（全程复习构想）2014年高考数学一轮复习 第七单元课件 理（打包5套
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（全程复习构想）2014年高考数学一轮复习 第七单元课件 理（打包5套,全程,复习,温习,构想,年高,数学,一轮,第七,单元,课件,打包
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7 1 命题及其关系、 充分条件与必要条件 考纲点击 1. 理解命题的概念 2 了解 “ 若 p ，则 q ” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 . 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 说基础 课前预习读教材 考点梳理 一、命题 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以 _ 叫做命题其中 _ 的语句叫做真命题， _ 的语句叫做假命题 二、四种命题及其关系 1 四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p 则 q 逆命题 _ 否命题 _ 逆否命题 _ 2. 四种命题间的关系 3 四种命题的真假关系 (1) 两个命题互为逆否命题，它们有 _ 的真假性； (2) 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 _. 三、充分条件与必要条件 1 如果 p q ，那么 p 是 q 的 _ ， q 是 p 的 _. 2 如果 p q 且 q p ，那么 p 是 q 的 _. 答案： 判断真假的陈述句 判断为真 判断为假 若 q 则 p 若 綈 p 则 綈 q 若 綈 q 则 綈 p 逆命题 否命题 逆否命题 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件 考点自测 1. 已知 a ， b ， c R ，命题 “ 若 a b c 3 ，则 b23 ” 的否命题是 ( ) A 若 a b c 3 ，则 3 B 若 a b c 3 ，则 3 C 若 a b c 3 ，则 3 D 若 3 ，则 a b c 3 解析： a b c 3 的否定是 a b c 3 ， a 2 b 2 c 2 3的否定是 a 2 b 2 c 2 3. 答案： A 2 设集合 A x R | x 2 0 ， B x R | x 0 ， C x R | x ( x 2) 0 ，则 “ x A B ” 是 “ x C ” 的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： A B x R | x 0 或 x 2 ， C x R | x 0 或 x 2 ， A B C ， x A B 是 x C 的充分必要条件故选 C. 答案： C 3 与命题 “ 若 a M ， 则 b M ” 等价的命题是 ( ) A 若 a M ，则 b M B 若 b M ，则 a M C 若 a M ，则 b M D 若 b M ，则 a M 解析： 命题的逆否命题： “ 若 b M ，则 a M ” 与原命题等价，故选 D. 答案： D 4 命题 “ 若 C 90 ，则 直角三角形 ” 与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( ) A 0 B 2 C 3 D 4 解析： 命题 “ 若 C 90 ，则 直角三角形 ” 是正确的， 其逆否命题也正确 又 命题 “ 若 C 90 ，则 直角三角形 ” 的逆命题是 “ 若 直角三角形，则 C 90 ” 是错误的 否命题也是错误的， 只有两个命题正确 答案： B 5 设 A 、 B 为两个集合，下列四个命题： A B 对任意 x A ，有 x B ； A B A B ； A B A B ； A B 存在 x A ，使得 x B . 其中真命题的序号是 _ _ ( 把符合要求的命题序号都填上 ) 解析： 若 A 1,2 ,3 ， B 2,3 ,4 ，则集合 A 、 B 满足 A B A, 2 B ，故 、 错若取 A 1,2 ,3 ， B 2,3 ，则集合 A 、 B 满足 A B ，但 A B ，故 是错误的 答案： 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1. 用集合的观点，看充要条件 设集合 A x | x 满足条件 p ， B x | x 满足条件 q ，则有： (1) 若 A B ，则 p 是 q 的充分条件，若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件； (2) 若 B A ，则 p 是 q 的必要条件，若 B A ，则 p 是 q 的必要不充分条件； (3) 若 A B ，则 p 是 q 的充要条件； (4) 若 A B ，且 B A ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2 从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性， 因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假这就是常说的 “ 正难则反 ” . 题型探究 题型一 四种命题及其真假判断 例 1 下列命题中的真命题是 ( ) A 命题 “ 若 a 、 b 都是偶数，则 a b 是偶数 ” 的逆命题 B 命题 “ 奇数的平方不是偶数 ” 的否定 C 命题 “ 空集是任何集合的真子集 ” 的逆否命题 D 命题 “ 至少有一个内角为 60 的三角形是正三角形 ”的否命题 解析： 选择项 A 中的命题是 “ a b 是偶数，则 a 、 b 都是偶数 ” ，举一反例即能断定这是一个假命题； 选择项 B 中的命题是 “ 存在一个奇数，其平方是偶数 ” ，显然也是一个假命题； 注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集， 选择项 C 中的原命题是一个假命题， 它的逆否命题也是一个假命题； 选择项 D 中的命题是 “ 三个内角均不为 60 的三角形不是正三角形 ” ，这显然是一个真命题 所以正确选项为 D. 答案： D 点评： 原命题与它的逆命题不等价，原命题与它的否命题也不等价，解题时应该充分注意这一点，要避免犯 “ 用一个命题的逆命题或否命题的真假来断定原命题的真假 ” 的错误 变式探究 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假： (1) 若 q 1 ，则方程 2 x q 0 有实数根； (2)a 0 ，b 0 ， 0 ，a b (1) 逆命题是 “ 若方程 2 x q 0 有实数根，则 q 1 ” ，是假命题； 否命题是 “ 若 q 1 ，则方程 2 x q 0 没有实数根 ” ，是假命题； 逆否命题是 “ 若方程 2 x q 0 没有实数根，则 q 1 ” ，同原命题一样是一个真命题 (2) 原命题即 “ 若 a 0 ，且 b 0 ，则 0 ，且 a b 0 ” ，是一个真命题； 逆命题是 “ 若 0 ，且 a b 0 ，则 a 0 ，且 b 0 ” ，是一个真命题； 否命题是 “ 若 a 0 ，或 b 0 ，则 0 ，或 a b 0 ” ， 逆否命题是 “ 若 0 ，或 a b 0 ，则 a 0 ，或 b 0 ” ， 从原命题和逆命题都是真命题可以断定否命题和逆否命题也都是真命题 . 题型二 充分条件与必要条件的判定 例 2 用 “ 充分条件、必要条件、充要条件 ” 填空： (1) “ a b 0 且 0 ” 是 “ a 0 且 b 0 ” 的_ ； (2) “ x 1 ” 是 “1x 1 ” 的 _ _ ； (3) “ x 2 ” 是 “ 7 x 10 0 ” 的 _ 解析： (1) a b 0 且 0 ， a ， b 同号且都是负数 即 a b 0 且 0 a 0 且 b 0. 又 a 0 且 b 0 ， a b 0 ， 0 ， 即 a 0 且 b 0 a b 0 且 0 ， “ a b 0 且 0 ” 是 “ a 0 且 b 0 ” 的充要条件 ( 2) x 1 时，1x 1 成立，即 x 1 1x 1 ， 又 1x 1 时， x 未必大于 1( 如 x 3) ，即1x 1/ x 1 ， “ x 1 ” 是 “1x 1 ” 的充分条件 ( 3) 当 x 2 时， 7 x 10 4 14 10 0 ， x 2 7 x 10 0 ， 当 7 x 10 0/ x 2 ， “ x 2 ” 是 “ 7 x 10 0 ” 的充分条件 答案： ( 1) 充要条件 ( 2 ) 充分条件 ( 3) 充分条件 点评： 判断 p 是 q 的什么条件，其实质是判断 “ 若 p 则 q ”及其逆命题 “ 若 q 则 p ” 是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则 p 是q 的必要不充分条件；原 命题为真，逆命题为真，则 p 是 q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件，同时要注意反例法的运用 变式探究 2 指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件 ( 在“ 充分不必要条件 ” 、 “ 必要而不充分条件 ” 、 “ 充要条件 ” 、“ 既不充分又不必要条件 ” 中选出一种作答 ) (1) 在 ， p ： A B ， q ： (2) 对于实数 x 、 y ， p ： x y 8 ， q ： x 2 或 y 6 ； (3) 在 ， p ： ， q ： ； (4) 已知 x ， y R ， p ： ( x 1)2 ( y 2)2 0 ， q ： ( x 1)( y 2) 0. 解析： (1) 在 ，显然有 A B p 是 q 的充要条件 (2) 逆否命题： x 2 且 y 6 x y 8 ， p 是 q 的充分不必要条件 (3) 取 A 120 ， B 30 ， p / q ，又取 A 30 ， B 120 ，q / p ， p 是 q 的既不充分又不必要条件 (4) p ： x 1 且 y 2 ， q ： x 1 或 y 2 ， p 是 q 的充分不必要条件 . 题型三 充要条件的应用 例 3 已知集合 M x | x 3 或 x 5 ， P x |( x a ) ( x 8) 0 (1) 求实 数 a 的取值范围，使它成为 M P x |5 x 8 的充要条件； (2) 求实数 a 的一个值，使它成为 M P x |5 x 8 的一个充分但不必要条件； (3) 求实数 a 的取值范围，使它成为 M P x |5 x 8 的一个必要但不充分条件 解析： ( 1) 由 M P x |5 x 8 ，得 3 a 5 ，因此 M P x |5 x 8 的充要条件是 a | 3 a 5 ； ( 2) 求实数 a 的一个值，使它成为 M P x |5 x 8 的一个充分但不必要条件，就是在集合 a | 3 a 5 中取一个值，如取 a 0 ，此时必有 M P x |5 x 8 ；反之， M P x |5 x 8 未必有 a 0 ，故 a 0 是所求的一个充分不必要条件； ( 3) 求实数 a 的取值范围，使它成为 M P x |5 x 8 的一个必要不充分条件就是另求一个集合 Q ，使 a | 3 a 5是集合 Q 的一个真子集如果 a | a 5 时，未必有 M P x |5 x 8 ，但是 M P x |5 x 8 时，必有 a 5 ，故 a | a 5是所求的一个必要不充分条件 点评： 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 求解 变式探究 3 设 A xx 1x 1 0 ， B x | x b | a ，若“ a 1 ” 是 “ A B ” 的充分条件，则实数 b 的取值范围是( ) A 2 b 2 B 2 b 2 C 2 b 2 D b 2 答案： C 题型四 充要条件的证明与探求 例 4 设 a ， b ， c 为 A 三边，求证：方程 2 0 与 2 0 有公共根的充要条件 是 A 90 . 解析： 充分性： A 90 ， 于是方程 2 0 ， 可化为： 2 0. 2 ( a c )( a c ) 0 ，即 x ( a c ) x ( a c ) 0. 该方程有两个根： ( a c ) ， ( a c ) 同样，另一方程 2 0 也可化为： 2 ( 0. 2 ( c a )( c a ) 0. x ( c a ) x ( c a ) 0. 该方程也有两个根： ( a c ) ， ( c a ) 可以发现 以这里的两个方程有公共根 必要性： 设 是两方程的公共根， 2 2 0 ， 2 2 0. 由 式 式得： 2 2 2 ( a c ) 0. 0 ， ( a c ) 将 ( a c ) 代入 式整理可得： A 90 . 点评： 充要条件的证明应注意： 一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是 条件，哪个是结论 变式探究 4 求关于 x 的方程 1 0 有两个负实根的充要条件 解析： 若 1 0 有两个负实根，则 0 且 m 0 m 2 ，即 m 2 是方程 1 0 有两个负实根的必要条件 充分性： m 2 ， 4 0 ，方程 1 0 有实根 设 1 0 的两个实根为 根与系数的关系知 1 0 ，所以 又 m 2 ， 分性得证 故关于 x 的方程 1 0 有两个负实根的充要条件是 m 2. 归纳总结 方法与技巧 1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必要保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个 ( 或 n 个 ) 作为大前提 2 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的 3 命题的充要关系的判断方法 (1) 定义法：直接判断若 p 则 q 、若 q 则 p 的真假 (2) 等价法：利用 A B 与 綈 B 綈 A ， B A 与 綈 A 綈 B ，A B 与 綈 B 綈 A 的等价关系，对于条件 或结论是否定式的命题，一般运用等价法 (3) 利用集合间的包含关系判断：若 A B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A B ，则 A 是 B 的充要条件 失误与防范 1 否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论要注意区别 2 判断 p 与 q 之间的关系时，要注意 p 与 q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆 . 新题速递 1. (2012 湖南卷 ) 命题 “ 若 4，则 1 ” 的逆否命题是 A 若 4，则 1 B 若 4，则 1 C 若 1 ，则 4D 若 1 ，则 4解析： 命题 “ 若 p 则 q ” 的逆否命题是 “ 若 綈 q 则 綈 p ” ，选 C. 答案： C 2 (2012 天津卷 ) 设 x R ，则 “ x 12” 是 “ 2 x 1 0 ”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 由 2 x 2 x 1 0 ，得 x 1 或 x 12，故 “ x 12”是 “ 2 x 2 x 1 0 ” 的充分而不必要条件，选 A. 答案： A 3 (2012 湖北卷 ) 设 a ， b ， c R，则 “ 1 ” 是 “1a1b1c a b c ” 的 A 充分条件但不是必要条件 B 必要条件但不是充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要的条件 解析：1a1b1c 2( a b c ) ( a b ) ( b c ) ( c a ) 2( ，当且仅当 a b c 时取等号，故 a b c 所以，1a1b1c a b c ( 当且仅当 a b c 时等号成立 ) 取 a b c 2 ，则1a1b1c a b c ，但不能推出 1 ，因此，选 A. 答案： A 4 (2013 济宁调研 ) 已知 p ：x 1x 0 ， q ： 4x 2x m 0 ，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是 ( ) A m 2 2 B m 2 2 C m 2 D m 6 解析： 由 p 得： 0 x 1 ，在此条件下 q 恒成立，故 m (4 x 2 x ) m 可得 m 6. 答案： D 5 (2013 瑞安联考 ) 如果对于任意实数 x ， x 表示不小于x 的最小整数，例如 2 ， 1 ，那么 “ | x y | 1 ” 是 “ x y ” 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 由 | x y | 1 不一定得出 x y ，如 x y ， x 2 ， y 3 ；若 x y ，则 | x y | 1 ，因此 “ | x y | 1 ” 是 “ x y ” 的必要不充分条件 答案： B 7 2 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词 考纲点击 1. 了解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义 2 理解全称量词与存在量词的意义 . 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1. 简单的逻辑联结词 (1) _ 叫做逻辑联结词 (2) 用联结词 “ 且 ” 联结命题 p 和命题 q ，记作 _ ，读作 _. (3) 用联结词 “ 或 ” 联结命题 p 和命题 q ，记作 _ ，读作 “ p 或 q ” (4) 对一 个命题 p 全盘否定记作 _ ，读作 “ 非 p ” 或“ p 的否定 ” (5) 真值表：表示命题真假的表叫真值表 由命题 p 、 q 及逻辑联结词形成的新命题的真假可以通过下面的真值表来加以判断 . p q 非 p p 或 q p 且 q 真 真 _ _ _ 真 假 _ _ _ 假 真 _ _ _ 假 假 _ _ _ 2. 量词 ( 1 ) 短语 “ 所有的、任意一个 ” 在逻辑中通常叫做全称量词； 常见的全称量词还有 “ 一切、每一个、任给、所有的 ” 等 ( 2 ) 含有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的命题叫做全称命题 ( 3 ) 短语 “ 存在一个、至少有一个 ” 在逻辑中通常叫做存在量词；常见的存在量词还有 “ 有些、有一个、某个 ” 等 ( 4 ) 含有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的命题叫做特称命题 ( 5 ) 全称命题 p ： x M ， p ( x ) 的否定 綈 p ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；全称命题的否定是 21 _ _ _ _ _ _ 命题 ( 6 ) 特称命题 p ： x M ， p ( x ) 的否定 綈 p ： 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；特称命题的否定是 23 _ _ _ _ _ _ 命题 答案： “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” p q “ p 且 q ” p q 綈 p 假 真 真 假 真 假 真 真 假 真 假 假 全称量词 存在量词 x M ， 綈 p ( x ) 21 特称 22 x M ， 綈 p ( x ) 23 全称 考点自测 1. 全称命题 “ x Z, 2 x 1 是整数 ” 的逆命题是 ( ) A 若 2 x 1 是整数，则 x Z B 若 2 x 1 是奇数，则 x Z C 若 2 x 1 是偶数，则 x Z D 若 2 x 1 能被 3 整除，则 x Z 解析： 命题 “ x Z, 2 x 1 是整数 ” 的条件为： x Z ，结论为： 2 x 1 是整数 答案： A 2 命题 “ p 且 q ” 与命题 “ p 或 q ” 都是假命题，则下列判断正确的是 ( ) A 命题 “ 綈 p ” 与 “ 綈 q ” 真假不同 B 命题 “ 綈 p ” 与 “ 綈 q ” 至多有一个是假命题 C 命题 “ 綈 p ” 与 “ q ” 真假相同 D 命题 “ 綈 p 綈 q ” 是真命题 解析： p 且 q 是假命题 p 和 q 中至少有一个假，则 綈 q 至少有一个是真命题 p 或 q 是假命题 p 和 q 都是假命题 则 綈 p 和 綈 q 都是真命题 答案： D 3 已知 p ： 2 2 5 ； q ： 3 2 ，则下列判断错误的是 ( ) A “ p q ” 为真， “ 綈 q ” 为假 B “ p q ” 为假， “ 綈 p ” 为真 C “ p q ” 为假， “ 綈 p ” 为假 D “ p q ” 为假， “ p q ” 为真 解析： 2 2 5 是错误的， 命题 p 为假命题 q 为真命题， 綈 q 为假， p q 为真， p q 为假， 綈 p 为真 答案： C 4 下列全称命题中假命题的个数是 _ 2 x 1 是整数 ( x R ) x R ， x 3 x Z, 2 1 为奇数 解析： 、 是假命题 答案： 2 5 命题 “ x R ， m Z ， m x 1 ” 是_ 命题 ( 填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ) 解析： 由于 x R ， x 1 x 1223434 0 ，因为只需 m 0 ，即 0 m 1 ，所以当 m 0 或 m 1 时， x R ，m x 1 成立，因此命题是真命题 答案： 真 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1. 逻辑联结词 “ 或 ” 的含义有三种 逻辑联结词中的 “ 或 ” 的含义，与并集概念中的 “ 或 ” 的含义相同如 “ x A 或 x B ” ，是指： x A 且 x B ； x A 且 x B ； x A 且 x B 三种情况再如 “ p 真或 q 真 ” 是指： p 真且 q 假； p 假且 q 真； p 真且 q 真三种情况因此，在遇到逻辑联结词 “ 或 ” 时，要注意分析三种情况 2 正确区别：命题的否定与否命题 “ 否命题 ” 是对原命题 “ 若 p ，则 q ” 的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论； “ 命题 的否定 ” 即 “ 非 p ” ，只是否定命题 p 的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系 . 题型探究 题型一 含有逻辑联结词的命题真假判定 例 1 已知命题 p ： x R ，使 x 1 ，命题 q ： 3 x 2 0 的解集是 x |1 x 2 ，给出下列结论： 命题 “ p q ” 是真命题； 命题 “ p 綈 q ” 是假命题； 命题 “ 綈 p q ” 是真命题； 命题 “ 綈 p 綈 q ” 是假命题其中正确的是 ( ) A B C D 解 析： 命题 p ： x R ，使 x 1 是真命题， 命题 q ： 3 x 2 0 的解集是 x |1 x 2 也是真命题， 命题 “ p q ” 是真命题； 命题 “ p 綈 q ” 是假命题； 命题 “ 綈 p q ” 是真命题； 命题 “ 綈 p 綈 q ” 是假命题，故应选 D. 答案： D 点评： 正确理解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题的真假； 根据其真值表判断复合命题的真假 变式探究 1 若命题 p ：不等式 b 0 的解集是 x | x ，命题 q ：关于 x 的不等式 ( x a )( x b ) 0 的解集是 x | a x b ，则在命题： “ p 且 q ” 、 “ p 或 q ” 、 “ 非 p ” 、 “ 非q ” 中，是假命题的有 _ 解析： 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题，所以 “ p 且 q ”为假、 “ p 或 q ” 为假、 “ 非 p ” 为真、 “ 非 q ” 为真 答案： “ p 且 q ” 、 “ p 或 q ” 题型二 判断全称命题与特称命题的真假 例 2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假 (1) 有一个实数 ， c 1 ； (2) 任何一条直线都存在斜率； (3) 所有的实数 a ， b ，方程 b 0 恰有唯一解； (4) 存在实数 x ，使得1x 1 2. 解析： 本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解 ( 1) 是一个特称命题，用符号表示为： R ， c 1 ，是一个假命题 ( 2) 是一个全称命题，用符号表示为： 直线 l ， l 存在斜率，是一个假命题 ( 3) 是一个全称命题，用符号表示为： a ， b R ，方程 b 0 恰有唯一解，是一个假命题 ( 4) 是一个特称命题，用符号表示为： x R ，1x 12 ，是一个假命题 点评： 短语 “ 所有 ” 、 “ 任意 ” 、 “ 凡是 ” 、 “ 每一个 ”等在陈述句中都表示事物的全体，这些语词都可以理解为全称量词，相应的命题叫做全称命题短语 “ 有一个 ” 、 “ 有些 ” 、“ 至少有一个 ” 在陈述句中都表示事物的个体或部分，可以理解为存在量词，相应的命题叫做特称命题 变式探究 2 判断下列命题的真假： (1) 每个指数函数都是单调函数； (2) 任何实数都有算术平方根； (3) x x | x 是无理数 ， (4) x R ， 0. 解析： ( 1) 指数函数的形式为 y 其中 a 0 且 a 1) ，定义域 x | x R ，对每一个符合题意的 a ，函数 y a 1 时，函数 y 上为增函数当 0 a 1 时，函数 y 上为减函数，所以，全称命题 “ 每个指数函数都是单调函数 ” 是真命题 ( 2) 1 是实数，但 1 无解，也就是 1 无意义，所以，全称命题 “ 任何实数都有算术平方根 ” 是假命题 ( 3) 3 是无理数，但 ( 3 )2 3 是有理数，所以，全称命题 “ x x | x 是无理数 ， 是假命题 ( 4) 由于 1 R ，当 x 1 时， 0 ，所以，特称命题 “ x R ， 0 ” 是真命题 . 题型三 全 ( 特 ) 称命题的否定 例 3 写出下列命题的 “ 否定 ” ，并判断其真假 (1) p ： x R ， x 14 0 ； (2) q ：所有的正方形都是矩形； (3) r ： x R ， 2 x 2 0 ； (4) s ：至少有一个实数 x ，使 1 0. 解析： ( 1) 綈 p ： x R ， x 14 0 ，这是假命题， 因为 x R ， x 14 ( x 12)2 0 恒成立 ( 2) 綈 q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题 ( 3) 綈 r ： x R ， 2 x 2 0 ，是真命题，这是由于 x R ，2 x 2 ( x 1)2 1 1 0 成立 ( 4) 綈 s ： x R ， 1 0 ，是假命题，这是由于 x 1 时，1 0. 点评： 这四个命题中， p ， q 是全称命题， r ， s 是特称命题 全称命题 p ： x M ， p ( x ) ，它的否定 綈 p ： x M ， 綈p ( x ) 特称命题 q ： x M ， q ( x ) ，它的否定 綈 q ： x M ， 綈q ( x ) 变式探究 3 写出下列命题的否定并判断真假 (1) p ：所有末位数字是 0 的整数都能被 5 整除； (2) q ： x 0 ， 0 ； (3) r ：存在一个三角形，它的内角和大于 180 ； (4) t ：某些梯形的对角线互相平分 解析： ( 1) 綈 p ：存在一个末位数字是 0 的整数不能被 5 整除，假命题 ( 2) 綈 q ： x 0 ， 0 ，真命题 ( 3) 綈 r ：所有三角形的内角和都小于等于 180 ，真命题 ( 4) 綈 t ：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题 . 题型四 由命题真假求参数的取值范围 例 4 已知 p ：方程 1 0 有两 个不等的负根， q ：方程 4 4( m 2) x 1 0 无实根若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求 m 的取值范围 解析： 若方程 1 0 有两个不等的负根，则 4 0m 0，解得 m 2 ，即 p ： m 2 ； 若方程 4 4( m 2) x 1 0 无实根， 则 16 ( m 2)2 16 16 ( 4 m 3) 0 ， 解得： 1 m 3 ，即 q ： 1 m 3. 因 p 或 q 为真，所以 p 、 q 至少有一个为真，又 p 且 q 为假，所以 p 、 q 至少有一个为假，因此， p 、 q 两命题应一真一假，即 p 为真， q 为假或 p 为假， q 为真 m 2 ，m 1 或 m 3 ，或m 2 ，1 m 3 ，解得： m 3 或 1 m 2. 点评： 解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假 ( 有时不一定只有一种情况 ) ，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围 变式探究 4 已知 c 0 ，命题 p ：函数 y 上单调递减， q ：不等式 x | x 2 c | 1 的解集为 R ， p q 为假， p c 的取值范围 解析： 函数 y 上单调递减 0 c 1. 不等式 x | x 2 c | 1 的解集为 R 函数 y x | x 2 c |在 R 上恒大于 1. x | x 2 c |2 x 2 c ， x 2 c ，2 c ， x 2 c ， 函数 y x | x 2 c |在 R 上的最小值为 2 c . 不等式 x | x 2 c | 1 的解集为 R 2 c 1 c 12. 如果 p 正确，且 q 不正确，则 0 c 12； 如果 p 不正确，且 q 正确，则 c 1. c 的取值范围为0 ，12 1 ， ). 归纳总结 方法与技巧 1 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真 2 要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假 3 全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集 失误与防范 1 p q 为真命题，只需 p 、 q 有一个为真即可， p q 为真命题，必须 p 、 q 同时为真 2 p 或 q 的否定为：非 p 且非 q ； p 且 q 的否定为：非 q . 3 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题 4 简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关 系 . 新题速递 1. (2012 福建卷 ) 下列命题中，真命题是 ( ) A R ， e 0 B x R, 2x a b 0 的充要条件是 1 D a 1 ， b 1 是 1 的充分条件 解析： x R ， 0 ，所以 A 错；当 x 2 时， 2x 此 B 错； a b 0 中 b 可取 0 ，而 1 中 b 不可取 0 ，因此，两者不等价，所以 C 错 答案： D 2 (2012 湖北卷 ) 命题 “ Q ” 的否定是( ) A Q B Q C x Q D x Q 解析： 原命题为特称命题，写其否定的方法是：先改变量词，再否定结论，故否命题为 “ x R Q ， x 3 Q ” 答案： D 3 (2012 辽宁卷 ) 已知命题 p ： R ， f ( f ( ( 0 ，则 綈 p 是 ( ) A R ， f ( f ( ( 0 B R ， f ( f ( ( 0 C R ， f ( f ( ( 0 D R ， f ( f ( ( 0 解析： p 是全称命题， 綈 p 是特称命题， “ ” 的否定为 “ ” ， “” 的否定是 “ ” ，故选 C. 答案： C 4 (2013 湖南模拟 ) 已知命题 p ： x R ， 1 2 x ；命题 q ：若 1 0 恒成立，则 4 m 0 ，那么 ( ) A “ 綈 p ” 是假命题 B q 是真命题 C “ p 或 q ” 为假命题 D “ p 且 q ” 为真命题 解析： 因为 1 2 x ，即 2 x 1 0 ，也即 ( x 1)2 0 ，所以命题 p 为假；若 1 0 恒成立，则须 m 0 或m 0 ， 4 m 0 ，则 4 m 0 ，所以命题 q 为假，故选 C. 答案： C 5 (2013 长沙一模 ) 已知命题 p ： m R ，且 m 1 0 ，命题 q ： x R ， 1 0 恒成立，若 p q 为假命题，则m 的取值范围是 _ 解析： 先求 p q 是真命题时 m 的取值范围，再求其补集命题 p 是真命题时， m 1 ，命题 q 是真命题 时， 4 0 ，解得 2 m 2 ，所以 p q 是真命题时， 2 m 1 ，故 p m 的取值范围是 m 2 或 m 1. 答案： m 2 或 m 1 7 3 合情推理与演绎推理 考纲点击 1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 说基础 课前预习读教材 考点梳理 推理 答案： 归纳推理 全部对象 部分 个别 类比推理 这些特征 由特殊到特殊 条件 对象 特殊问题 一般 特殊 考点自测 1. 观察下列等式： 13 23 (1 2)2,13 23 33 (1 2 3)2,13 23 33 43 (1 2 3 4)2， ，根据上述规律，第四个等式为 _ 答案： 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 (1 2 3 4 5) 2 2 在平面上，若两个正三角形的边长比为 1 2 ，则它们的面积比为 1 4 ，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1 2 ，则它们的体积比为 _ 答案： 1 8 3 用三段论的形式写出下列演绎推理 (1) 若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相等，则两角不是对顶角； (2) 矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等； (3) 0. 332是有理数； (4) y x ( x R ) 是周期函数 解析： (1) 若两个角是对顶角，则两角相等， ( 大前提 ) 1 和 2 不相等， ( 小前提 ) 所以 1 和 2 不是对顶角 ( 结论 ) (2) 每一个矩形的对角线相等， ( 大前提 ) 正方形是矩形， ( 小前提 ) 所以正方形的对角线相等 ( 结论 ) (3) 所有的循环小数是有理数， ( 大前提 ) 0. 332是循环小数， ( 小前提 ) 所以 0. 332是有理数 ( 结论 ) (4) 三角函数是周期函数， ( 大前提 ) y x 是三角函数， ( 小前提 ) 所以 y x 是周期函数 ( 结论 ) 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理，是数学的基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常运用的思维方式在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明 2 应用三段 论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的 . 题型探究 题型一 归纳推理 例 1 设 f ( n ) n 41 ， n N ，计算 f ( 1) ， f ( 2) ， f ( 3) ， f ( 4) ， ，f ( 10) 的值，同时作出归纳推理，并用 n 40 验证猜想的结论是否正确 解析： 首先分析题目的条件，并对 n 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、8 、 9 、 10 的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题 f ( 1 ) 12 1 41 43 ， f ( 2 ) 22 2 41 47 ， f ( 3) 32 3 41 53 ， f ( 4 ) 42 4 41 61 ， f ( 5 ) 52 5 41 71 ， f ( 6) 62 6 41 83 ， f ( 7 ) 72 7 41 97 ， f ( 8 ) 82 8 41 1 1 3 ， f ( 9 ) 92 9 41 131 ， f ( 10 ) 102 10 41 15 1. 由此猜想， n 为任何正整数时 f ( n ) n 41 都是质数 当 n 40 时， f ( 40 ) 402 40 41 41 41 ，所以 f ( 40) 为合数，因此猜想的结论是不正确的 点评： 由归纳推 理所得到的结论不一定正确，但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用应用时首先分析清楚题目的条件，合理归纳 变式探究 1 观察： 1 ； 1. 由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广 解析： 观察 10 20 60 90 ， 5 10 75 90 ，因此猜测推广为 90 ，则 1 ， 证明如下：由 90 ， ) 90 ) 1. 又因为 ) 1 ， )(1 ) 1(1 ) t (ta n ) t a n 1 ( 1 ) 1. 命题得证 . 题型二 类比推理 例 2 在 ，射影定理可以表示为 a b c c c ，其中 a ， b ， c 依次为角 A 、 B 、 C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想 . 解析： 如图，在四面体 P ， S 分别表示 P 面积， 、 、 依次表示面 P 面 面 底面 成角的大小 ，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S . 点评： 运用类比推理的方法，可以帮助我们发现问题，探索规律，不少定理、公式就是运用这种方法提出，再经过严格的证明得到的 变式探究 2 在三角形中有下面的性质： (1) 三角形的两边之和大于第三边； (2) 三角形的中位线等于第三边的一半； (3) 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心； (4) 三角形的面积为 S 12( a b c ) r ( r 为三角形内切圆半径 ) 请类比出四面体的有关 相似性质 解析： (1) 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2) 四面体的中位面 ( 过棱的中点的面 ) 的面积等于第四个面的面积的四分之一，且平行于第四个面； (3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心； (4) 四面体的体积为 V 13( r ( r 为四面体内切球的半径， . 题型三 演绎推理 例 3 已知函数 y f ( x ) ，满足对任意 a ， b R ， a b ，都有 a ) b ) b ) a ) ，试证明： f ( x ) 为 R 上的单调增函数 解析： 设 x 1 ， x 2 R ，取 x 1 x 2 ，则由题意得 x 1 f ( x 1 ) x 2 f ( x 2 ) x 1 f ( x 2 ) x 2 f ( x 1 ) ， x 1 f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 2 f ( x 2 ) f ( x 1 ) 0 ， f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) 0 ， x 1 x 2 ， f ( x 2 ) f ( x 1 ) 0 ， f ( x 2 ) f ( x 1 ) 所以 y f ( x ) 为 R 上的单调增函数 点评： 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显 然的，则可以省略 变式探究 3 已知 a 0 ，函数 f ( x ) ln x x 0.( f ( x )的图象连续不断 ) ( 1) 求 f ( x ) 的单调区间； ( 2) 当 a 18时，证明：存在 x 0 (2 ， ) ，使 f ( x 0 ) f32. 解析： ( 1) f ( x ) 1x 2 1 2 x (0 ， ) 令 f ( x ) 0 ，解得 x 2 a2 a. 当 x 变化时， f ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如表： 所以， f ( x ) 的单调递增区间是0 ，2 a2 a， f ( x ) 的单调递减区间是2 a2 a， . ( 2) 证明：当 a 18时， f ( x ) ln x 1) 知 f ( x ) 在 ( 0, 2) 内单调递增，在 (2 ， ) 内单调递减 令 g ( x ) f ( x ) f32. 由于 f ( x ) 在 ( 0,2) 内单调递增，故 f ( 2 ) f32，即 g ( 2) 0. 取 x 32e 2 ，则 g ( x ) 41 90. 所以存在 (2 ， x ) ，使 g ( 0 ，即存在 (2 ， ) ，使f ( f32. ( 说明： x 的取法不唯一，只要 满足 x 2 ，且 g ( x ) 0 即可 ) 归纳总结 方法与技巧 1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向 2 演绎推理是从一般的原理出发，推出某
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