（全程复习构想）2014年高考数学一轮复习 第六单元课件 理（打包4套
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（全程复习构想）2014年高考数学一轮复习 第六单元课件 理（打包4套,全程,复习,温习,构想,年高,数学,一轮,第六,单元,课件,打包
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6 1 不等关系与不等式 考纲点击 1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系 . 2. 了解不等式 ( 组 ) 的实际背景 . 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1. 实数 a ， b 的大小比较： a b 0 ； _ a b 0 _ ； a b 0 _. 2 不等式的性质： ( 1) 性质 1 ： a b _( 对称性 ) ( 2) 性质 2 ： a b ， b c _( 传递性 ) ( 3) 性质 3 ： a b _( 可加性 ) a b c a c _ _( 移项法则 ) (4) 性质 4 ： a b ， c 0 _. a b ， c 0 _.( 可乘性 ) (5) 性质 5 ： a b ， c d _( 加法法则 ) (6) 性质 6 ： a b 0 ， c d 0 _( 乘法法则 ) (7) 性质 7 ： a b 0 ， n N 且 n 2 _( 乘方法则 ) (8) 性质 8 ： a b 0 ， n N 且 n 2 _( 开方法则 ) 答案： a b a b a b b a a c a c b c b a c b d bn考点自测 1. x ( a 3)( a 5) 与 y ( a 2)( a 4) 的大小关系是 ( ) A x y B x y C x y D 不能确定 解析： x y a 2 3 a 5 a 15 a 2 2 a 4 a 8 7 0 ， x y . 答案： C 2 设 a ， b 为实数，则 “ 0 1 ” 是 “ b 1a” 的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要 条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 一方面，若 0 1 ，则当 a 0 时， 0 b 1a， b 1一方面，若 b 1a，则当 a 0 时， 1 ， 0 1 不成立，故选 D. 答案： D 3 已知 a ， b ， c ， d 均为实数，有下列命题： 若 0 ， 0 ，则ca0 ； 若 0 ，ca0 ，则 0 ； 若 0 ，ca0 ，则 0. 其中正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析： cadb 0 ，成立 cadb 0 ， 0 ， 0 成立 0 ，cadb 0 ， 0 成立 答案： D 4 给出如下四个命题： 若 a b ， c d ， e 0 ，则 d c 若 a b ， c b 0 ， c b ， d R a d b d . 又 c b 1 ， c b c ) 其中所有的正确结论的序号是 ( ) A B C D 解析： 因为 a b 1 ，所以1为 y b c ，因为 a b 1 ，所以 1 ，所以 b c )b c b ，则必须 a b 1 ， a b 1 ，所以 是假命题； ，由 | a b | 1 ，取 a 9 ， b 4 ，则 |a b | 5 1 ，所以 是假命题； ，由 | 1 ，得 |( a b )( 1 ，且 a ， b 中必有一个大于 1 ，则 ，于是 |a b |1 1 ，所以 是真命题综上可知， 是真命题 答案： 6 2 一元二次不等式及其解法 考纲点击 1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 . 3. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1. 一元二次不等式的解法 判别式 0 0 0 二次函数 y c ( a 0)的图象 一元二次方程 c 0 ( a 0) 的根 有 两不等实根 ( 有两相等实根 b2 c 0( a 0) 的解集 _ _ _ c 0 ( a 0) 的解集 _ _ _ 2. 用一个流程图来描述一元 二次不等式 c 0( a 0) 的求解的算法过程 答案： x | x x x | x R x | x1x x | x x | x x R 考点自测 1. 不等式12 x13 x 0 的解集为 ( ) A.13，12B. ，1312， C.12，13D. ，1213， 解析： 不等式12 x13 x 0 ， 同解于x 12 x 13 0 ， 又 相应方程x 12 x 13 0 的两根为： 13， 2， x 12 x 13 0 的解为13 x 12. 故原不等式的解集为 x |13 x 12 答案： A 2 不等式 | x | 2 0 的解集是 ( ) A x | 2 x 2 B x | x 2 或 x 2 C x | 1 x 1 D x | x 1 或 x 1 解析： 原不等式 | x | 2 | x | 2 0 (| x | 2) ( | x | 1) 0 | x | 2 0 2 x 2 ，故选 A. 答案： A 3 设二次不等式 1 0 的解集为 x | 1 x 13 ，则 值为 ( ) A 6 B 5 C 6 D 5 解析： 因 x 1 ，13是方程 1 0 的两根， 1 13， 3，又 1 131a， a 3 ， b 2 ， 6. 答案： C 4 a 0 时，不等式 2 3 0 的解集是 _ 解析： x 2 2 3 a 2 0 ， x 1 3 a ， x 2 a .又 a 0 ， 不等式的解集为 x |3 a x a 答案： x |3 a x a 5 不等式 2 2 x 4 12的解集为 _ 解析： 原不等式 2 x 2 2 x 4 2 1 x 2 2 x 4 1 ， 即 x 2 2 x 3 0 ，解之得 3 x 1 ，解集为 3,1 答案： 3,1 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1. 解一元二次不等式的一般步骤 (1) 对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零 (2) 计算相应的判别式； (3) 当 0 时，求出相应的一元二次方程的两根； (4) 根据一元二次不等式解的结构，写出其解 2 一元二次不等式 的解法技巧 ( 1) 解一元二次不等式 c 0( 或 0) ，当 a 0 时，其相应一元二次方程的判别式 0 ，则求两根或分解因式，根据 “ 大于在两边，小于夹中间 ” 写出解；若 0 或 0 ，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图象写出不等式的解 ( 2) 当含有参数时，必须要分类讨论分类是由不确定和不统一而引起的，分类标准是根据需要而设定的，这种 “ 需要 ”可能是：是什么不等式 ( 一元一次？一元二次？ ) ；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等 ( 3) 要特别注意三个 “ 二次 ” 之间的联系，重视数形结合的思想和分类讨 论思想的应用 . 题型探究 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 解关于 x 的不等式： 2 x 1 0. 解析： 当 a 0 时，不等式即 2 x 1 0 ， 解集为 x | x 12 ； 当 a 0 时， 4 4 a 0 ， 此时不等式为 1a 0 ， 由于方程 1a 0 的两根分别为1 1 1 且1 1 1 不等式的解集为： x |1 1 x 1 1 ； 当 a 0 时，若 0 a 1 ， 此时不等式即 1a 0 ， 1 1 1 不等式解集为 x | x 1 1 x 1 1 ， 若 a 1 ，则不等式为 ( x 1)2 0 ， 不等式解集为 x R | x 1 ； 若 a 1 ，则 0 ，不等式解集为 R . 点评： 当含有参数的一元二次不等式对应的二次方程有两个不同的根时，判断谁大谁小，要考虑参数的作用 变式探究 1 解关于 x 的不等式 2 1 ( a 0 ， b 0) 解析： 原不等式可化为 ( 1 b )( 1 b ) 0 ， a 0 ， 0 ， ( x 1 x 1 0 ，且 1 b 1 b ， 若 a 0 ，则1 时不等式的解集为 x |1 x 1 ； 若 a 0 ，则1 时不等式的解集为 x |1 bax 1 题型二 三个 “ 二次 ” 之间的关系 例 2 若不等式 (1 a ) 4 x 6 0 的解集是 x | 3 x 1 ，求 a 的值 解析： (1 a ) 4 x 6 0 的解集是 x | 3 x 1 ， 1 a 0 ，即 a 1. 于是原不等式可化为 ( a 1) 4 x 6 0 ， a 1 0 ， 其解集为 x | 3 x 1 则方程 ( a 1) 4 x 6 0 的两根为 3 和 1 ， 由a 1 ， 3 1 4a 1， 3 1 6a 1，解得 a 3. 所以，满足条件的 a 的值为 3. 点评： 二次函数、二次方程、二次不等式是一个有机的整体，解题时要根据题意，将三者相互转化，切莫将三者割裂开来 变式探究 2 已知 2 x c 0 的解集为13 x 12，试求 a 、 c 的值，并解不等式 2 x a 0. 解析： 由 2 x c 0 的解集为13 x 12，知 a 0 ， 且方程 2 x c 0 的两个根为 13， 2， 由韦达定理得a 0 ，13122a，1312此得 a 12 ， c 2 ， 此时 2 x a 0 ， 即化为 2 2 x 12 0 ， 得解集为 x | 2 x 3 . 题型三 不等式恒成立问题 例 3 当 a 为何值时，不等式 ( 1) ( a 1) x 1 0 的解集是为 R . 解析： 当 1 0 ，即 a 1 时，原不等式的解集为 1 0 ， a 1 2 4 1 0 ，解之得35 a 1. 当 1 0 ，即 a 1 时， 若 a 1 ，则原不等式为 1 0 ，恒成立 若 a 1 ，则原不等式为 2 x 1 0 ， 即 x 12，不符合题目要求，舍去 综上所述，当35 a 1 时，原不等式的解集为 R . 点评： 不等式 c 0 的解是全体实数 ( 或恒成立 )的条件是当 a 0 时， b 0 ， c 0 ；当 a 0 时，a 0 ， 0 ；不等式 c 0 的解是全体实数 ( 或恒成立 ) 的条件是当 a 0时， b 0 ， c 0 ；当 a 0 时，a 0 ， 0 有 f ( x ) f ( x )m a ； f ( x ) a 恒成立 f ( x )m a . 变式探究 3 已知 f ( x ) 2 2 ，当 x 1 ， ) 时，f ( x ) a 恒成立，求实数 a 的取值范围 解析： 方法一： f ( x ) ( x a )2 2 此二次函数图象的对称轴为 x a ， 当 a ( ， 1) 时，结合图象知， f ( x ) 在 1 ， )上单调递增， f ( x )m f ( 1) 2 a 3 ， 要使 f ( x ) a 恒成立，只需 f ( x )m a ， 即 2 a 3 a ，解得 a 3. 又 a 1 ， 3 a 1. 当 a 1 ， ) 时， f ( x )m f ( a ) 2 由 2 a ，解得 2 a 1. 又 a 1 ， 1 a 1. 综上所述，所求 a 的取值范围为 3 a 1. 方法二：由已知得 2 2 a 0 在 1 ， ) 上恒成立，令 g ( x ) 2 2 a ， 即 4 4(2 a ) 0 或 0 ，a 1 ，g 1 0 ，解得 3 a 1. 题型四 一元二次不等式的应用 例 4 某种商品，现在定价 p 元，每月卖出 n 件，设定价上涨 x 成，每月卖出数量减少 y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍 (1) 用 x 和 y 表示 z ； (2) 设 y 0 k 1) ，利用 k 表示当每月售货总金额最大时 x 的值； (3) 若 y 23x ，求使每月售货总金额有所增加的 x 值的范围 解析： (1) 按现在的定价上涨 x 成时，上涨后的定价为P1 月卖出数量为 n1 每月售货总金额是 ， 因而 p1 n1 以 z 10 x 10 y 100. (2) 在 y 条件下， z 10 x 10 100，整理可得 z 1100100 25 1 k 2k k x 5 1 k 由于 0 k 1 ，所以5 1 k k 0 ， 所以使 z 值最大的 x 值是 x 5 1 k k. (3) 当 y 23x 时， z 10 x 10 23 要使每月售货总金额有所增加，即 z 1 ， 应有 (10 x )10 23x 100 ，即 x ( x 5) 0 ， 所以 0 x 5 ，所以所求 x 的范围是 (0,5) 点评： 不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用题，要审清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键 变式探究 4 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1 万元 / 辆，出厂价为 元 / 辆，年销售量为 1 000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增 加的比例为 x (0 x 1) ，则出厂价相应地提高比例为 x ，同时预计年销售量增加的比例为 0.6 x ，已知年利润 ( 出厂价投入成本 ) 年销售量 ( 1) 写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； ( 2) 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？ 解析： ( 1) 由题意得 y (1 x ) 1 (1 x ) 1000( 1 0.6 x )(0 x 1) ， 整理得 y 60 20 x 200( 0 x 1) ( 2) 要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y 1 1 000 0 ，0 x 1 ，即 60 20 x 0 ，0 x x 13. 投入成本增加的比例应在0 ，13范围内 . 归纳总结 方法与技巧 1 解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二 次不等式，进而获得解决 2 对于不等式 c 0( 0) 或 c 0( 0)( a 0) 的求解，善于联想： (1) 二次函数 y c 与x 轴的交点， (2) 方程 c 0( a 0) 的根，运用好 “ 三个二次 ” 间的关系 失误与防范 1 一元二次不等式的界定对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别如： 解不等式 ( x a )( 1) 0 ，如果 a 0 它实际上是一个一元一次不等式； 只有当 a 0 时它才是一个一元二次不等式 2 当判别式 0 时， c 0( a 0) 解集为 R ； c 0( a 0) 解集为 3 注意利用数形结合的思想 利用二次函数 y c 的图象可以一目了然地写出一元二次不等式 c 0 或 c 0 的解集 4 含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论 . 新题速递 1. (2013 杭州质检 ) 若 “ 0 0 的解集是 _ 解析： 由9x 20 ，得 ( x 3) ( x 3) ( x 2 ) 0( x 2) ，由数轴标根法，易得 3 3. 答案： ( 3,2) (3 ， ) 3 (2012 福建卷 ) 已知关于 x 的不等式 2 a 0 在 实数 a 的取值范围是 _ 解析： 由题意，得 ( a ) 2 8 a 0 ，解得 a ( 0,8) 答案： ( 0,8) 4 ( 2012 江苏卷 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R ) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x ) c 的解集为 ( m ， m 6) ，则实数 c 的值为 _ 解析： 由题意知 4 b 0 ， 所以 f ( x ) c 可换为 c 0 ， m m 6 m 6 c， c m ( m 6) 2 m 6 24 m ( m 6) 9. 答案： 9 5 ( 20 13 烟台期末 ) 若不等式 c 0 的解集为 x | 1 x 2 ，则不等式的2 a c 解集为 _ _ _ 解析： 由 c 0 的解集为 x | 1 x 2 ，得1 ， 2 ，解得 b a ， c 2 a ，且 a 0 ，故不等式2 a c 2 a a 0 ， 2 a 1x 2 x ，解得 x 0. 答案： x | x 0 6 3 二元一次不等式 (组 )与 简单的线性规划问题 考纲点击 1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 . 3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1. 二元一次不等式表示的平面区域 (1) 一般地，二元一次不等式 C 0 在平面直角坐标系中表示直线 C 0 某一侧所有点组成的 _. 我们把直线画成虚线以表示区域 _ 边界直线当我们在坐标系中画不等式 C 0 所表示的平面区域时，此区域应 _ 边界直线，则把边界直线画成 _. (2) 由于对直线 C 0 同一侧的所有点 ( x ， y ) ，把它的坐标 ( x ， y ) 代入 C ，所得到实数的符号都 _ ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 ( ，由C 的 _ _ 即可判断 C 0 表示直线 C 0 哪一侧的平面区域 2 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x ， y 组成 的 _ _ 线性约束条件 由 x ， y 的 _ 不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组 目标函数 欲求 _ 或 _ 的函数 线性目标函数 关于 x ， y 的 _ 解析式 可行解 满足 _ 的解 可行域 所有 _ 组成的集合 最优解 使目标函数取得 _ 或 _ 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 _ 或 _ 问题 答案： 平面区域 不包括 包括 实线 相同 符号 一次 不等式 一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 考点自测 1. 不等式 x 3 y 1 0 表示的平面区域在直线 x 3 y 1 0 的 ( ) A 右上方 B 右下方 C 左下方 D 左上方 答案： C 2 不等式组x 0x 3 y 43 x y 4所表示的平面区域的面积等于( ) 不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是 (0 ，43) ， ( 0,4) ， ( 1,1) ，所以三角形的面积 S12 (4 43) 1 43. 答案： C 3 直线 2 x y 10 0 与不等式组x 0 ，y 0 ，x y 2 ，4 x 3 y 20表示的平面区域的公共点有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无数个 解析： 直线 2 x y 10 0 与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有 1 个，选 B. 答案： B 4 设变量 x ， y 满足x y 1 ，x y 1 ，x 0 ，则 x 2 y 的最大值和最小值分别为 ( ) A 1 ， 1 B 2 ， 2 C 1 ， 2 D 2 ， 1 解析： 画出可行域如图，分析图可知当直线 u x 2 y 经过点 A 、 C 时分别对应 u 的最大值和最小值 答案： B 5 如图，点 ( x ， y ) 在四边形 部和边界上运动，那么 2 x y 的最小值为 _ _ 解析： 设目标函数为 z 2 x y ，借助平移，显然点 ( 1,1 )满足题意，则 2 x y 的最小值为 1. 答案： 1 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1. 确定二元一次不等式表示的平面区域的方法与技巧 确定二元一 次不等式表示的平面区域时，经常采用 “ 直线定界，特殊点定域 ” 的方法 ( 1) 直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线 ( 2) 特殊点定域，即在直线 C 0 的某一侧取一个特殊点 ( 作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当 C 0 时，常把原点作为测试点；当 C 0 时，常选点 ( 1,0) 或者 ( 0,1) 作为测试点 2 线性规划是数形结合的体现 (1) 线性规划实质上是 “ 数形结合 ” 数学思想方法在一个方 面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法 (2) 在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围，不可将范围盲目扩大 . 题型探究 题型一 二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区 域 例 1 如图， ， A (3 ， 1) ， B ( 1,1) ， C (1,3) ，写出 域所表示的二元一次不等式组 解析： 方法一：由两点式得 线方程并化简为： x 2 y 1 0 ， x y 2 0 ； 2 x y 5 0. 原点 (0,0) 不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x 2 y 1 0 ，x y 2 0 ，2 x y 5 方程及三角形区域在 方， 根据 “ 同号在上 ” 原则，得不等式 x 2 y 1 0. 由 方程及三角形区域在 方， 根据 “ 异号在下 ” 原则， 得不等式 x y 2 0. 同理得 2 x y 5 0 ，从而得不等式组x 2 y 1 0 ，x y 2 0 ，2 x y 5 判断二元一次不等式表示的平面区域可直接利用上述 “ 同号在上，异号在下 ” 的结论直接判断 变式探究 1 求不等式组 x y x y 5 0 ， 3 x 3表示的平面区域的面积 解析： 不等式组 x y x y 5 0 ， 3 x 3所表示的可行域如图所示 其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为 1 与 11 ，高分别为12与112， 所以，可行域的面积为12 1 1212 11 112612. 题型二 线性规划问题 例 2 已知实数 x ， y 满足x y 3 0 ，x y 1 0 ，x 2 ，(1) 若 z 2 x y ，求 z 的最大值和最小值； (2) 若 z z 的最大值和最小值； (3) 若 z z 的最大值和最小值 解析： 不等式组x y 3 0 ，x y 1 0 ，x 2表示的平面区域如图所示 图中阴影部分即为可行域 由x y 3 0 ，x y 1 0 ，得x 1 ，y 2 ， A (1,2) ； 由x 2 ，x y 3 0 ，得x 2 ，y 1 ， B (2,1) ； 由x 2 ，x y 1 0 ，得x 2 ，y 3 ， M (2,3) (1) z 2 x y ， y 2 x z ， 当直线 y 2 x z 经过可行域内点 M (2,3) 时， 直线在 y 轴上的截距最大， z 也最大， 此时 zm 2 2 3 7. 当直线 y 2 x z 经过可行域内点 A (1,2) 时， 直线在 y 轴上的截距最小， z 也最小， 此时 zm 2 1 2 4. 所以 z 的最大值为 7 ，最小值为 4. (2) 过原点 (0,0) 作直线 l 垂直于直线 x y 3 0 ，垂足为 N ，则直线 l 的方程为 y x ， 由y x ，x y 3 0 ，得x 32，y 32， N32，32， 点 N32，32在线段 ，也在可行域内 此时可行域内点 M 到原点的距离最大，点 N 到原点的距离最小 又 | 13 ， | 92， 即 92 13 ， 92 13. 所以， z 的最大值为 13 ， z 的最小值为92. ( 3) 2 ， 2， 122 ， 所以 z 的最大值为 2 ， z 的最小值为12. 点评： 线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离 ( 或平方 ) 、点到直线的距离、过已知直线两点的直线斜率等 变式探究 2 已知 x 、 y 满足条件：7 x 5 y 23 0 ，x 7 y 11 0 ，4 x y 10 0 ，求： (1) 4 x 3 y 的最大值和最小值； (2) 解析： ( 1) 不等式组7 x 5 y 23 0 ，x 7 y 11 0 ，4 x y 10 0表示的公共区域如图阴影所示： 其中 A ( 4,1) ， B ( 1 ， 6) ， C ( 3,2) ， 设 z 4 x 3 y x 3 y 0 经过原点 ( 0, 0) 作一组与 4 x 3 y 0 平行的直线 l： 4 x 3 y t l 过 t 值最小；当 l 过 B 点时， t 值最大 z 最大值 4 ( 1) 3 ( 6) 14 ， z 最小值 4 ( 3) 3 2 18. 故 4 x 3 y 的最大值为 14 ，最小值为 18 ； (2) 设 u u 为点 ( x ， y ) 到原点 (0,0) 的距离结合不等式组所表示的区域，不难知道：点 B 到原点距离最大；而当 ( x ， y ) 在原点时，距离为 0. u 最大值 ( 1)2 ( 6)2 37 ， u 最小值 0 ， 故 7 ，最 小值为 0. 题型三 线性规划的最优解问题 例 3 已知变量 x ， y 满足约束条件x 2 y 3 0 ，x 3 y 3 0 ，y 1 z y ( 其中 a 0) 仅在点 (3,0) 处取得最大值，则 a 的取值范围为 _ 解析： 依据约束条件，画出可行域 直线 x 2 y 3 0 的斜率 12， 目标函数 z y ( a 0) 对应直线的斜率 a ， 若符合题意，则须 12 a ，得 a 12. 答案： a 12点评： 要理解最优解仅在 ( 3,0) 处取得最大值，利用图形便知 变式探究 3 已知 x ， y 满足x 4 y 3 ，3 x 5 y 25 ，x 1设 z y ( a 0) ，若当 z 取最大值时对应的点有无数多个，求 a 的值 解析： 画出可行域，如图所示，即直线 z y ( a 0) 平行于直线 则直线经过线段 任 意一点时， z 均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值 分析知当直线 y z 刚好移动到直线 ，将会有无数多个点使函数取得最大值 又由于 k 21 535， 即 a 35， a 35. 题型四 线性规划的实际应用 例 4 某公司计划 201 0 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元甲、乙电 视台的广告收费标准分别为 500 元 / 分钟和 200 元 / 分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 元和 0. 2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 解析： 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意得x y 300 ，500 x 200 y 90 000 ，x 0 ， y z 3 000 x 2 000 y . 方 法一：二元一次不等式组等价于x y 300 ，5 x 2 y 900 ，x 0 ， y 可行域，如图： 作直线 l： 3 000 x 2 000 y 0 ，即 3 x 2 y 0 ， 平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数取得最大值 联立x y 300 ，5 x 2 y 900 ，解得 x 100 ， y 2 00. 点 M 的坐标为 (100, 200) ， zm 3 000 x 2 000 y 700 000( 元 ) 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200分钟广告、公司的收益最大，最大收益是 70 万元 方法二：二元一次不等式组等价于x y 300 ，5 x 2 y 900 ，x 0 ， y 0 ，令 z 3 000 x 2 000 y ( x y ) (5 x 2 y ) ， 则有 5 3 000 ， 2 2 4 0003， 1 0003. 于是 z 4 0003( x y ) 1 0003(5 x 2 y ) 4 0003 300 1 0003 900 700 000. 当且仅当 x y 300 且 5 x 2 y 900 时， z 取得最大值 700 000. 即 x 100 ， y 200 时， z 取最大值 700 000. 答：该公司在甲电视台做 100 分 钟广告，在乙电视台做 200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元 点评： 方法一采用通常的做法，解题过程较繁方法二采用不等式法，运算简便，不易出错因此，对不同的问题，要“ 三思而后行 ” ，采取最简捷的解法，节省时间，事半功倍，何乐而不为？ 变式探究 4 某工厂家具车间生产 A 、 B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张 A 、 B 型桌子分别需要 1h 和 2h ，漆工油漆一张 A 、 B 型桌子分别需要3h 和 1h ；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8h 和 9h ，而工厂造一张 A 、 B 型桌子分别获得利润 200 元和 3 00 元，试问工厂每天应生产 A 、 B 型桌子各多少张，才能获利润最大？ 解析： 设每天生产 A 型桌子 x 张， B 型桌子 y 张，则 x 2 y 8 ，3 x y 9 ，x 0 ， x 0 ， y Z 200 x 300 y ，作出可行域如图中阴影部分所示， 把直线 l x 3 y 0 向右上方平移到 l 的位置时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时 Z 200 x 300 解方程组x 2 y 8 ，3 x y 9 ，得 M 的坐标为 (2,3) 每天应生产 A 型桌子 2 张， B 型桌子 3 张才能获得最大利润 . 归纳总结 方法与技巧 1 平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性对于 A 0 的直线 l： C 0 ， C 0 对应直线 l 右侧的平面； C 0 对应直线 l 左侧的平面由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等 2 转化：求二元一次函数 z 0) 的最值，将函数 z 化为直线的斜截式： y 过求直线的截距z 的值 3 实数最优解一定在顶点或边界取得；经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近 4 线性规划应用题建模的思路：一般以 “ 资源 产品 收益 ” 为主线；设元时将产品数量设为 x 、 y ，将收益多少设为 z ，资源数量为常数 a 、 b 、 c 等这样 z 与 x 、 y 之间的关系就是目标函数；而 x 、 y 与 a 、 b 、 c 等之间的关系就是约束条件 失误与防范 1 画出平面 区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化 2 在通过求直线的截距z 的最值式时，要注意：当 b 0 时，截距z 也取最大值；截距z 也取最小值；当 b 0 时，截距距z 取最大值 . 新题速递 1. (2012 辽宁卷 ) 设变量 x ， y 满足x y 10 ，0 x y 20 ，0 y 15 ，则 2 x 3 y 的最大值为 ( ) A 20 B 35 C 45 D 55 解析： 作出满足条件的平面区域，平移直线 l： 2 x 3 y z 0. 可以看出当直线 l 经过点 B ( 5,15) 时， 2 x 3 y 的值最大为 55. 答案： D 2 (2012 福建卷 ) 若直线 y 2 x 上存在点 ( x ， y ) 满足约束条件x y 3 0 ，x 2 y 3 0 ，x m ，则实数 m 的最大值为 ( ) A 1 B 1 C 2 解析： 画出约束条件表示的可行域如图，由图可知，当直线 x m 过 y 2 x 与 x y 3 0 的交点 (1,2) 时， m 取最大值，即 m 1. 答案： B 3 (2012 新课标全国卷 ) 已知正三角形 顶点 A (1,1) ，B (1,3) ，顶点 C 在第一象限，若点 ( x ， y ) 在 A 部，则 z x y 的取值范围是 ( ) A (1 3 ， 2) B (0,2) C ( 3 1,2) D (0,1 3 ) 解析： 由顶点 C 在第一象限且与 A 、 B 构成正三角形可求得点 C 坐标为 (1 3 ， 2) ，将目标函数化为斜截式为 y x z ，结合图形可知当 y x z 过点 C 时 z 取到最小值，此时 zm 1 3 ，当 y x z 过点 B 时 z 取到最大值，此时 zm 2 ，综合可知 z 的取值范围为 (1 3 ， 2) 答案： A 4 (2012 浙江卷 ) 设 z x 2 y ，其中实数 x ， y 满足x y 1 0 ，x y 2 0 ，x 0 ，y 0 ，则 z 的取值范围是 _ 解析： 根据约束条件画出可行域如图 z x 2 y ， y 12x 12z 0,0) 时， zm 0 ，经过点12，32时， zm 2， z 0 ，72. 答案：0 ，725 ( 2012 上海卷 ) 满足约束条件 | x | 2| y | 2 的目标函数 z y x 的最小值是 _ _ _ 解析： 约束条件 | x | 2| y | 2 可化为以下四个不等式组： x 0 ，y 0 ，x 2 y 2或x 0 ，y 0 ， x 2 y 2或x 0 ，y 0 ，x 2 y 2或x 0 ，y 0 ， x 2 y 易得 A (2,0) ， z y x 在 A (2,0) 处取得最小值 zm 2. 答案： 2 6 4 基本不等式及其应用 考纲点击 1. 了解基本不等式的证明过程 . 2. 会用基本不等式解决简单的最值问题 . 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1. 基本不等式 a ) 基本不等式成立的条件： _. (2) 等号成立的条件：当且仅当 _ 时取等号 (3) 两个平均数：a a ， b 的 _ ， 为正数 a ， b 的 _. 2 几个重要不等式 (1) _( a ， b R ) (2) _( a ， b R ) (3)a _( a ， b R ) (4)ba _( a b 0) (5)21a1b a a 0 ， b 0) 3 利用基本不等式求最值问题 已知 x 0 ， y 0 ，则 (1) 如果积 定值 p ，那么当且仅当 _ 时， x y 有最小值是 _( 简记： “ 积定和最小 ” ) (2) 如果和 x y 是定值 s ，那么当且仅当 _ 时，最大值是 _ _( 简记： “ 和定积最大 ” ) 答案： a 0 ， b 0 a b 算术平均数 几何平均数 2 a 2 x y 2 p x y 1. 已知 0 ， a ， b R ，则下列式子总能成立的是 ( ) 2 2 2 D |ba 2 解析： 选项 A 、 B 、 C 中不能保证正 答案： D 2 “ a b 0 ” 是 “ 的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： a b 0 2 a ， b R ) ， 由 a ， b R 且 a b / a b 0. 答案： A 3 当 x 1 时，关于函数 f ( x ) x 1x 1，下列叙述正确的是 ( ) A 函数 f ( x ) 有最小值 2 B 函数 f ( x ) 有最大值 2 C 函数 f ( x ) 有最小值 3 D 函数 f ( x ) 有最大值 3 解析： x 1 ， x 1 0 ， x 1x 1 ( x 1) 1x 1 1 2 x 1 1x 1 1 3. 答案： C 4 设 x 0 ，2，则函数 y 2 1 解析： y 2 1x2 c x c os x32x 12ta n x. x 0 ，2， x 0 ， 32x 12ta n x 2 32x 12ta n x 3 ， 当且仅当 x 33时 “ ” 成立，故最小值为 3 . 答案： 3 5 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的总利润 y ( 单位： 10 万元 ) 与营运年数 x ( x N ) 为二次函数的关系 ( 如图 ) ，则每辆客车营运_ 年，营运的年平均利润最大 解析： 求得函数式为 y ( x 6)2 11 ， 则营运的年平均利润 x 6 2 11x 12 x 25x 12 2 25 2 ， 此时 x 25x，解得 x 5. 答案： 5 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是 “ 一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得 ” ，若忽略了某个条件，就会出现错误 对于公式 a b 2 a 弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 a b 的转化关系 2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 2 用就是 a a ， b 0) 逆用就是 a a ， b 0) 等还要注意 “ 添、拆项 ” 技巧和公式等号成立的条件等 . 题型探究 题型一 利用基 本不等式求最值 例 1 解下列问题： (1) 已知 a 0 ， b 0 ，且 4 a b 1 ，求 最大值； (2) 已知 x 2 ，求 x 4x 2的最小值； (3) 已知 x 0 ， y 0 ，且 x y 1 ，求4x9 解析： (1) 方法一： a 0 ， b 0,4 a b 1 ， 1 4 a b 2 4 4 当且仅当 4 a b 12，即 a 18， b 12时，等号成立 14， 116. 所以 最大值为116. 方法二： a 0 ， b 0,4 a b 1 ， 144 a b 14 4 a 16， 当且仅当 4 a b 12，即 a 18， b 12时，等号成立 所以 最大值为116. (2) x 2 ， x 2 0 ， x 4x 2 x 2 4x 2 2 2 x 2 4x 2 2 6 ， 当且仅当 x 2 4x 2，即 x 4 时，等号成立 所以 x 4x 2的最小值为 6. ( 3) x 0 ， y 0 ， x y 1 ， 4x9y ( x y )4x9y 13 4 13 2 4 25 ， 当且仅当4 x y 1 ，4 x 25，y 35， 当 x 25， y 35时取等号 所以4x95. 点评： ( 1) 求最值时，要注意 “ 一正，二定，三相等 ” ，一定要明确什么时候等号成立 ( 2) 学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数，“ 1 ” 的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记，千变万化不等式，透过现象看本质在本例 ( 1) 中解法二采用了配系数， ( 2) 中采用了添常数， ( 3) 中利用了 “ 1 ” 的代换，如果 ( 3)中若 x y 2 ，则如何用 “ 1 ” 的代换？显然x 1 ，故4x9yx 4x9y. 变式探究 1 (1) 设 0 x 2 ，求函数 y 3 x 8 3 x 的最大值； (2) 已知 x 0 ， y 0 ，且 x y 1 ，求8x2 解析： ( 1) 0 x 2 ， 0 3 x 6,8 3 x 2 0 ， y 3 x 8 3 x 3 x 8 3 x 282 4 ， 当且仅当 3 x 8 3 x ，即 x 43时，取等号 当 x 43， y 3 x 8 3 x 的最大值是 4. (2) x 0 ， y 0 ，且 x y 1 ， 8x2y8x2y( x y ) 10 8 10 2 8 18. 当且仅 当8 x 2 y 时等号成立， 当 x 23， y 13时，8x28. 题型二 利用基本不等式证明不等式 例 2 (1) 证明不等式： 4 d ； (2) 已知 a 0 ， b 0 ， a b 1 ，求证：1a1b 4. 证明： (1) 2 2 2( 2 2 d 4 d . 原不等式得证 (2) a 0 ， b 0 ， a b 1 ， 1a1ba baa 2 ba2 2 ba4. 1a1b 4. 所以原不等式成立 点评： 要从整体上把握运用基本不等式，如： 2 2 d ，本例中的第 (2) 小题中，还运用 了 “ 1 ” 的代换，要正确理解并灵活应用如1a1b ( a b )1a1b，其中 a b 1. 变式探究 2 已知 x ， y ， z 是互不相等的正数，且 x y z 1. 求证：1x 11y 11z 1 8. 证明： x 、 y 、 z 是互不相等的正数，且 x y z 1 ， 1x 1 1 xxy 1z 1 x 1y 1 x 又 0 x 1 ， 1x 1. 同理1z 1 ，1y 1. 将 三式相乘，得1x 11y 11z 1 8. 题型三 利用基本不等式解应用题 例 3 某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 千克，每千克饲料的价格为 ，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天 ，购买饲料每次支 付运费 300 元 (1) 求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？ (2) 若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时其价格可享受八五折优惠 ( 即为原价的 85% ) 问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由 解析： ( 1) 设该厂应隔 x ( x N ) 天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200 6( 元 ) ， x 天饲料的保管与其他费用共是 6( x 1) 6( x 2) 6 3 3 x ( 元 ) 从而有 x(3 3 x 300 ) 200 300x 3 x 357 417. 当且仅当300x 3 x ，即 x 10 时， 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 ( 2) 若厂家利用此优惠条件，则至少 25 天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔 x 天 ( x 25) 购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 x(3 3 x 300) 200 0. 85 300x 3 x 303 ( x 2 5) y 2300 3 ， 当 x 25 时， y 2 0 ，即函数 2 5 ， ) 上是增函数， 当 x 25 时， 9 0. 而 3 90 41 7 ， 该厂可以接受此优惠条件 点评： 解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围 在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到 “ ” 号，此时要考
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