（课堂设计）2014-2015高中数学 第3单元学案（打包6套）新人教A
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（课堂设计）2014-2015高中数学 第3单元学案（打包6套）新人教A,课堂,设计,高中数学,单元学,打包,新人
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1 数与方程 【入门向导】 详释二分法 关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段 运 52 的一个片段： 主持人李咏 (以下简称李 )说道 “ 猜一猜这件商品的价格 ” 甲： 2 000！ 李：高了！ 甲： 1 000！ 李：低了！ 甲： 1 700！ 李：高了！ 甲： 1 400！ 李：低了！ 甲： 1 500！ 李：低了！ 甲： 1 550！ 李：低了！ 甲： 1 580！ 李：高了！ 甲： 1 570！ 李：低了！ 甲： 1 578！ 李：低了！ 甲： 1 579! 李：这件商品归你了下一件 有一位老师 和他的三位学生做了如下问答： 老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？ 钱立恒：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价 方仕俊：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100 元降低报价如果低了，每隔 50 元上涨；如果再高了，每隔 20 元降低报价；如果低了，每隔 10 元上升报价 侯素敏：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价 侯素敏的回答是一 个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式 区间逼近法 函 数零点求解三法 我们知道，如果函数 y f(x)在 x a 处的函数值等于零，即 f(a) 0，则称 a 为函数的零点本文现介绍函数零点求解三法 一、代数法 例 1 求函数 f(x) 2x 3 的零点 解 令 2x 3 0， 22 4( 3) 160， 方程有两个不相等实数根 方法一 因式分解法或试根法 2x 3 (x 3)(x 1)或由 f(x) 2x 3， 试一试 f(1) 12 21 3 0， f( 3) ( 3)2 2( 3) 3 0. 所以 f(x)的零点为 1， 3. 方法二 配方法 2x 3 (x 1)2 4 0， 所以 x 1 2. 所以零点 1， 3. 方法三 公式法 b 4 242 . 所以零点 1， 3. 点评 本题用了由求函数 f(x)的零点转化为求方程 f(x) 0 的实数根的办法运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统 称为代数法 二、图象法 例 2 f(x) x 3) 4x 的零点情况是 ( ) 2 A有两个正零点 B有两个负零点 C仅有一个零点 D有一个正零点和一个负零点 解析 设 g(x) x 3)， h(x) 4x，在同一坐标系内作出它们的图象 (如右图 )由图易知，两图象有两个交点且分别在 y 轴两侧，所以函数有一个正零点和一个负零点故选D. 答案 D 点评 求函数 y g(x) h(x)的零点，实际上是求曲线 y g(x)与 y h(x)的交点的横坐标，即求方程 g(x) h(x) 0 的实数解 三、用二分法求函数近似零点 例 3 用二分法求函数 f(x) 3 的一个正零点 (精确到 解 由于 f(1) 20， 因此区间 1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表： 端点 (中点 )坐标 计算中点函数值 取值区间 f(1) 20 1,2 1 22 1.5 f( 1,1 f( ， 5 52 25 f(0 ， 25 12 5 f(0 ， 12 5 因为 12 5 12 50，则有结论：函数 y f(x)在区间 (a， b)上不存在零点判断该命 题是否正确 错解 正确 剖析 对区间 (a， b)上的连续函数 y f(x)，若 f(a) f(b)0，而在区间 ( 1,1)上显然存在零点 故该命题不正确 点评 (1)函数 y f(x)的图象在区间 (a， b)上连续且有 f(a) f(b)1 时恰有一实根 错解 将已知函数图象向上平移 0 01 个单位 (如图所示 )，即得 f(x) x(x 1)(x 1) 图象故选 B 项 剖析 肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易 “ 走眼 ” 正解 f( 2)0， 5 f( 2) f( 1)0， C 项错误而 f(， f(x) 0 在区间 (0,1)上有两个实根，则 D 项错误， E 项也错，并且由此可知 A 项正确 故选 A、 B 两项 点评 应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂 ，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效 . 函 数与方程，唇齿相依 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得 解决 方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数 y f(x)(如果 y c 可以写成f(x) c，即 y f(x)的形式 )，当 y 0 时，就转化为方程 f(x) 0，也可以把函数式 y f(x)看作二元方程 y f(x) 0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例 一、判断方程解的存在性 例 1 已知函数 f(x) 321，判断方程 f(x) 0 在区间 1,0内有没有实数解？ 分析 可通过研究函数 f(x)在 1,0上函数的变 化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解 解 因为 f( 1) 3( 1)3 2( 1)2 1 40， 所以 f( 1) f(0)1， f(6)1， f(6)0 时 g(x)单调递增； 当 ， f(x)0，因此 a0， b 3a b0，f 或 k0，f 或 k 2 3k 20， 解得 k0 或 1 x1时， |f(x)|1 且 g(x)的最大值为 2，求 f(x) 解 a0， g(x) b 在 1,1上是增函数 又 g(x)在 1,1上的最大值为 2， g(1) 2，即 a b 2. 于是 f(1) f(0) 2. 由题设有 1 f(0) f(1) 21 2 1， f(0) 1，从而 c 1. 又由题设知 f(x) 1 f(0)， 二次函数 f(x)的对称轴为 x 0， 于是 0，得 b 0，将其代入 ，得 a 2. f(x) 21. 山 重水复疑无路，柳暗花明又一村 探索解题方法 对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证 “ 一顺百顺 ” ，特别是面对一些综合题更是如此分析时 “ 条条是道 ” ，求解时却 “ 处处碰壁 ” 这些都是正常的当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看： 题目：已知二次函数 f(x) c(a0) ， 函数 c 的图象开口向上 而 12f( f(的图象呢？是一条平行于 x 轴的直线此 直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于 f( f(是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！ 分析细节： f( f(函数 f(x) c 分别在 两个值与最小值有什么关系，由于 f( f(说明 12f( f(一定比最小值大；若 时，直线与二次函数图象相切于顶点，而 12f( f(大于最小值，则12f( f(与二次函数图 象一定有两个不同的交点 又因为 f( f( 12f( f(f( f(，故必有一根属于 (x1， 分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程 f(x) 12f( f(的 “ 4，然后，再结合函数零点的存在定理 方法二 由 f(x) 12f( f(，得 222c f( f( 0. 那么 (2b)2 4(2 a)2 c f( f( 442af( 2af( 此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！ 分析细节 在上式中存在 f( f(可否将其替换呢？于是 442a(c) 2a(c) 2(44 2(44 2(2b)2 2(2b)20. 又 因此方程有两个不等的实根 又设 g(x) f(x) 12f( f(， 则 g(x1)g( f( 12f( f( f( 12f( f( 14f(f(20 (b R)恒成立 于是 (4a)2 16a0，f ，0. 又 b， 故 b 1， a 1. 所以该区间为 1,1 (2)由函数单调性的定义知，该函数在 x (0， ) 为单调减函数，若为闭函数，则存在 x a， b，值域为 a， b 于是 f a b，f b a， 即 f a 34a 1a b，f b 34b 1b 4，得 34a 1a 4a，所以 4 与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质 的区间，故该函数不是闭函数 1 程的根与函数的零点 自主学习 1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2理解函数的零点与方程根的关系 3掌握函数零点的存在性的判定方法 1对于函数 y f(x)，我们把使 f(x) 0 的实数 x 叫做函数 y f(x)的 _ 2函数 y f(x)的零点就是方程 f(x) 0 的 _，也就是函数 y f(x)的图象与x 轴的交点的 _ 3方程 f(x) 0 有实数根 函数 y f(x)的图象与 x 轴有 _函数 y f(x)有_ 4函数零点的存在性的判定方法 如 果 函 数 y f(x) 在 a ， b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)_0，那么 y f(x)在区间 (a， b)内有零点，即存在 c (a， b)，使得f(c)_0，这个 c 也就是方程 f(x) 0 的根 对点讲练 求函数的零点 【例 1】 求下列函数的 零点： (1)f(x) 2x 3； (2)f(x) 1； (3)f(x) 4x. 规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解 变式迁移 1 若函数 f(x) b 的零点是 2 和 4，求 a， b 的值 判断函数在某个区间内是否有零点 【例 2】 (1)函数 f(x) ln x 2 ) A (1,2) B (2,3) C. 1， 1e 和 (3,4) D (e， ) 2 (2)f(x) ln x 2x在 x0 上共有 _个零点 规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可 运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性 变式迁移 2 方程 3x 1 0 在区间 (2,3)内根的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D不确定 已知函数零点的特征，求参数范围 【例 3】 若函数 f(x) x 1 仅有一个零点，求实数 a 的取值范围 变式迁移 3 已知在函数 f(x) 3x 1 的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的范围 1函数 f(x)的零点就是方程 f(x) 0 的根，但不能将它们完全等同如函数 f(x) 4x 4 只有一个零点，但方程 f(x) 0 有两个相等实根 2并不是所有的函数都有零点，即使在区间 a， b上有 f(a) f(b)0，也不能说明函数 y f(x)在区间 (a， b)上无零点，如二次函数 y 3x 2 在 0,3上满足f(0) f(3)0，但函数 f(x)在区间 (0,3)上有零点 1 和 2. 3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点 课时作业 一、选择题 1若函数 f(x)唯一的零点在区间 (1,3)， (1,4)， (1,5)内，那么下列说法中错误的是( ) A函数 f(x)在 (1,2)或 2,3)内有零点 B函数 f(x)在 (3,5)内无零点 C函数 f(x)在 (2,5)内有零点 D函数 f(x)在 (2,4)内不一定有零点 3 2函数 f(x) 8 2x 的零点一定位于区间 ( ) A (5,6) B (3,4) C (2,3) D (1,2) 3函数 f(x) c，若 f(1)0， f(2)0， f(2) f(3)0 上是增函数，且 f(2) f(3)0， f(x)的开口向上，如图 所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当 9 4m0 即可，解得 00. 又 f(x)在 (0， ) 上为增函数， 所以其零点一定位于区间 (3,4) 3 C 若 a 0，则 f(x) c 是一次函数， 由 f(1) f(2)0，与已知矛盾故 f(x)在 (1,2)上有且仅有一个零点 4 D 因为 f(x)是奇函数，则 f(0) 0，又在 (0， ) 内的零点有 1 003 个，所以f(x)在 ( ， 0)内的零点有 1 003 个因此 f(x)的零点共有 1 003 1 003 1 2 007 个 5 D 考查下列各种图象 上面各种函数 y f(x)在 (0,4)内仅有一个零点， 但是 (1)中， f(0) f(4)0， (2)中 f(0) f(4)0， 方程 c 0 有两个不等实根，即函数 f(x)有 2 个零点 7 0， 12 解析 由 2a b 0，得 b 2a， g(x) 2 令 g(x) 0，得 x 0 或 x 12， g(x) 零点为 0， 12. 8 (1， ) 解析 令 f(x) 2x 1， a 0 时不符合题意； 6 a0 且 0 时，解得 a 18， 此时方程为 14x 1 0，也不合题意； 只能 f(0) f(1)1. 9解 (1)方法一 f(1) 200， f(1) f(8)0， f( 1) f(2)1 0， f(3) 2) 33 0， f(1) f(3)0. 故 f(x) x 2) x 在 1,3上存在零点 10解 (1) 1 和 3 是函数 f(x)的两个零点， 1 和 3 是方程 (k 2)x 3k 5 0 的两个实数根 则 1 3 k 2， 3k 5， 解得 k 2. (2)若函数的两个零点为 和 ，则 和 是方程 (k 2)x 3k 5 0 的两根， k 2， 3k 5， k 2 3k则 2 2 2 2 10k 6， 4 k 43， 2 2在区间 4， 43 上的最大值是 18，最小值是 509 ， 即 2 2的取值范围为 509 ， 18 . 1 二分法求方程的近似解 自主学习 理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解 1二分法的概念 对于在区间 a， b上连续不断且 _的函数 y f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 _，使区间的两个端点 _，进而 得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 _ 2用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 (给定精确度 ) (1)确定区间 a， b，使 _ (2)求区间 (a， b)的中点， _. (3)计算 f( 若 f( 0，则 _； 若 f(a) f(，不存在实数 c (a， b)，使得 f(c) 0 D若 f(a)f(b)0，有可能存在实数 c (a， b)，使得 f(c) 0 求函数的零点 【例 2】 判断函数 y x 1 在区间 1,有无零点，如果有，求出一个近似零点 (精确度 2 规律方法 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值 变式迁移 2 求函数 f(x) 23x 6 的一个正数零点 (精确度 二分法的综合运用 【例 3】 证明方程 6 3x 21,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解 (精确度 规律方法 用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解 变式迁移 3 求 3 2的近似解 (精确度为 将结果精确到 1能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 2二分法实质是一种逼近思想的应用区间长度为 1 时，使用 “ 二分法 ” n 次后，精确度为 12n. 3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度为 ，是指在计算过程中得到某个区间 (a， b)后，若其长度小于 ，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到 |a b|0， f(，可得其中一个零点 _，第二次应计算 _以上横线上应填的内容为 ( ) A (0,f( B (0,1) f(C () f( D (0,f(二、填空题 6在用二分法求方程 f(x) 0 在 0,1上的近似解时，经计算， f(，f()0，但其存在两个零点： 1,1” 推翻 【例 2】 解 因为 f(1) 10，且函数 y x 1 的图象是连续的曲线，所以它在区间 1,有零点，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点值 中点函数近似值 (1, ,5 于 | 0，可取区间 (1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点 中点函数值 (1,2) ) ( ( (,5 由于 | 0， 又 f(x)是增函数， 函数 f(x) 2x 3x 6 在区间 1,2内有唯一的零点， 则方程 6 3x 21,2内有唯一一个实数解 设该解为 1,2， 取 f( ， f(1) f(， f(1) f(，故可以取区间 1,2为计算的初始区间 用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点 中点函数值 1,2 5 1, 5 5 25 25 12 5 12 5， 25 18 75 由于 |25 12 5| 10， 方程的根 (1, 又 (1,中点且 f(0， f(， f(2)f(3)0， f(0) f(， 所以函数在 (1,2)内存在零 点 取 (1,2)的中点 计算 f( ， 故函数在 (1,存在零点，如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间 . (a， b) (a， b) 的中点 f(a) f(b) f a (1,2) 1.5 f(1)0 f(0 (1,f(1)0 f( f( f(0 6 () | 0x (1,2)； f(x ()； f(x ()； f(x ( f(x () | 方程的近似解可取为 . 1 数模型及其应用 【入门向导】 想一想？ 杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月 (30 天 )内，我每天给你 10 万元，而你第一天只需给我 1 元钱，第二天给我 2 元钱，每天给我的钱是前一天的两倍杰米非常高兴，他同意订这样的合同 同学们，按此合同，谁最终会获利？ (提示公式： 20 21 22 2n 1 1 22) 幂 函数、指数函数、对数函 数三种函数模型的增长情况有什么区别？ 一般地，对于指数函数 y ax(a1)和幂函数 y xn(n0)，通过探索可以发现，在区间 (0， ) 上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内， 由于 此总存在一个 x会有 ax同样地，对于对数函数 y a1)和幂函数 y xn(n0)，在区间 (0， ) 上，随着x 的增长， 长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样，尽管在 x 的一定变化范围内， 能会大于 是由于 增长慢于 此总存在一个 x会有 y a1)和 y xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个 “ 级别 ” 上，随着 x 的增大， y ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y xn(n0)的增长速度，而 y a1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个 x会有 b1) ； 5对数函数模型： f(x) n(m、 n、 a 为常数， a0， a1) ； 说明 随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色 6幂函数模型： f(x) b(a、 b、 n 为常数， a0 ， n1) ； 7分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛 函 数应用举例 函数应用题是函数知识的综合运用，涉及到的知识面很广，这里主要 对一、二次函数及分段函数的应用举例分析，希望能对同学们有所帮助 一、建立函数解析式，解决几何问题 例 1 现有 100 米长的篱笆材料，利用一面长度够用的墙作为一边，围成一个矩形的猪圈，问此矩形的长、宽各为多少时，猪圈的面积最大？最大为多少？ 2 分析 如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽，篱笆材料的长共为 100 米，因此可假设宽为 x 米，则矩形的长就可以表示出来，这样就可以得到面积 S 关于 x 的解析式 解 如右图，设矩形猪圈的宽为 x 米，则长为 (100 2x)米， 于是 S x(100 2x) 2100x 2(x 25)2 1 250(03 000 时，交纳公积金后实得 y 300. 所以所求函数的表达式为 y x， 03 000.(2)张某的月工资为 2 400 元， 则他实得 y 2 400 150 2 310(元 )， 因此他交纳的公积金为 2 400 2310 90(元 ) 答 张某应交纳公积金 90 元 函 数模型建立过程中的常见错误 解答函数应用问题时，要分四步进行： 第一步：阅读、理解； 第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题； 第三步：解答数学模型，求得结果； 第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答 而这四步中，最为关键的是把第二步处理好只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致 “ 满盘皆输 ” 一、忽视实际意义出错 例 4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数现知一企业生产某种商品的数量为 x(件 )时的成本函数为 y 10 2x 2元 )，若售出一件商品的价格是 20 万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？ 错解 设该企业所能获取的最大利润为 z(万元 )，则 z 20x (10 2x 2 即 z 218x 10 2(x 故 z 的最大值为 该企业所能获取的最大利润为 元 剖析 同学们，你认为以上解答出现了什么问 题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了 x 为自然数，而该错解中却是在 x 取到的最大值 种情况在实际中是无法操作的 正解 设该企业所能获取的最大利润为 z(万元 )， 则 z 20x (10 2x 2x N)， 即 z 218x 10 2(x 故当 x 4 或 5 时， z 取最大值 30， 即该企业生产 4 件或 5 件商品时所取得的利润最大，为 30 万元 二、因读题不精而出错 4 例 5 已知甲、乙两物体在同一直 线上向同一方向作匀速直线运动，其位移 y(运动时间 x(h)(0 x5) 的关系如图所示，给出以下说法： 甲、乙运动的速度相同，都是 5 km/h； 甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大； 甲、乙运动的时间相同，乙的速度是 4 km/h； 当甲、乙运动了 3 小时后，甲的位移比乙大 3 乙在甲前方 2 其中正确的说法是 ( ) A B C D 错解 和 一定是一对一错，经分析， 是对的；对于 ，因为乙的图象在甲的上方，所以 应是甲的位移比乙小，故 错误；对于 ，当甲、乙运动了 3 小时，甲的位移为 35 15(乙的位移为 5 34 17(故 错误故选 A. 剖析 错因在于未读懂图象，从而作出错误判断对于 ，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于 ，乙的位移计算错误 正解 和 一定是一对一错，经分析 是对的；对于 ，甲、乙运动的时间显然都是5 小时，因为甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故 正确；对于 ，当甲、乙运动了 3 小时，甲的位移为 35 15(乙的位移为 34 12(又因为乙是从甲前方 5 开始运动的，所以甲的位移比乙大 3 乙在甲前方 2 ，所以 正确故选 D. 点评 对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景 三、因主观性太强而致错 例 6 如图所示，圆弧型声波 坐标原点 O 向外传播若 D 是 x 轴的交点，设x(0 x a)，圆弧型声波 传播过程中扫过平行四边形 面积为 y(图中阴影部分 )，则函数 y f(x)的图象大致是 ( ) 错解 观察图 1 可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为 B. 剖析 本题的错误很明显， y 指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错 正解 从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到 C 点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快当到达 C 点之后且离开 A 点之前，因为 以此时扫过图形的面积呈匀速增长当离开 A 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越 慢，所以函数 5 图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的故选 A. 点评 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反 错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误 求 解实际问题四策略 实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广很多同学在应用题面前束手无策，有的 读不懂题意、有的不会分析这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助 一、抓常规，乱中找序 实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了 “ 头序 ” ，问题就能迎刃而解 例 1 某商店将每个进价为 10 元的商品，按每个 18 元销售时，每天可卖出 60 个经调查，若将这种商品的售价 (在每个 18 元的基础上 )每提高 1 元，则日销售量就减少 5 个，若将这种商品的售价 (在每个 18 元的基础上 )每降低 1 元，则日销售量就增加 10 个为获得每日最大利润，此商 品售价应定为每个多少元？ 分析 “ 总利润销售量 单个利润 ” 这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为 x 元，每日利润为 y 元 解 若 x18( 即提价 )，销售量为 60 5(x 18)，单个利润为 x 10，那么每日利润为 y 60 5(x 18)(x 10) 5(x 20)2 500，显然当售价定为每个 20 元时，利润最大，其最大利润为 500 元 若 6 由 05 时， L(x) 12 减函数， 此时 L(x)0，当 x ， W 有最小值，即总费用最省 所以当 0.1 m 时， 总费用最省 点评 本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题 的能力 1 类不同增长的函数模型 自主学习 1结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性 2能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 (指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 )，了解函数模型的广泛应用 1三种函数模型的性质 函数 性质 y ax(a1) y a1) y xn(n0) 在 (0， ) 上的增减性 图象的变化 随 x 的增大逐 渐变 “_” 随 x 的增大逐渐 趋于 _ 随 n 值而不同 y ax(a1)，对数函数 y a1)和幂函数 y xn(n0)增长速度的比较 (1)对于指数函数 y y xn(n0)在区间 (0， ) 上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内， 由于 _的增长快于 _的增长，因此总存在一个 x会有 _ (2)对于对数函数 y a1)和幂函数 y xn(n0)，在区间 (0， ) 上，尽管在 能会大于 由于 _的增长慢于 _的增长，因此总存在一个 x会有 _ 对点讲练 一次函数模型 【例 1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的 “ 便 民卡 ” 与 “ 如意卡 ” 在某市范围内每月 (30 天 )的通话时间 x(分 )与通话费y(元 )的关系如图所示 (1)分别求出通话费 x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜 2 变式迁移 1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法： (1)买一个茶壶赠送一个茶杯； (2)按总价的 92%付款顾客只能任选其一某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个 (不少于 4 个 )，若购买茶杯 数为 x 个，付款数为 y(元 )，试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱 指数函数模型 【例 2】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ (已知： ， ) 变式迁移 2 2004 年全国人口普查时，我国人口数为 13 亿，如果 从 2004 年开始按 1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到 18 亿？ 对数函数模型的应用 【例 3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v 510，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量 (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 3 变式迁移 3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v (m/s)和燃料的质量M(火箭 (除燃料外 )的质量 m (关系 v 2 000 1 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s? 1根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型 2常见 的函数模型及增长特点 (1)直线 y b (k0)模型，其增长特点是直线上升； (2)对数 y a1)模型，其增长缓慢； (3)指数 y a1)模型，其增长迅速 课时作业 一、选择题 1在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长 专家预测经过 y 倍，则函数 y f(x)的图象大致为 ( ) 2能使不等式 2)y y xn 如意卡便宜； 当 x9623时， ， y1惠办法 (2)省钱 【例 2】 解 依题意，得 2100 23 n 11 000， 即 23 n 120. 则 n( ) (1 )，故 n 1 考虑到 n N，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求 变式迁移 2 解 设大约经过 n 年，我国人口由 2004 年的 13 亿增加到 18 亿， 则 13(1 1%)n 18. 1813， 6 即 n 8 3 33( 年 ) 即从 2004 年开始，大约经过 33 年，我国人口总数可达 18 亿 【例 3】 解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v 0，代入题给公式可得： 0 510，解得 Q 10. 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位 (2)将耗氧量 Q 80 代入题给公式得： v 5515 (m/s) 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时， 它的飞行速度为 15 m/s. 变式迁移 3 解 由 12 000 2 000 1 即 6 1 1 用计算器算得 0 2. 即当燃料质量约是火箭质量的 402 倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s. 课时作业 1 D C 设共分裂了 x 次，则有 2x 4 096， 2x 212，又 每次为 15 分钟， 共 1512 180 分钟，即 3 个小时 6 y2 10 解析 由题意可得，经过 5 分钟时， 5n 12a， n 15，令 15 t15，从而再经过 10 分钟后，桶 1 中的水只有 . 9解 本金 100 万元，年利率 10%，按单利计算， 5 年后的本息和是 100(1 10%5) 150(万元 ) 本金 100 万元，年利率 9%，按每年复利一次计算， 5 年后的本息和是 100(1 9%)5元 ) 由此可见，按年利率 9%每年复利一次计算的比年利率 10%单利计算的更有利， 5 年后多得利息 元 10解 (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时， 未租出的车辆数为 3 600 3 00050 12， 所以这时租出了 88 辆车 (2)设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为 f(x) 100 x 3 00050 (x 150) x 3 00050 50 ， 整理得 f(x) 162x 21 000 7 150(x 4 050)2 307 050. 当 x 4 050 时， f(x)最大， 最大值为 f(4 050) 307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能 租出 88 辆车； (2)当每辆车的月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307 050元 1 数模型的应用实例 自主学习 1掌握几种初等函数的应用 2理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法 3了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤 1函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)_； (2)_； (3)_ 2面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)_； (2)_； (3)_； (4)_； (5)_； (6)_ 对点讲练 已知函数模型的应用问题 【例 1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数： R(x) 400x 12x2 x 是仪器的月产量 (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ (总收益总成本利润 ) 变式迁移 1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )成正比；药物释放完毕后， y 与 y (116)t a(a 为常数 )如图所示根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )之间的函数关系式为 _； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 _小时后，学生才能回到教室 2 自建函数模型的应用问题 【例 2】 某公司每年需购买某种元件 8 000 个用于组装生产，每年分 n 次等量进货，每进一次货 (不分进货量大小 )费用 500 元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费 2 元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？ 变式迁移 2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平面图如图所示 )，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 m，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间墙建造 单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元 (池壁的厚度忽略不计，且池无盖 ) (1)写出总造价 y(元 )与污水处理池长 x(m)的函数关系式，并指出其定义域 (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价 函数模型的选择 【例 3】 某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、 件、件，为了估测以后每个月的产量，以这 三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y c(其中 a， b，c 为常数， a0) ，已知 4 月份该产品的产量为 件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由 3 变式迁移 3 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元 /102上市时间 t(单位：天 )的数据如下表： 时间 t 50 110 250 种植成本 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数， 描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 Q b， Q c， Q a Q a (2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 1解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量； (2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解； (4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的 答案 2在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是： 课时作业 一、选择题 1今有一组实验数据如下： t 2 准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是 ( ) A V B V C V 12 D V 2t 2 2计算机成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格降低 13，则现在价格为 8 100 元的计算机， 9 年后的价格可降为 ( ) A 2 400 元 B 900 元 C 300 元 D 3 600 元 3. 一个高为 H，盛水量为 以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深 h 时水的体积为 V，则函数 V f(h)的图象大致是 ( ) 4 4某种电热水器的水箱盛满水是 200 升，加热到一定温度可浴用浴用时，已知每分钟放水 34 升，在放水的同时注水， t 分钟注水 2水箱内水量达到最小值时，放水自动停止现假定每人洗浴用水 65 升，则该热水器一次至多可供几人洗澡 ( ) A 3 人 B 4 人 C 5 人 D 6 人 二、填空题 5 60 年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加某家客运公司为招揽 游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过 100 价是 /果超过 100 超过 100 部分按 /价则客运票价 y 元与行程公里 x 间的函数关系是 _ 6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为 80 两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用 6 h(含途中休息的
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