上，对任意的点B(x1，y1)M，总存在点C(x2，y2)M，使得OBOC，即x1x2y1y20成立，故M(x，y)|ysin x1是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ylog2x，如图2所示，在曲线ylog2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|yex2，如图3所示，在曲线yex2上，对任意(x1，y1)M，总存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，例如取(0，1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义8如图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)n.现给出以下命题：f(2)0；f(x)的图象关于点(2,0)对称；f(x)在区间(3,4)上为常数函数；f(x)为偶函数其中真命题为_(写出所有真命题的序号)答案解析如图所示由定义可知2的象为0.即f(2)0；由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；结合图形可知m(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；因为函数的定义域为0,4，不关于原点对称，故函数不是偶函数综上可知命题是正确的9对于函数f(x)，若存在区间Ma，b(其中ag(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)g(x)恒成立，即6x2b，3xb恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得2，即b2，故答案为(2，)11若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)2log2 x，f2(x)log2 (x2)，f3(x)(log2 x)2，f4(x)log2(2x)则“同形”函数是_答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)log2(2x)1log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)log2(x2)的图象故根据新定义得，f2(x)log2 (x2)与f4(x)log2 (2x)为“同形”函数12已知集合A1,2,3，2n(nN*)对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m”，则称S为理想集对于下列命题：当n10时，集合BxA|x9是理想集；当n10时，集合CxA|x3k1，kN*是一个理想集；当n1 000时，集合S是理想集，那么集合T2 001x|xS也是理想集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定(1)当n10时，A1,2,3，19,20，BxA|x910,11,12，19,20因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b110与b210m，使得|b1b2|m成立因而B不具有性质P，不是理想集，故为假命题(2)对于CxA|x3k1，kN*，因为可取m110，对于该集合中任意一对元素c13k11，c23k21，k1，k2N*，都有|c1c2|3|k1k2|1.故C具有性质P，为真命题；(3)当n1 000时，则A1,2,3，1 999,2 000，因为T2 001x|xS，任取t2 001x0T，其中x0S，SA，所以x01,2,3，2 000，从而12 001x02 000，即tA，所以TA.由S具有性质P，就是存在不大于1 000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m.对于上述正整数m，从集合T2 001x|xS中任取一对元素t12 001x1，t22 001x2，其中x1，x2S，则有|t1t2|x1x2|m，所以集合T2 001x|xS具有性质P，为真命题故填.- 8 -第14练高考对于导数几何意义的必会题型题型一直接求切线或切线斜率问题例1已知f(x)x3f()x2x，则f(x)的图象在点(，f()处的切线斜率是_破题切入点先对函数求导，将x代入求得f()的值即是答案1解析f(x)3x22f()x1，令x，可得f()3()22f()1，解得f()1，所以f(x)的图象在点(，f()处的切线斜率是1.题型二转化为切线问题例2设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ的最小值为_破题切入点结合图形，将求PQ的最小值转化为函数切线问题答案(1ln 2)解析由题意知函数yex与yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与yex上点的最小距离的2倍设yex上点(x0，y0)处的切线与直线yx平行则ex01，x0ln 2，y01，点(x0，y0)到yx的距离为(1ln 2)，则PQ的最小值为(1ln 2)2(1ln 2)题型三综合性问题例3(2013课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值破题切入点先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于a，b的方程组，求出a，b的值；然后确定函数f(x)的解析式，求出其导函数，利用导函数的符号判断函数f(x)的单调性，进而确定极值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)，令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)极大值极小值yf(x)的单调增区间为(，2)，；单调减区间为.f(x)极大值f(2)44e2.总结提高(1)熟练掌握导数的几何意义，审准题目，求出导数，有时需要设切点，然后根据直线的点斜式形式写出切线方程(2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转化为求曲线的切线，找出平行线然后求出最小值(3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证1已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案2解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，从而y00，x01，a2.2(2014课标全国改编)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a_.答案3解析令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为_答案2xy10解析易知点(1，1)在曲线上，且y，所以切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即2xy10.4曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为_答案2解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2.5(2014大纲全国改编)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_答案2解析yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.6已知函数f(x)x33x，若过点A(0，16)且与曲线yf(x)相切的切线方程为yax16，则实数a的值是_答案9解析先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0x3x0上，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线过A、M两点，所以k，则3x3.联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.7(2013广东)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.答案解析y2ax，所以y|x12a10，所以a.8(2013江西)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.答案2解析yx1，y|x1.曲线在点(1,2)处的切线方
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