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名师 课堂 学年 高中数学 导入 设计 练习 打包 27 新人 必修

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（名师课堂）2013-2014学年高中数学导入设计+练习（打包27套） 新人教A版必修2,名师,课堂,学年,高中数学,导入,设计,练习,打包,27,新人,必修

内容简介：

1 第 柱、锥、台、球的结构特征 一、新课导入 ： 1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？ 2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究 过哪些？ 3. 导入：进入高中，在必修的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算 . 二、 讲授新课： 1. 教学棱柱 、棱锥的结构特征 ： (1)提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？ (2)讨论：给一个长方体模型， 经过上、下两个底面用刀垂直切， 得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平 力推斜后，仍然有哪些公共特征？ (3)定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻 两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成 的几何体叫棱柱 . 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽） 结合图形认识 :底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线 . (4)分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱 柱、五棱柱等 . 表示：棱柱 B C D E (5)讨论： 埃及金字塔具有什么几何特征？ (6)定义：有一个面是多边形，其余各面 都是有一个公共顶点的三 角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥 . 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高 . 讨论：棱锥如何分类及表示？ (7)讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的 性质？ 棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等； 平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似， 其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方 . (8)讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？ (9) 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台 . 列举生活中的实例 结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高 . 讨论：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转而得？ (10)讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？ 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相 交于一点 . 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等 . (11) 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体 . 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？ （以台体的上底面变化为线索） 2. 教学圆柱、圆锥的结构特征： (1) 讨论：圆柱、圆锥如何形成？ (2) 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥 . 列 举生活中的棱柱实例 结合图形认识：底面、轴、 侧面、母线、高 . 表示方法 (3) 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ 柱体、锥体 . (4) 观察书 出相应几何体； 举例：生活中的柱体、锥体 . (5) 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？ (6) 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台 . 列举生活中的实例 结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱 （母 线）、顶点、高 . 讨论：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转而得？ (7) 讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？ 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点 . 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母 线的延长线交于一点；母线长都相等 . (8) 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6个几何体 . 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？ （以台体的上底面变化为线索） 3教学球体的结构特征： 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体 . 列举生活中的实例 结合图形认识：球心、半径、直径 . 球的表示 . 讨论：球有一些什么几何性质？ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体） 棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体） 4. 小结： 几何图形；相关概念；相关性质；生活实例 三、巩固练习： 1. 练习：教材 1、 2题 . 2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5面积为 12圆锥的底面半径 . 轴截面 面积为 24圆柱的母线长 . 6 2侧面等腰三角形面积为 6 2求正四棱锥侧棱 . 、锥、台、球的结构特征 学习目标： 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 知识要点： 结 构 特 征 图例 棱柱 （ 1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （ 2）侧棱平行且相等 . 圆柱 （ 1）两底面相互平行；（ 2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （ 3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体 . O 母线 侧面轴底面底面侧棱侧面顶点F E 棱锥 （ 1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （ 2）各侧面有一个公共顶点 . 圆锥 （ 1）底面是圆；（ 2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体 . O 面轴底面 （ 1）两底面相互平行；（ 2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 . 圆台 （ 1）两底面相互平行； （ 2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 . O （ 1）球心到球面上各点的距离相等；（ 2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 . 半径圆心例题精讲： 【例 1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称 . （ 1）由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形； （ 2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线 80 . 解 ：（ 1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形 . 几何体为正五棱柱 . （ 2）由两个同心的大球和小球 ,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体 , 即空心球 . 【例 2】若三 棱锥的底面为正三角形 ,侧面为等腰三角形 ,侧棱长为 2,底面周长为 9, 求棱锥的高 . 解 ：底面正三角形中，边长为 3，高为 333 s 02 ，中心到顶点距离为 3 3 2 323 ，则棱锥的高为 222 ( 3 ) 1. 【例 3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、 下底面的面积之比为 1： 16，截去的圆锥的母线长是 3 求圆台的母线长 . 解 ：设圆台的母线为 l ，截得圆台的上、下底面半径分别为 r ， 4r . 根据相似 三角形的性质得， 334，解得 9l . 所以，圆台的母线长为 9点评 ：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相 关几何变量的方程组而解得 . 【例 4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为 , ，求 2 2 2c o s c o s c o s 与 2 2 2s i n s i n s i n 的值 . 解 ：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为 a、 b、 c，相应对角线长为 l，则2 2 2l a b c . 2 2 2 2 2 2c o s c o s c o s ( ) ( ) ( ) 1l l ， 2 2 2c o s c o s c o s =1. 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2s i n s i n s i n 2b c a c a bl l l ， 2 2 2s i n s i n s i n =2. 点评 ：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系“ 邻斜”、“ 对斜”而求 . 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线 . 基础达标 1一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） . 两个侧面是矩形 两个侧面垂直于底面 有 一个顶点处的三条棱两两垂直 形的四棱柱 2 下列 说法 中 正确 的 是（ ） . A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3下列说法错 误的是（ ） . A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B. 九棱柱有 9条侧棱， 9个侧面，侧面为平行四边形 C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D. 三棱柱的侧面为三角形 4用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ ） . A. 六边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 直角三角形 5下列说法正确的是（ ） . A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 6设圆锥母线长为 l，高为2l，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为 . 7若长方体的三个面的面积分别为 6 23 22 2则此长方体的对角线长为 . 能力提高 8长方体的全面积为 11，十二条棱的长度之和为 24，求这个 长方体的一条对角线长 . 9如图所示，长方体1 1 1 1 A B C D.（ 1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？1 5 为什么？ （ 2）用平面 部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示 . 如果不是，说明理由 . 探究创新 10现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为 12 3 度单位：米 ). 某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为 3 1，第二种为 4 这两种长方体各需 900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？ (计算到小数点后面 3位 ) 参考答案 1 5 6. 234l； 7. 14 8. 解：设长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c，则 2 ( ) 1 14 ( ) 2 4a b b c a ，而对角线长 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 6 1 1 5l a b c a b c a b b c a c . 9. 解：（ 1）是棱柱，并且是四棱柱 . 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义 . （ 2）截面 ，下方部分是四棱柱11 10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图 ( )和 ( ). 切法 ( )切割出 12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法 ( )切割出 5个第一种长方体和 18 个第二种长 方体 . 取 3 块原料， 2 块按切法 ( )切割， 1 块按切法 ( )切割得到 29个第一种长方体和 30 个第二种长方体因此，取 90块原料，其中 60 块按切法 ( )切割， 30 块按切法 ( )切割，共得到 870个第一种长方体和 900 个第二种长方体 至此，没产生任何余料，但还差 30个第一种长方体再取 2块原料，按切法 ( )切割 (见图 )，得 30个第一种长方体每块原料剩下 12 3 此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90 2 92 块原料 . 此时，材料的利用率为 ( 3 1 2 0 . 1 ) 2 0 . 21 1 9 9 . 9( 3 1 2 3 . 1 ) 9 2 3 . 1 9 2 1 第 柱、锥、台、球的结构特征 一、新课导入 ： 在现实生活中， 我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。 由这些物体抽象出来的空间图形叫做 空间几何体 。 下面请同学们观察课本 物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？ 学生观察思 考，最后归类总结。 上图中的物体大体可分为两大类： （一）由若干个平面 多变形围成的几何体叫做 多面体 。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面 。相邻两 个面的公共边叫做多面体的 棱 ，棱与棱的公共点叫做多 面体的 顶点 。 （二）由一个平面图形绕它所在的平 面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做 旋转体 ，这 条定直线叫做旋转体 的 轴 。 这节课我们主要学习多面体 柱、锥的结构特征。 二、讲授新课： 1. 棱柱的结构特征： 请同学们根据刚才的分类，再对比一下图 (2)(5)(7)(9)中的几何体，并 寻找它们的共同特征。（师生 共同讨论， 总结出棱柱的定义及其相关概念） （ 1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做 棱柱 。 （ 2）棱 柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍） 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的 底面 （简称 底 ），其余各面叫做棱柱的 侧面 ，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点 。 （ 3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有 三棱柱、四棱柱、五棱柱 等。 （ 4）棱柱的表示 用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱 C D E F ” 思考 1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？ 2 解答：不是棱柱。据反例。如右图几何体有两个面 平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。 2棱锥的结构特征： 请同学们根据刚才的分类，再对比一下图 (14)(15)中的物体，并寻找它们的共同特征。 （师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念） （ 1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做 棱锥 。 （ 2）棱锥的有关 概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍） 棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的 底面 或 底 ，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 ，各侧面的公共顶点叫做棱锥的 顶点 ，相邻侧面的公共边叫做棱锥的 侧棱 。 （ 3）棱锥的分类： 按底面的多边形的边数分，有 三棱锥、四棱锥、五棱锥 等。 （ 4） 棱锥的 表示 用底面各顶点的字母表示，如右图的 四棱锥可表示为“棱锥 ” 讨论： 棱柱、棱锥分别具有一些 什么几何性质？有什么共同的性质？ 棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方 . 3圆柱 、圆锥的 结构特征： （ 1）观察 图 的（ 1）（ 3）（ 6）（ 8）的物体，并 思考：圆柱、圆锥如何形成？ （ 2） 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫 圆柱 ；以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,其余两边旋转所成的曲面所围成的 几何体叫圆锥 . （ 3）圆柱、圆锥的有关概念： （ 参照课本图 模型，边对照模型边介绍） 在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的 轴 ，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 底面 ，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做 圆柱的 侧面 ，无论旋转到什么位 置，不垂 直于轴的边都叫做圆柱侧面的 母线 。 圆锥中的 轴 、 底面 、 侧面 、 母线 ，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总结。 （ 4）圆柱、圆锥的表示方法： 圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示，例如图 O，图 为圆锥 3 (5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ 圆柱和棱柱统称为 柱体 ；棱锥和圆锥统称为 锥体 . 三、巩固练习： 1. 练习：教材 1、 2 题 . 2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5面积为 12圆锥的底面半径 . 面半径为 3轴截面面积为 24圆 柱的母线长 . 四、归纳小结： 棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。 五、作业布置 ： 教材 习题 1 题 1 第一章 空间几何体 第 柱、锥、台、球 的结构 特征 提出问题 将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？ 图 1 活动： 让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提示 . 用动态的观点来定义旋转体 . 讨论结果： 以发现，（ 2）、（ 5）、（ 7）、（ 9）、（ 13）、（ 14）、（ 15）、（ 16）具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面体；（ 1）、（ 3）、（ 4）、（ 6）、（ 8）、（ 10）、（ 11）、（ 12）具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体 . 般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 面体、五面体、六面体、 ，一个多面体最少 有 4 个面，四面体 是三棱锥 锥、棱台均是多面体 . 旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 锥、圆台、球均是旋转体 . 提出问题 他多面体相比，图片中的多面体（ 5）、（ 7）、（ 9）具有什么样的共同特征？ 2 他多面体相比，图片中的多面体（ 14）、（ 15）具有什么样的共同特征？ 活动： 学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示 . 对于 1、 3，可 根据围成多面体的各个面的关系来分析 . 对于 2,利用多面体（ 5）、（ 7）、（ 9）的共同特征来定义棱柱 . 对于 4,利用多面体（ 14）、（ 15）的共同特征来定义棱锥 . 对于 5,利用图片中的多面体（ 13）、（ 16）的共同特征来定义棱台 . 讨 论结果： 两个面平行，其余的面都是平行四边形 个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱 个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻 侧面 的公共边叫做棱柱的侧棱 ;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 . 表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱 . 分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 余各面是三角形，这样的几何体称为棱锥 . 一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥 公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 . 表示法：用顶点和底面各顶点的字母表示 . 分类：按底面多边形 的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 . 表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱 台 . 分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台 提出问题 片中的旋转体（ 1）、（ 8）具有什么样的共同特征？ 片中的旋转体（ 3）、（ 6）具有什么样的共同特征？ 给出圆台的定义 . 讨论结果： 两个平行的平面，其他的面是曲面；动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体 矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱 直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧 面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 . 表示：圆柱用表示轴的字母表示 . 规定：圆柱和棱柱统称为柱体 . 一平面，其他的面是曲面；动态的观点：直角三角形绕其一直角边旋转形 3 成的面围成的旋转体 直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线 . 表示：圆锥用表示轴的字母表示 . 规定：圆锥和棱锥统称为锥体 . 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台 面与底面之间的部分 直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂 直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线 . 表示：圆台用表示轴的字母表示 . 规定：圆台和棱台统称为台体 . 半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转 一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体 称为球体，简称球 接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径 . 表示：用表示球心的字母表示 . 知识总结： 锥、棱台的结构特征比较，如下表所示 : 结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱 有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台 底面 两底面是全等的多边形 多边形 两底面是相似的多边 形 侧面 平行四边形 三角形 梯形 侧棱 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 平行于底面的截面 与两底面是全等的多边形 与底面是相似的多边形 与两底面是相似的多边形 过不相邻两侧棱的截面 平行四边形 三角形 梯形 锥、圆台、球的结构特征比较， 如下表所示 : 结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱 以直角三角形的一条直角边为旋转轴， 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球 底面 两底面是平行且半 圆 两底面是平行但半 无 4 径相等的圆 径不相等的圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 不可展开 母线 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 无 平行于底面的截面 与两底面是平行且半径相等的圆 平行于底 面且半径不相等的圆 与两底面是平行且半径不相等的圆 球的任何截面都是圆 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 球圆台圆锥圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体简单几何体应用示例 例 1 下列几何体是棱柱的有（ ） 图 2 活动： 判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意 . 棱柱的结构特征有三方面： 有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行 个几何体才是棱柱 何体 均不符合，仅有 符合 . 答案： D 点评： 本题主要考查棱柱的结构特征 也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述 . 1 第二章 空 间点、直线、平面之间的位置关系 第 平面 （一）实物引入、揭示课题 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对 学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2倍长（如图） 平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平 行四边形的四个顶点或者相对的两个 顶点的大写字母来表示，如平面 面 。 如果几个平面 画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） 课本 图 明 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点 作： A 点 作： B 、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 思考题，让学生充分发表自己的见解。 D C B A A B 2 师：把一把直尺边缘上的任意两点放 在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材 几行相关内容，并加以解析） 符号表示为 A L B L = L A B 公理 1作用：判断直线是否在平面内 师 ：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等 引导学生归纳出公理 2 公 理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为： A、 B、 C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ， 使 A、 B、 C。 公理 2作用：确定一个平面的依据 。 教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 而归纳出公理 3 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线。 符号表示为： P = =L，且 P L 公理 3作用： 判定两个平面是否相交的依据 4、教材 1 通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 5、课堂练习：课本 习 1、 2、 3、 4 6、课时小结：（师生互动，共同归纳） （ 1）本节课我们学习了哪些知识内容？（ 2）三个公理的 内容及作用是什么？ 7、作业布置 （ 1）复习本节课内容； （ 2）预习：同一平面内的两条直线有几种位 置关系？ L A C B A P L 1 第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系 第 平面 提出问题 怎样理解平面这一最基本的几何概念 ; 平面的画法与表示方法 ; 如何描述点与直线、平面的位置关系？ 直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？ 根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？ 如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示 ; 描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？ 自己总结三个公理的有关内容 . 活动： 让学生先思考或讨论， 然后再回答，经教 师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等 . 我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示 . 点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外 . 确定一条直线需要几个点？ 引导学生观察教室的门由几个点确定 . 两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性 . 文字语言、图形语言、符号语言 . 平面的基本性质小结 . 讨论结果： 平面 与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的 像如来佛的手掌 (吴承恩的立体几何一定不错 ). 我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图 5 ，且横边长等于其邻边长的 2 倍 了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图 3. 图 2 图 3 平面的表示法有如下几种：（ 1）在一个希腊字母 、 、 的前面加 “ 平面 ” 二字，如平面 、平面 、平面 等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内 (图 4)；（ 2）用平行四边形的四个字母表示，如平面 5）；（ 3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 5） . 2 图 4 图 5 下面我们总结点 与直线、平面的位置关系如下表 ： 点 A 在直线 直线 a 经过点 A） Aa 元素与集合间的关系 点 直线 ） A a 点 内（或平面 经过点 A） A 点 外（或平面 不经过点 A） A 直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内 (图 7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内 直尺落在平面内 . 公理 1：如果一条直 线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 . 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图 6）描述 . 空间图形的基本元素是点、直线、平面 动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示 用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示 也可以用符号语言表示： 若 Aa,Ba, 且 A,B, 则 a . 图 6 图 7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交 . 若 Aa,Ba, 且 A ,B, 则 a . 如图（图 7） . 在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等 . 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理 . 公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有 一个平面 . 如图（图 8） . 图 8 公理 2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一 . 我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？ 3 不是，因为平面是无限延展的 是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征 . 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看） . 问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点 以有一个公共点，必有无数个公共点 见，这 无数个公共点在一条直线上 . 这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 9），用符号语言表示为： P, 且 P =l, 且 Pl. 图 9 公理 3 告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面 一定相交，且其交线一定过这个公共点 是说，如果两个平面有一个公共点，那么它 们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线 . 由此看出公理 3 不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法 . 描述点、直线、平面的位置关系常用 3种语言 :文字语言、图形语言、符号语言 . “ 平面的基本性质 ” 小结： 名称 作用 公理 1 判定直线在平面内的依据 公理 2 确定一个平面的依据 公理 3 两平面相交的依据 应用示例 例 1 如图 10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系 . 图 10 活动： 学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案） 现问题及时纠正，并及时评价 . 解： 在（ 1）中， =l,a =A,a=B. 在（ 2）中， =l,a ,b ,al=P,bl=P. 变式训练 (1)A,B ,Al,Bl; (2)a ,b ,ac,bc=P,=c. 4 解： 如图 11. 图 11 出图形 . （ 1）平面 平面 =l ，直线 ， ABl ， E直线 =F ， F l; （ 2）平面 平面 =a ， 三个顶点满足条件 :Aa ， B ， B a， C ， C a. 答案： 如图 12. 图 12 点评： 图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型： (1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来 . (2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来 . 例 2 已知直线 直线 图 13 证明： 如图 13,点 在 ， 点 C， 根据公理 2经过不在同一直线上的三点 A、 B、 C 有一个平面 ， 因为 A、 内，根据公理 1，直线 内 , 同理直线 内，即平面 是经过直线 又因为 A、 B在 A、 C在 以经过直线 、 B、 C. 于是根据公理 2，经过不共线的三点 A、 B、 所以经过直线 变式训练 求证 ： 两两相交且不共点的四条直线在同一平面内 . 证明： 如图 14，直线 a、 b、 c、 点分别为 A、 B、 C、 D、 E、 F, 图 14 直线 a 直线 b=A, 直线 ，即 a,b . B 、 Ca ， E、 Fb,B 、 C、 E、 F. 而 B、 Fc ， C、 Ed,c 、 d , 即 a、 b、 c、 5 点评： 在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理 2外，确定平面的依据还有： (1)直线与直线外一点 .(2)两条相交直线 .(3)两条平行直线 . 课堂小结 义的原始概念，其基本特征是无限延展性 . 作用 . 名称 作用 公理 1 判定直线在平面内的依据 公 理 2 确定一个平面的依据 公理 3 两 平面相交的依据 线、共点问题 . 作业 课本习题 、 6. 1 【新课教学过程设计（一）】 第三章 直线与方程 第 倾斜角与斜率 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题引入 我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点 图 ，过一点 P 可作无数多条直线 a， b， c，易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？ 直