（课堂设计）2014-2015高中数学 第一章（学案+章末检测，打包15套）新人教A版必修4
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（课堂设计）2014-2015高中数学 第一章（学案+章末检测，打包15套）新人教A版必修4,课堂,设计,高中数学,第一章,检测,打包,15,新人,必修
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1 任意角和弧度制 意角 自主学习 知识梳理 1角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内 _绕着 _从一个位置 _到另一个位置所成的图形 (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按 _形成的角 负角 按 _形成的角 零角 一条射线 _，称它形成了一个零角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边 (除端点外 )在第几象限，就说这个角是 _如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 3终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S | _，即任一与角 终边相同 的角，都可以表示成角 与 _的和 4终边落在坐标轴上角的集合 终边所在的位置 角的集合 x 轴正半轴 x 轴负半轴 x 轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 y 轴 自主探究 终边落在各个象限的角的集合 . 终边所在的象限 角 的集合 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 对点讲练 知识点一 终边相同的角与象限角 例 1 在 0 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 (1) 150 ； (2)650 ； (3) 95015. 2 回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系： k360 ， k Z，把所给的角化归到 0 360 范围内，然后利用 0 360 范围内的角分析该角是第几象限角 变式训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400 ； (2) 2 010. 知识点二 终边相同的角的应用 例 2 已知，如图所示， (1)写出终边落在射线 的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分 (包括边界 )的角的集合 回顾归纳 解答此类题目应先在 0 360 上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简 变式训练 2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合 知 识点三 角的象限的判断 例 3 已知 是第二象限角，试确定 2 ， 2 的终边所在的位置 3 回顾归纳 若已知角 是第几象限角，判断 2 ， 3 等是第几象限角，主要方法是解不等式并对 k 进行分类讨论考查角的终边的位置 变式训练 3 已知 为第三象限角，则 2 所在的象限是 ( ) A第一或第二象限 B第二或第 三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限 1对角的理解，初中阶段是以 “ 静止 ” 的眼光看，高中阶段应用 “ 运动 ” 的观点下定义，理解这一概念时，要注意 “ 旋转方向 ” 决定角的 “ 正负 ” ， “ 旋转幅度 ” 决定角的 “ 绝对值大小 ” 2关于终边相同角的认识 一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S | k360 ， k Z，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 注意： (1) 为任意角 (2)k360 与 之间是 “ ” 号， k360 可理解为 k360 ( ) (3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360 的整数倍 (4)k Z 这一条件不能少 . 课时作业 一、选择题 1与 405 角终边相同的角是 ( ) A k360 45 ， k Z B k180 45 ， k Z C k360 45 ， k Z D k180 45 ， k Z 2若 45 k180 ( k Z)，则 的终边在 ( ) A第一或第三象限 B第二或第三象限 C第二或第四象限 D第三或第四象限 3若角 与 的终边相同，则 的终边落在 ( ) A x 轴的正半轴 B x 轴的负半轴 C y 轴的正半轴 D y 轴的负半轴 4若 是第四象限角，则 180 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分 (含边界 )的角的集合是 ( ) A | 45 120 B |120 315 C |k360 45 k360 120 ， k Z D |k360 120 k360 315 ， k Z 二、填空题 6经过 10 分钟，分针转了 _度 4 7下列命题： 第一象限角都是锐角； 锐角都是第一象限角； 第一象限角一定不是负角； 第二象限角大于第一象限角； 第二象限角是钝角； 小于 180 的角是钝角、直角或锐角 其中判断错误的是 _ (把有关命题的序号写上即可 ) 8若 1 690 ，角 与 终边相同，且 360120 ，所以 不正确 480 角是第二象限角，但它不是钝角，所以 不正确 0 角小于 180 ，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 不正确 8 110 或 250 解析 1 690 4360 250 ， k360 250 ， k Z. 360 360 ， k 1 或 0. 110 或 250. 9解 (1) 2 010 6360 150 ， 与角 2 010 终边相同的最小正角是 150. (2) 2 010 5360 ( 210) ， 与角 2 010 终边相同的最大负角是 210. (3) 2 010 6360 150 ， 与 2 010 终边相同也就是与 150 终边相同 由 720 k360 150720 ， k Z，解得： k 2， 1,0,k360 150 依次得： 570 ， 210 ， 150 ， 510. 10解 (1)x|k360 135 x k360 135 ， k Z (2)x|k360 30 x k360 60 ， k Z x|k360 210 x k360 240 ， k Z 7 x|2k180 30 x2 k180 60 或 (2k 1)180 30 x(2 k1)180 60 ， k Z x|k180 30 x k180 60 ， k Z 1 度制 自主学习 知识梳理 1角的单位制 (1)角度制：规定周角的 _为 1 度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制 (2)弧度制：把长度等于 _的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 _ (3)角的弧度数求法：如果半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长为 l，那么 l， ， _；这里 的正负由角 的 _决定正角的弧度数是一个 _，负角的弧度数是一个 _，零角的弧度数是 _ 2角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360 _ _ 180 _ _ 1 _5 _ 设扇形的半径为 R，弧长为 l， (0 2) 为其圆心角，则 度量单位 类别 为角度制 为弧度制 扇形的弧长 l _ l _ 扇形的面积 S _ S _ _ 自主探究 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据 “ 一周角 (即 360) 的弧度数为 2” 这一事实化简上述公式 (设半径为 r，圆心角弧度数为 ) 对点讲练 知识点一 角度制与弧度制的换算 例 1 (1)把 11230 化成弧度； (2)把 712 化成角度 回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 180 即可解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 180 即可 变式训练 1 将下列角按要求转化： (1)300 _(2) 2230 _ (3)85 _度 知识点二 利用弧度制表示终边相同的角 2 例 2 把下列各角化成 2 (0 2 ， k Z)的形式，并指出是第几象限角： (1) 1 500 ； (2)236 ； (3) 4. 回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一角度制与弧度制不能混用 变式训练 2 将 1 485 化为 2 (0 2 ， k Z)的形式是 _ 知识点三 弧长、扇形面积的有关问题 例 3 已知一扇形的周长为 40 它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r 的二次函数的最值问题 变式训练 3 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆心角的弧度数 1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系 ：每一个角都有唯一的一个实数 (即这个角的弧度数 )与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角 )与它对应 2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用 “180 这一关系式 易知：度数 180 度数，弧度数 180 度数 3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度 . 课时作业 一、选择题 1与 30 角 终边相同的角的集合是 ( ) A. | k360 6 ， k Z B | 2 30 ， k Z C | 2k360 30 ， k Z D. | 2 6 ， k Z 3 2集合 A | 2 ， k Z 与集合 B | 2 2 ， k Z的关系是( ) A A B B AB C BA D以上都不对 3已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是 ( ) A 2 B C. 2 D 2 4已知集合 A |2 (2 k 1) ， k Z， B | 4 4 ，则 A B 等于 ( ) A B | 4 C |0 D | 4 ，或 0 5扇形圆心角 为 3 ，半径长为 a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为 ( ) A 13 B 23 C 43 D 49 二、填空题 6若扇形圆心角为 216 ，弧长为 30 ，则扇形半径为 _ 7若 2 4 ，且 与 76 角的终边垂直，则 _. 8若角 的终边与角 6 的终边关于直线 y x 对称，且 ( 4 ， 4) ，则 _. 三、解答题 9用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非 负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合 (包括边界，如图所示 ) 10. 如右图，已知扇形 中心角为 4，其面积为 2 扇形的周长和弦 长 4 度制 答案 知识梳理 1 (1) 1360 (2)半径长 1 3)| | 边的旋转方向 正数 负数 0 2. 角度化弧度 弧度化角度 360 2 360 180 180 1 1805 1 180 3. 度量单位 类别 为角度制 为弧度制 扇形的弧长 l l R 扇形的面积 S S1212主探究 解 半径为 r，圆心角 n 的扇形弧长公式为 l n 扇形面积公式为 S 扇 n r | |2 ， l | |r. | |2 ， S 扇 12| | S 扇 12| |12对点讲练 例 1 解 (1)11230 2252 2252 180 58 . (2) 712 712 180 105. 变式训练 1 (1)53 (2) 8 (3)288 例 2 解 (1) 1 500 1 800 300 5360 300. 5 1 500 可化成 10 53 ，是第四象限角 (2) 236 2 116 ， 236 与 116 终边相同，是第四象限角 (3) 4 2 (2 4)， 4 与 2 4 终边相同，是第二象限角 变式训练 2 10 74 解析 1 485 5360 315 ， 1 485 可以表示为 10 74 . 例 3 解 设扇形的圆心角为 ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S， 则 l 2r 40， l 40 2r. S 1212(40 2r)r 20r (r 10)2 100. 当半径 r 10 ，扇形的面积最大，最大值为 100 此时 40 21010 2 所以当扇形的圆心角为 2 径为 10 ，扇形的面积最大为 100 变式训练 3 解 设扇形的半径为 R，弧长为 l，则 2R l 4， l 4 2R，根据扇形面积公式 S 12 得 1 12(4 2R) R， R 1， l 2， 21 2， 即扇形的圆心角为 2 课时作业 1 D C r 1， l | |r 2. 4 D 集合 A 限制了角 终边只能落在 x 轴上方或 x 轴上 5 B 设扇形的半径为 R，扇形内切圆半径为 r，则 R r 6 r 2r 3r. S 内切 S 扇形 12R 2 12 3 12 3 9 32 S 内切 S 扇形 23. 6 25 解析 216 216 180 65 ， l 30 r 65 r， r 25. 103 6 解析 76 72 146 73 ， 76 92 206 103 . 8 113 ， 53 ， 3 ， 73 解析 由题意，角 与 3 终边相同， 则 3 2 73 ， 3 2 53 ，3 4 113 . 9解 (1) |2 6 2 512 ， k Z . (2) |2 34 2 34 ， k Z . (3) | 6 2 ， k Z . 10解 设 长为 l，半径 r， 则 S 扇形 122， 4， 设扇形的中心角 弧度数为 ， 则 | | 4， l 4r， 由 、 解得 r 1， l 4. 扇形的周长为 l 2r 6 ( 如图作 H， 则 22 42 2 2) 2( 1 意角的三角函数 (一 ) 自主学习 知识梳理 1任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么： y 叫做 的 _，记作 _，即 y； x 叫做 的 _，记作 _，即 x； 的 _，记作 _，即 x0) 对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数 (2)设角 终边上任意一点的坐标为 (x， y)，它与原点的距离为 r，则 _， _， _. 2正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 3诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 _，即： k2) _， k2) _， k2) _，其中 k Z. 自主探究 利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值 . 角 0 6 4 3 2 23 34 56 32 0 12 22 32 1 32 22 12 0 1 1 32 22 12 0 12 22 32 1 0 0 33 1 3 无 3 1 33 0 无 对点讲练 知识点一 利用定义求角的三角函数值 例 1 已知角 的终边经过点 P( 4a,3a)(a0) ，求 、 、 的值 2 回顾归纳 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点 P 的横坐标 x、纵坐标 y、点 P 到原点的距离 点的坐标含有参数时，应分类讨论 变式训练 1 已知角 的终边上一点 P(x,3) (x0) ，且 1010 x，求 ， . 知识点二 判断三角函数值的符号 例 2 判断下列各式的符号： (1) (其中 是第二象限角 )； (2)85 105) ； (3) 234 . 回顾归纳 准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键可以利用口诀 “ 一全正、二正弦、三正切、四余弦 ” 来记忆 变式训练 2 (1)若 0，则 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三 象限角 D第四象限角 3当 为第二象限角时， | | | |的值是 ( ) A 1 B 0 C 2 D 2 4角 的终边经过点 P( b,4)且 35，则 b 的值为 ( ) A 3 B 3 C 3 D 5 5若 为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A 2 B 2 C 2 D 二、填空题 6若角 的终边过点 P(5， 12)，则 _. 7若 是第二象限角，则点 P( ， )在第 _象限 8 50 10 80 3 70 4 20 _. 4 三、解答题 9已知角 的终边经过点 (3m 9， m 2)，且 0， 0 ，求 m 的取值范围？ 10已知角 终边上一点 P( 3， y)，且 34 y，求 和 的值 任意角的三角函数 1 意角的三角函数 (一 ) 答案 知识梳理 1 (1) 正弦 余弦 正切 (2)yr xr 相等 自主探究 解 以 32 为例，其余略 设 P(x， y)为 32 上一点，易知点 P(x， y)在 y 轴负半轴上 x 0， 2 1； 2 0； 2 意义 对点讲练 例 1 解 r 4a 2 a 2 5|a|. (1)若 a0，则 r 5a，角 在第二象限， 335， 4 45， 3a 4a 34. (2)若 是第一或第二象限角， 当 为第一象限角时， 3 1010 ， 3； 当 为第二象限角时， 3 1010 ， 3. 例 2 解 (1) 是第二象限角 0， 0. (3) 20 ， 0， 234 0 ， 2 0. 0， 是一、三象限角， 故 是第三象限角 3 C 为第二象限角， 0， 0， 20， 20. 当 k 2n 1 (n Z)时， 2 0， 从而 20，而 4 0， 0. 位于第二象限或 y 轴正半轴上 3 m 90 且 m 20. 2m3. 7 10 解 34 y. 当 y 0 时， 0， 1， 0. 当 y0 时，由 3 解得： y 213 . 当 y 213 时， P 3， 213 ， r 4 33 . 34， 73 . 当 y 213 时， 34， 73 . 1 意角的三角函数 (二 ) 自主学习 知识梳理 1三角函数的定义域 函数的定义域是函数概念的三要素之一，对于三角函数的定义域要给予足够的重视，确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点 P 的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域如下表 . 三角函数 定义域 错误 ! 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值 . 图示 正弦线 如上图， 终边与单位圆交于 P，过 P 作 直 x 轴，有向线段 _即为正弦 线 余弦线 如上图，有向线段 _即为余弦线 正切线 如上图，过 (1,0)作 x 轴的垂线，交 的终边或 终边的反向延长线于 T，有向线段 _即为正切线 自主探究 如何利用三角函数线证明下面的不等式？ 当 0， 2 时，求证： 1 B 1 C B C D 4 若 012， 则角 的取值范围是 ( ) A. 3 ， 3 B. 0， 3 C. 53 ， 2 D. 0， 3 53 ， 2 5若 是第二象限角，则 ( ) A 20 B 21 二、填空题 6 集合 A 0,2 ， B | 0 的解集是 _ 8函数 y x|x| x|x| x|x|的值域是 _ 三、解答题 9在单位圆中画出适合下列条件的角 终边的范围，并由此写出角 的集合 4 (1) 32 ； (2) 12. 10设 是第二象限角，试比较 2 ， 2 ， 2 的大小 意角的三角函数 (二 ) 答案 知识梳理 1. 三角函数 定义域 | R | R 错误 ! 2. 图示 正弦线 如上图， 终边与单位圆交于 P，过 P 作 直 x 轴，有向线段 为正弦线 余弦线 如上图，有向线段 为余弦线 正切线 如上图，过 (1,0)作 x 轴的垂线，交 的终边或 终 边的反向延长线于 T，有向线段 为正切线 自主探究 证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位 圆， 的终边与单位圆交于 P， 的正弦线、正 5 切线为有向线段 ， . 因为 S 1212 ， S 扇形 12 12 ， S 1212 ， 又 S P| 1， 即 1. 例 3 解 由题意，自变量 x 应满 足不等式组 1 2x0 ，x 22 0. 即 x 22 ，x 阴影部分 )所示， 6 x|2 3 4 1. 当 k 2n 1， n Z 时， 2 54 1. 6. 0， 4 54 ， 2 7. | 6 2 ， k Z 解析 不等式的解集如图所示 (阴影部分 )， 7 | 6 2 ， k Z . 8 1,3 解析 x 是第一象限角， y 3； x 是第二象限角， y 1； x 是第三象限角， y 1； x 是第四象限角， y 1. 9解 (1) 图 1 作直线 y 32 交单位圆于 A、 B，连结 成的区域 (图 1 阴影部分 )，即为角 的终边的范围 故满足条件的 角 的集合为 |2 3 2 23 ， k Z (2) 图 2 作直线 x 12交单位圆于 C、 D，连结 成的区域 (图 2 阴影部分 )，即为角 的终边的范围故满足条件的角 的集合为 |2 23 2 43 ， k Z 10解 是第二象限角， 即 2 2 2 ( k Z)， 故 4 2 2 (k Z) 8 作出 2 所在范围如图所示 当 2 4 22 2 (k Z)时， 2 2 2. 当 2 54 2 2 32 (k Z)时， 2 2 2. 1 角三角函数的基本关系 自主学习 知识梳理 1同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： _. (2)商数关系： _. 2同角三角函数基本关系式的变形 (1) 1 的变形公式： _； _； ( )2 _； ( )2 _； ( )2 ( )2 _； _ _. (2) 的变形公式 ： _； _. 自主探究 1 利用任意角三角函数的定义推导平方关系 2 已知 2， 求下列代数式的值 (1)4 25 3 ； (2)14 13 12 对点讲练 知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值 例 1 已知 817，求 、 . 2 回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同 角之间的三角函数关系，其最基本的应用是 “ 知一求二 ” ，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用 变式训练 1 已知 43，且 是第三象限角，求 ， 的值 知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简 例 2 化简： 1 1 1 1 1 1 . 回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的 (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的 (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解 变式训练 2 化简： 1 知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式 例 3 求证： 1 1 1 . 3 回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简 证明三角恒等式的基本原则：由繁到简 常用方法：从左向右证；从右向左证；左 、右同时证 常用技巧：切化弦、整体代换 变式训练 3 求证： 1 2 1 x. 1同角三角函数的基本关系式揭示了 “ 同角不同名 ” 的三角函数的运算规律，它的精髓在 “ 同角 ” 二字上，如 1， 等都成立，理由是式子中的角为 “ 同角 ” 2已知角 的 某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择一般是先选用平方关系，再用商数关系在应用平方关系求 或 时，其正负号是由角 所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式 3在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点 . 课时作业 一、选择题 1化简 结果是 ( ) C 1 若 为第三象限角，则 1 21 值为 ( ) A 3 B 3 C 1 D 1 3若 45，且 是第二象限角，则 的值等于 ( ) A 43 C 34 D 43 4已知 12，则 1 2 值是 ( ) B 3 C 13 D 3 5已知 52 ，则 1 的值为 ( ) A 4 B 4 C 8 D 8 二、填空题 6已知 是第二象限角， 12，则 _. 7已知 18且 4 2 ，则 4 _. 8若 k 1k 3， k 1k 3，且 的终边不落在坐标轴上，则 的值为_ 三、解答题 9证明： (1) 1 1 ； (2)(2 (2 (1 2(2 10已知关于 x 的方程 2( 3 1)x m 0 的两根为 和 ， (0,2) 求： (1)m 的值； (2)方程的两根及此时 的值 角三角函数的基本关系 答案 知识梳理 1 (1) 1 (2) ( 2 ， k Z) 2 (1)1 1 1 2 1 2 2 2 12 1 22 (2) 自主探究 1解 si 1 ( R) ( 2 ， k Z) 2解 关于 、 的齐次式，可以通过分子、分母同除以 或 转化为关于 的式子后再求值 (1)原式 4 23 5 611. (2)原式14 13 12 14 13 12 1 144 132 125 1330. 对点讲练 例 1 解 c 8170 且 1， 是第二或第三象限的角 (1)如果 是第二象限的角，可以得到 1 1 817 2 1517. 1517 817 158. (2)如果 是第三象限的角 ， 可得到 ： 1517， 158. 变式训练 1 解 由 43， 得 43 . 又 1， 由 得 169 1， 即 925. 又 是第三象限角 ， 35， 43 45. 例 2 解 原式 1 1 1 21 1 21 | | 1 | | 1 | | 1 2 为第一或第四象限角 ， 1 2 为第二或第三象限角 变式训练 2 解 原式 6 1 2 2 2 223. 例 3 证明 左边 1 12 2 12 2 1 右边 原式成立 变式训练 3 证明 左边 2 x x x x x x x 1 x 右边 原等式成立 课时作业 1 C 1. 2 B 为第三象限角， 0， 0， 原式 2 2 3. 3 A 为第二象限角， 45， 35， 43. 7 4 C 1 2 1 1 12 1 12 1 13. 5 C 1 1 . 1 22 18， 1 8. 6 25 5 解析 由 是第二象限的角且 12， 则 12 1，则 55 25 5. 7 32 解析 ( )2 1 2 34， 4 2 ， . 32 . 析 k 1k 3 2 k 1k 3 2 1， 6k 7 0， 1 或 7. 当 k 1 时， 不符合，舍去 当 k 7 时， 35， 45， 34. 9证明 (1)左边 1 8 右边 原式成立 (2) 左边 4 2 2 2 2 2 2 2 右边 (1 2(1 1 2 2 2 2 左边右边，原式成立 10解 (1)由韦达定理知 3 12 由 式可知 1 2 1 32 ， 34 ， 34 ， m 32 ， (2)当 m 32 时，原方程 2( 3 1)x 32 0， 32 ， 12. (0,2) 32 12或 12 32. 3 或 6. 1 角函数的诱导公式 (一 ) 自主学习 知识梳理 1设 为任意角，则 ， ， 的终边与 的终边之间的对称关系 . 相关角 终边之间的对称关系 与 关于 _对称； 与 关于 _对称； 与 关于 _对称 . (1)公式一： 2 _， 2 _， 2_，其中 k Z. (2)公式二： ) _， ) _， )_. (3)公式三： ) _， ) _， ) _. (4)公式四： ) _， ) _， )_. 自主探究 你能否利用 与 终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？ 对点讲练 知识点一 给角求值问题 例 1 求下列各三角函数值 (1) 1 200) ； (2)76 ； (3)45. 2 回顾归纳 此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值 变式训练 1 求 200co s 1 290 1 020) 1 050) 495) 的值 知识点二 给值求值问题 例 2 已知 2，求 的值 回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角 (2)弦切互化是本题的一 个重要技巧，值得关注 变式训练 2 已知 6 33 ， 求 56 6 的值 知识点三 化简三角函数式 例 3 化简： 2 . 3 回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数 k(k 为整数 )一般需按 k 的奇、偶性分类讨论 变式训练 3 化简： k k (其中 k Z) 1明确各诱导公式的作用 诱导公式 作 用 公式一 将角转化为 0 2 求值 公式二 将 0 2 内的角转化为 0 之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为 0 2 求值 这组诱导公式的记忆口诀是 “ 函数名不变，符号看象限 ” 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号 看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上 可以是任意角 . 课时作业 一、选择题 1 85 的值为 ( ) A 22 B. 22 C 32 D. 32 2若 n 为整数，则代数式 的化简结果是 ( ) A B C D 3记 80) k，那么 00 等于 ( ) A. 1 B1 C. D ) m，则 的值为 ( ) A m B m C 1 D 1 5若 ) 4，且 2 ， 0 ，则 )的值为 ( ) A. 53 B 53 C 53 D以上都不对 二、填空题 6 3 23 33 _. 4 7代数式 1 2903050 90 的化简结果是 _ 8设 f(x) x ) x ) 2，其中 a、 b、 、 为非零常数若f(2 009) 1，则 f(2 010) _. 三、解答题 9若 ) 23， 求 的值 10已知 ) 1，求证： ) 0. 三角函数的诱导公式 (一 ) 答案 知识梳理 1. 相关角 终边之间的对称关系 与 关于 原点 对称； 与 关于 x 轴 对称 ； 与 关于 y 轴 对称 . 2.(1) (2) (3) (4) 自主探究 5 解 设 P(x， y)为角 终边上任一点， 角 与 终边关于原点对称 P(x， y)关于原点的对称点 P( x， y)位于角 的终边上 | | r. 由任意角三角函数的定义知： ) ， ) ， ) y x . 借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四 对点讲练 例 1 解 (1) 1 200) 4360 240) 40 80 60) 0 32 ； (2)76 16 6) 16 6) 32 ； (3)45 360 225) 25 80 45) 5 1. 变 式 训 练 1 解 原式 360 120)360 210) 360 300) 360 330) 60 135) 80 60)80 30) 60 60)60 30) 80 45) 00 00 5 32 32 12 12 1 12. 例 2 解 2， ) 2， 2. 1 1 1 2 2 1 13. 变式训练 2 解 56 6 56 6 6 6 6 33 1 33 2 33 23 2 33 . 例 3 解 原式 变式训练 3 解 当 k 为偶数时， 不妨设 k 2n， n Z，则 原式 n n 1. 当 k 为奇数时，设 k 2n 1， n Z，则 原式 n n n n n n 1. 上式的值为 1. 课时作业 1 A 85 60 225) 80 45) 22 . 2 C 若 n 为偶数，则原式 ； 若 n 为奇数，则原式 . 3 B 80) k， 0 k， 0 1 0 1 00 0 1 4 A ) m， m. 原式 m. 5 B ) 23 23， 7 ) 1 1 49 53 . 6 0 解析 原式 3 2 2 3 33 32 2 32 3 32 0. 7 1 解析 原式 1 0 1 21000 0 1 2000 0 |0 0|0 0 1. 8 3 解析 f(2 009) 009 ) 009 ) 2 ) ) 2 2 ( ) 1. 1. f(2 010) 010 ) 010 ) 2 2 3. 9解 原式 . ) ) 23， 23. 为第一象限角或第四象限角 当 为第一象限角时， 23， 1 53 ， 52 ，则原式 52 . 当 为第四象限角时， 23， 1 53 ， 8 52 ，则原式 52 . 10证明 ) 1， 2 2 (k Z)， 2 2 (k Z) ) 2 2 2 2 ) ) ) 0， 原式成立 1 角函数的诱导公式 (二 ) 自主学习 知识梳理 1诱导公式五六 (1)公式五： 2 _； 2 _. 以 替代公式五中的 ，可得公式六 (2)公式六： 2 _； 2 _. 2诱导公式五六的记忆 2 ，2 的三角函数值，等于 的 _三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 _，记忆口诀为 “ 函数名改变，符号看象限 ” 自主探究 在 终边上取一点 P(x， y)，在 2 终边上也取一点 P( x ， y) ，且 | | (x， y)与点 P( x ， y) 两点坐标之间的关系，并利用这一关系推导诱导公式五 对点讲练 知识点一 给值求值问题 例 1 已知 6 13，求 23 的值 回顾归纳 解三角函数问题，应寻找问题中的角与已知条件中的角之间的内在联系，灵活选择角的变换进行求解 2 变式训练 1 (1)若 3 13，则 6 _； (2)若 13， (0 ， ) ，则 32 _. 知识点二 三角函数的化简或证明 例 2 求证： 2 32 32 . 回顾归纳 证明三角恒等式， 一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简同时注意诱导公式的灵活运用 变式训练 2 求 2 2 2 的值 知识点三 诱导公式的综合运用 例 3 已知 ) 52 72 ， 求 2 32 的值 回顾归纳 本题实质是以诱导公式为工具，考查 、 与 之间的关系，关键是熟练应用诱导公式五、六对已知和所求式子准确进行化简 变式训练 3 已知 2 52 60169，且 4 0， 即 0， 0， 1713， 713， 得 1213， 得 513. 课时作业 1 A f(0) f(0) 40 80 60) 0 12. 2 A ) 12， 12. 72 32 2 12. 3 A 4 2 4 4 4 13. 4 C ) 2 m， 32 2 ) 2 3 3 5 C 2 32 ，得 32 ， 又 | | 2 ， 3 ， 3. 6 13 解析 712 2 12 7 12 13. 析 原式 ( 9) ( 8) (4 6) 5 44 12 892. 8 2 解析 原式 1 22 1 2. 9解 原式 1 1 11 21 2 33 ， 原式 6. 10解 由条件，得 2 ，3 2 . 2 2，得 3 2， 又因为 1， 由 得 12，即 22 ， 因为 2 ， 2 ， 所以 4 或 4. 当 4 时，代入 得 32 ，又 (0 ， ) ， 所以 6 ，代入 可知符合 当 4 时，代入 得 32 ，又 (0 ， ) ， 所以 6 ，代入 可知不符合 综上所述，存 在 4 ， 6 满足条件 1 弦函数、余弦函数的图象 自主学习 知识梳理 1正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数 y x(x R)和余弦函数 y x(x R)的图象分别叫做_曲线和 _曲线 (2)图象：如图所示 2 “ 五点法 ” 画图 步骤： (1)列表： x 0 2 32 2 x 0 1 0 1 0 x 1 0 1 0 1 (2)描点： 画正弦函数 y x， x0,2 的图象，五个关键点是 _；画余弦函数 y x ， x0,2 的图象，五个关键点是_ (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图 3正、余弦曲线的联系 依据诱导公式 x x 2 ，要得到 y x 的图象，只需把 y x 的图象向 _平移 2 个单位长度即可 自主探究 已知 0 x2 ，结合正、余弦曲线试探究 x 与 x 的大小关系 对点讲练 知识点一 利用 “ 五点法 ” 作正、余弦函数的图象 例 1 利用 “ 五点法 ” 画函数 y x 1(0 x2) 的简图 2 回顾归纳 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图 “ 五点 ” 即 y x 或 y x 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与 x 轴的交点 “ 五点法 ”是作简图的常用方法 变式训练 1 利用 “ 五点法 ” 画函数 y 1 x， x0,2 的简图 知识点二 利用三角函数图象求定义域 例 2 求函数 f(x) lg x 16 回顾归纳 一些三角函数的
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