（全国通用）2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语（打包3套）
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第一章
集合
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逻辑
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（全国通用）2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语（打包3套）,全国,通用,高考,数学,复习,温习,考点,引领,技巧,技能,点拨,第一章,集合,聚拢,常用,经常使用,逻辑,用语,打包
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1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语第 1 课时 集合的概念 考情分析 考点新知 了解集合的 含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义 学会区分集合与元素 ， 集合与集合之间的关系 . 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化 . 集合含义中掌握集合 的三要素 . 不要求证明集合相等关系和包含关系 . 1. (必修 1 题改编 )已知集合 A m 2， 2m， 若 3A ， 则 m _ 答案： 32 解析：因为 3A ， 所以 m 2 3 或 2m 3.当 m 2 3， 即 m 1 时 ， 2m 3， 此时集合 A 中有重复元素 3， 所以 m 1 不合题意 ， 舍去；当 2m 3 时 ， 解得 m 32或 m 1(舍去 )， 此时当 m 32时 ， m 2 12 3 满足题意所以 m 32. 2. (必修 1 题改编 )已知集合 a|0若 ， 求实数 解：由题意有 A 8， 4， B x|(x a)(x a 3)0 当 a 32时 ， B xx R， x 32 ， 所以 恒成立； 当 a a 3因为 ， 所以 a 4 或 a 3 4 或 a5(舍去 )， 所以 4 32时 ， B x|因为 A B， 所以 a 3 4 或 a 8(舍去 )，解得 32a1. 4 综上 ， 当 时 ， 实数 a 的取值范围是 ( 4， 1) 1. 设集合 A x|x 2， B x|x a， 且满足 A 真包含于 B， 则实数 a 的取值范围是_ 答案： (2， ) 解析：利用数轴可得实数 a 的取值范围是 (2， ) 2. 已知集合 A 1， 2， 3， 4， 5， B (x， y)|xA ， y A， x yA ， 则 B 中元素的个数为 _ 答案： 10 解析： B 中所含元素有 (2， 1)， (3， 1)， (3， 2)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)， (5， 1)，(5， 2)， (5， 3)， (5， 4) 3. 若 xA ， 则 1x A， 就称 A 是 “ 伙伴关系集合 ” ， 集合 M 1， 0， 12， 2， 3 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 _ 答案： 3 解析：具有伙伴关系的元素组是 1； 12， 2， 所以具有伙伴关系的集合有 3 个： 1，12， 2 ， 1， 12， 2 . 4. 已知全集 U R， 集合 M x| 2x 12 和 N x|x 2k 1， k 1， 2， 的韦恩 (如图所示 ， 则阴影部分所示的集合的元素共有 _个 答案： 2 解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合 M 和 N 的交集 ， 所以由 M x| 1x3 ，得 MN 1， 3， 有 2 个 5. 设 P、 Q 为两个非空实数集合 ， 定义集合 P Q a b|a P， b Q， 若 P 0， 2，5， Q 1， 2， 6， 则 P Q 中元素的个数为 _ 答案： 8 解析： (1) P Q a b|aP ， b Q， P 0， 2， 5， Q 1， 2， 6， 当 a 0 时 ， a b 的值为 1， 2， 6；当 a 2 时 ， a b 的值为 3， 4， 8；当 a 5 时 ， a b 的值为6， 7， 11， P Q 1， 2， 3， 4， 6， 7， 8， 11， P Q 中有 8 个元素 1. 已知 A x|2x 30 ， 若实数 aA ， 则 a 的取值范围是 _ 答案： 1， 3 解析：由条件 ， 2a 30 ， 从而 a 1， 3 2. 现有含三个元素的集合 ， 既可以表示为 a， 1 ， 也可表示为 a b， 0， 则13 13 _ 答案： 1 解析：由已知得 0 及 a0 ， 所以 b 0， 于是 1， 即 a 1 或 a 1， 又根据集合中元素的互异性可知 a 1 应舍去 ， 因此 a 1， 故 13 13 ( 1)2 013 1. 3. 已知集 合 A x|(x 2)x (3a 1) 0， 5 B x x 1） 0 . (1) 当 a 2 时 ， 求 AB ； (2) 求使 B 真包含于 A 的实数 a 的取值范围 解： (1) AB x|2 x 5 (2) B x|a x 1 若 a 13时 ， A ， 不存在 a 使 ； 若 a 13时 ， 2 a 3； 若 a 13时 ， 1a 12. 故 a 的取值范围是 1， 12 2， 3 4. 已知 A a 2， (a 1)2， 3a 3且 1A ， 求实数 a 的值 解：由题意知： a 2 1 或 (a 1)2 1 或 3a 3 1， a 1 或 2 或 0， 根据元素的互异性排除 1， 2， a 0 即为所求 1. 研究一个集合 ， 首先要看集合中的代表元素 ， 然后再看元素的限制条件 ， 当集合用描述法表示时 ， 注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分 x|y f(x)、 y|y f(x)、(x， y)|y f(x)三者的不同对于含有字母的集合 ， 在求出字母的值后 ， 要注意检验集合的元素是否满足互异性 2. 空集是不含任何元素的集合 ， 空集是任何集合的子集在解题时 ， 若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性 例如： A B， 则需考虑 A 和 A 两种可能的情况 3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合 ， 从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合 ， 从元素中寻找关系 4. 已知两集合间的关系求参数时 ， 关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系 ， 进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、 帮助分析 请使用课时训练（ A）第 1课时（见活页） . 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语第 2 课时 集合的基本运算 考情分析 考点新知 理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集 ， 理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集 ， 会用韦恩图表示集合的关系及运算 在给定集合中会求一个子集的补集 ，补集的含义在数学中就是对立面 . 会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是 “ 且 ” ， 并集的关键词是 “ 或 ”. 会使 用韦恩图 (达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示 . 1. (原创 )集合 M m Z| 30， B x|3x 20 (1) 若 AB A， 求实数 a 的取值范围 ； (2) 若 A ， 求实数 a 的取值范围 解： (1) 由于 AB A 得 ， 由题意知 B x|x2 或 则 x1a 2， 得 3 0 a 12；若 a 0， 则 A ， 成立；若 a 0， 则 x 1a 1， 根据数轴可知均成立综上所述 ， a 12. (2) x|1x2 ， 若 a 0， 则 A ， 不成立；若 a 0， 则 x 1a 1， 不成立；若 a 0， 则 x 1a， 由 1a 2 得 a a 12. 题型 3 集合综合题 例 3 已知 f(x) x 3， x 1， 2 (1) 当 b 2 时 ， 求 f(x)的值域； (2) 若 b 为正实数 ， f(x)的最大值为 M， 最小值为 m， 且满足 M m4 ， 求 b 的取值范围 解： (1) 当 b 2 时 ， f(x) x 2x 3， x 1， 2 因为 f(x)在 1， 2上单调递减 ， 在 2， 2上单调递增 ， 所以 f(x)的最小值为 f( 2) 2 2 3. 又 f(1) f(2) 0， 所以 f(x)的值域为 2 2 3， 0 (2) 当 0 b 2 时 ， f(x)在 1， 2上单调递增 ， 则 m b 2， M 1， 此时 M m 14 ， 得 b 6， 与 0 b 2 矛盾 ， 舍去； 当 2b 4时 ， f(x)在 1， b上单调递减 ， 在 b， 2上单调递增 ， 所以 M f(1)，f(2) b 2， m f( b) 2 b 3， 则 M m b 2 b 14 ， 得 ( b 1)2 4， 解得 b9 ，与 2b 4 矛盾 ， 舍去； 当 b4 时 ， f(x)在 1， 2上单调递减 ， 则 M b 2， m 1， 此时 M m 14 ，得 b10. 综上所述 ， b 的取值范围是 10， ) 备选变式（教师专享） 设集合 A x|2x 2m 4 0， B x| 解得 2m 2m 40 M m 2m 32 . 设全集 U m|0 mm 32 ， m 的取值范围是 m| 2m 31 则据二次函数性质知命题又等价于 f(0)5 a， a3； 当 B 2时 ，a 1 2，5 a 2， 解得 a 3. 综上所述 ， 所 求 a 的取值范围为 a|a3 4. 设全集 U R， 函数 f(x) x 1| a 1)(a 1)的定义域为 A， 集合 B x|1若 (B 恰好有 2 个元素 ， 求 a 的取值集合 解： |x 1| a 1 0 |x 1| 1 a， 当 a 1 时 ， 1 a 0， x a 或 x a 2， A ( ， a 2)( a， ) x 1， x 2 x 2k(k Z)， B x|x 2k， k Z 当 a 1 时 ， a 2， a在此区间上恰有 2 个偶数 a 1，a a 2 2 a0 4 a 2 2. 1. 集合的运算结果仍然是集合进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性； (3) 对于集合 A 的补集运算 ， 勿忘 A 必须是全集的子集； (4) 对于含参数 (或待定系数 )的集合问题 ， 勿忘对所求数值进行合理取舍 2. 在集合运算过程中应力求做到 “ 三化 ” (1) 意义化：首先明确集合的元素的意义 ， 它是怎样的类型的对象 (数 集、点集 ， 图形等 )是表示函数的定义域、值域 ， 还是表示方程或不等式的解集？ (2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的 ， 也应力求将相关集合转化为最简形式 (3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来 ， 从而借助数形结合思想解决问题 请使用课时训练（ B）第 2课时（见活页） . 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考情分析 考点新知 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义 会分析四种命题的相互关系 . 会判断必要条件、充分条件与充要条件 . 能用 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 表述相 关的数学内容 (真值表不做要求 ). 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容 . 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 . 1. (选修 11(1)题改编 )命 题“若 a、 b、 c 成等比数列 ， 则 的逆否命题是 _ 答案：若 acb 2， 则 a、 b、 c 不成等比数列 2. (选修 11 题改编 )若命题 p 的否命题为 q， 命题 q 的逆否命题为 r， 则 p 与 _ 答案：互为逆命题 3. (选修 11 题改编 )已知 p、 q 是 r 的充分条件 ， r 是 s 的充分条件 ， q 是 s 的必要条件 ， 则 s 是 p 的 _条件 答案：必要不充分 4. (原创 )写出命题 “ 若 x y 5， 则 x 3 且 y 2” 的逆命题、否命题、逆否命题 ， 并判断它们的真假 答案：逆命题：若 x 3 且 y 2， 则 x y 否命题：若 x y5 ， 则 x3 或 y2. 是真命题 逆否命题：若 x3 或 y2 ， 则 x y5. 是假命题 5. 下列命题中的真命题有 _ (填序号 ) $ x R， x 1x 2； $ x R， 1； x R， ； x R， 2x0. 答案： 解析：对于 ， x 1 时 ， x 1x 2， 正确；对于 ， 当 x 32 时 ， 1， 正确；对于 ， x 0 时 ， 0， 错误；对于 ， 根据指数函数的值域 ， 正确 6. 命题 p：有的三角形是等边三角形命题綈 p： _ 答案：所有的三角形都不是等边三角形 1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题 2 命题 表述形式 原命题 若 p， 则 q 逆命题 若 q， 则 p 否命题 若非 p， 则非 q 逆否命题 若非 q， 则非 p (2) 四种命题间的逆否关系 (3) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 ， 它们有 相同 的真 假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果 p q， 那么称 p 是 q 的 充分条件 ， q 是 p 的 必要条件 (2) 如果 p q， 且 q p， 那么称 p 是 q 的 充要条件 ， 记作 p q. (3) 如果 p q， p， 那么称 p 是 q 的充分不必要条件 (4) 如果 q p， p q， 那么称 p 是 q 的必要不充分条件 (5) 如果 q， 且 p， 那么称 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 3. 简单的逻辑联结词 (1) 用联结词 “ 且 ” 联结命题 p 和命题 q， 记作 pq ， 读作 “ p 且 q” (2) 用联结词 “ 或 ” 联结命题 p 和命题 q， 记作 pq ， 读作 “ p 或 q” (3) 对一个命题 p 全盘否定记作 綈 p， 读作 “ 非 p” 或 “p 的否定 ” (4) 命题 pq ， p q，綈 p 的真假判断 p q 中 p、 q 有一假为假 ， p q 有一真为真 ， p 与非 p 必定是 一真一假 4. 全称量词与存在量词 (1) 全称量词与全称命题 短语 “ 所有 ”“ 任意 ”“ 每一个 ” 等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词 ， 并用符号“ x” 表示 含有 全称量词 的命题 ， 叫做全称命题 全称命题 “ 对 M 中任意一个 x， 有 p(x)成立 ” 可用符号简记为 x M， p(x)， 读作 “ 对任意 x 属于 M， 有 p(x)成立 ” (2) 存在量词与存在性命题 短语 “ 有一个 ”“ 有些 ”“ 存在一个 ” 等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词 ， 并用符号 “ $ x” 表示 含有 存在量词 的命题 ， 叫做存在性命题 存在性命题 “ 存在 M 中的一个 x， 使 p(x)成立 ” 可用符号简记为 $ x M， p(x)， 读作 “ 存在一个 x 属于 M， 使 p(x)成立 ” 5. 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 x M， p(x) $ x M， p(x)； $ x M， p(x) x M， p(x). 备课札记 3 题型 1 否命题与命题否定 例 1 (1) 命题 “ 若 a b， 则 2a 2b 1” 的否命题为 _； (2) 命题： “ 若 x m 0 没有实根 ， 则 m0” 是 _(填 “ 真 ” 或 “ 假 ”) 命题； (3) 命题 p： “ 有些三角形是等腰三角形 ” ， 则 p 是 _ 答案： (1) 若 ab ， 则 2a 2b 1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形 解析： (2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当 m 0 时显然方程有根 ， 其实不然 ， 由 x m 0 没实根可推得 则 x m 0 有实根 ” 显然为 真 ， 其实用逆否命题很容易判断它是真命题 (3) p 为 “ 对任意 xA ， 有 p(x)不成立 ” ， 它恰与全称性命题的否定命题相反 变式训练 把下列命题改写成 “ 若 p 则 q” 的形式 ， 并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题 (1) 正三角形的三个内角相等； (2) 已知 a、 b、 c、 d 是实数 ， 若 a b， c d， 则 a c b d. 解： (1) 原命题：若一个三角形是正三角形 ， 则它的三个内角相等 逆命题：若一个三角形的三个内角相等 ， 则这个三 角形是正三角形 否命题：若一个三角形不是正三角形 ， 则它的三个内角不全相等 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等 ， 那么这个三角形不是正三角形 (2) 原命题：已知 a、 b、 c、 d 是实数 ， 若 a b， c d， 则 a c b d. 逆命题：已知 a、 b、 c、 d 是实数 ， 若 a c b d， 则 a b 且 c d. 否命题：已知 a、 b、 c、 d 是实数 ， 若 a 与 b， c 与 d 不都相等 ， 则 a cb d. 逆否命题：已知 a、 b、 c、 d 是实数 ， 若 a cb d， 则 a 与 b， c 与 d 不都相等 题型 2 充分必要条件 例 2 已知 p： 8x 200 ， q： 2x 1 0(m 0)， 若 p 是 q 的必要不充分条件 ， 求实 数 m 的取值范围 解： p： 8x 20 0， 得 x 2 或 x 10， 设 A x|x 2 或 x 10， q： 2x 1 0， 得 x 1 m， 或 x 1 m， 设 B x|x 1 m 或 x 1 m p 是 q 的必要非充分条件 ， B 真包含于 A， 即1 m 21 m10 m 9. 实数 m 的取值范围为 m9. 备选变式（教师专享） 下列四个结论正确的是 _ (填序号 ) “ x 0” 是 “x |x|0” 的必要不充分条件； 已知 a、 b R， 则 “|a b| |a| |b|” 的充要条件是 ； “ a0， 且 4” 是 “ 一元二次不等式 c0 的解集是 R” 的充要条件； “ x 1” 是 “x 2 1” 的充分不必要条件 4 答案： 解析： 因为由 x0 推不出 x |x|0， 如 x 1， x |x| 0， 而 x |x|0 x 0，故 正确；因为 a 0 时 ， 也有 |a b| |a| |b|， 故 错误 ， 正确的应该是 “|a b| |a| |b|” 的充分不必要条件是 ；由二次函数的图象可知 正确； x 1 时 ， 有 1，故 错误 ， 正确的应该是 “x1” 是 “x 2 1” 的必要不充分条件 题型 3 全称命题与存在性命题的否定 例 3 命题 “ 所 有 不 能 被 2 整 除 的 整 数 都 是 奇 数 ” 的 否 定 是_ 答案：存在一个不能被 2 整除的整数不是奇数 备选变式（教师专享） 若 命 题 改 为 “ 存 在 一 个 能 被 2 整 除 的 整 数 是 奇 数 ” ， 其 否 定 为_ 答案：所 有能被 2 整除的整数都不是奇数 题型 4 求参数范围 例 4 已知命题 p：方程 2 0 在 1， 1上有解；命题 q：只有一个实数 22a0 ， 若命题 “p 或 q” 是假命题 ， 求实数 a 的取值范围 解：由 2 0， 得 (2)(1) 0， 显然 a0 ， x 2a或 x 1a. x 1， 1， 故 2a 1 或 1a 1， |a| 1. 由题知命题 q“ 只有一个实数 x 满足 22a0” ， 即抛物线 y 22a 与 x 轴只有一个交点 ， 48a 0， a 0 或 a 2， 当命题“ p 或 q” 为真命题时 |a|1 或 a 0. 命题 “p 或 q” 为假命题 ， a 的取值范围为 a| 10 1 40 0a12 或 a 0 即 0a12. 由命题 p 和 q 有且仅有一个正确得 a 的取值范围 是 ( ， 0) 12， 1 . 4. 设数列 足： 2， 21 32(n 1， 2， 3， )，求证： 等差数列的充分必要条件是 等差数列且 1(n 1， 2， 3， ) 证明：必
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