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十年 高考 江苏省 溧水县 第三 高级中学 年高 数学 分类 汇编 打包 13

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（十年高考）江苏省溧水县第三高级中学2004-2013年高考数学 真题分类汇编（打包13套）,十年,高考,江苏省,溧水县,第三,高级中学,年高,数学,分类,汇编,打包,13

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1 三角函数 一 、 选择 填空 题 1.（江苏 2004年 5分） 函数 y=2(x R)的最小正周期为 【 】 (A)2(B) (C)2 (D)4 【答案】 B。 【考点】三角函数的周期性及其求法。 【分析】把函数 y=2（ xR ）化为一个角的一次三角函数的形式，求出周期即可： 函数 y=2=， 它的最小正周期为： 22 。故选 B。 2（江苏 2005年 5分） 中， ， ，则 的周长为 【 】 A 33s 36s 33 36 B【答案】 D。 【考点】正弦定理。 【分析】根据正弦定理分别求得 B，最后三边相加整理即可得到答案： 根据正弦定理 A C A B B C= 2 32s i n B s i n As i n ， 2 32 2 2A B = 2 3 s i n B 2 3 s i n c o s B c o s s i n B 3 c o s B 3 s i n 3 。 周长为 2 3 3 c o s B 3 s + 3 = c o s B 3 3 s i n B + 3 = 136 c o s B s i n B 3 6 s i n c o s B c o s s i n B 3 6 s i n B + 32 2 6 6 6 。故选 D。 3.（江苏 2005年 5分） 若316 ，则 232【 】 2 A97B31C31D97【答案】 A。 【考点】运用诱导公式化简求值，二倍角的余弦。 【分析】由316 可得 1c o s s i 6 3 ，即 1c o 。 由二倍角的余弦公式，得 222 1 7c o s 2 2 c o s 1 2 13 3 3 9 。故选 A。 4.（江苏 2006年 5分） 已知 ，函数 |,| 为奇函数，则 a【 】 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 1 【答案】 A。 【考点】函数的奇偶性，三角函数 奇偶性的判断。 【分析】 ( ) s i n | | s i n | |f x x a x a , ( ) s i n + | |f x x a , 且函数 |,| 为奇函数， s i n = s i n + | |x a x a ，即 2 =0a 。 a 0。故选 A。 5.（江苏 2006年 5分） 为了得到函数 ),63 的图像，只需把函数 ,图像上所有的点【 】 【答案】 C。 【考点】函数 y=x+ ）的图象变换。 【 分 析 】 先将 ,s 图 象 向 左 平 移6个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数2 s i n ( ) ,6y x x R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数 ),63s 2 的图像。故选 C。 3 7.（江苏 2006年 5分） 在 ，已知 12， A 60 ， B 45 ，则 【答案】 46。 【考点】 正弦定理。 【分析】 解三角形，已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理。因此，由正弦定理得， A C B Cs 5 s 0，解得 6 。 8.（江苏 2006年 5分） 40c o a i o o t 【答案】 2。 【考点】 弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数。 【分析】 在求三角的问题中，要注意这样的口决 “ 三看 ” 即（ 1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；（ 2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（ 3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用。 0 0 0 0 0c o t 2 0 c o s 1 0 3 s i n 1 0 t a n 7 0 2 c o s 4 0 0 0 0 00000 0 0 000c o s 2 0 c o s 1 0 3 s i n 1 0 s i n 7 0 2 c o s 4 0s i n 2 0 c o s 7 0c o s 2 0 c o s 1 0 3 s i n 1 0 c o s 2 0 2 c o s 4 0s i n 2 0 0 0 0000 0 0 0 0000 0 0 00c o s 2 0 ( c o s 1 0 3 s i n 1 0 )2 c o s 4 0s i n 2 02 c o s 2 0 ( c o s 1 0 s i n 3 0 s i n 1 0 c o s 3 0 )2 c o s 4 0s i n 2 02 c o s 2 0 s i n 4 0 2 s i n 2 0 c o s 4 0s i n 2 029.（江苏 2007年 5分） 下列函数中，周期为2的是【 】 A C 【答案】 D。 【考点】三角函数的周期性及其求法。 【分析】根据公式 2T 对选项进行逐一分析即 可得到答案： 周期为： T=4 ，排除 A； 的周期为： T= ，排除 B； 周期为： T=8 ，排除 C； 4 的周期为： T=2。故选 D。 10.（江苏 2007年 5分） 函数 ( ) s i n 3 c o s ( , 0 )f x x x x 的单调递增区间是【 】 A 5 , 6B 5 , 66C ,03D ,06【答案】 D。 【考点】正弦函数的单调性，两角差的正弦公式。 【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理，从而根据正弦函数的单调性求得 答案： 13( ) 2 s i n c o s 2 c o s s i n s i n c o s 2 s i n ( )2 2 3 3 3f x x x x x x ,0x ， 3,343 x。 根据正弦函数的单调性， 3,213 x，即 0,61 数 ()选 D。 11.（江苏 2007年 5分 ） 若 13c o s ( ) , c o s ( )55 ， .则 . 【答案】 12。 【考点】两角和与差的余弦函数，弦切互化。 【分析】先由两角和与差的公式展开，得到 ， 的正余弦的方程组，两者联立解出两 角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积： 1c o s ( ) c o s c o s s i n s i ， 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 5 。 二式联立，得 2， 1。 s i n s i n 1t a n t a nc o s c o s 2 。 12.（江苏 2007 年 5 分） 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5秒针均匀地绕点O 旋转，当时间 0t 时，点 A 与钟面上标 12的点 B 重合，将 A， B 两点的距离 ()示成 () d ，其中 0,60t 。 【答案】 10 。 5 【考点】在实际问题中建立三角函数模型。 【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是 360 ，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接 圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果： 260 30， 根据直角三角形的边长求法得到 A O s i n 1 0 s i 0 。 13.（江苏 2008 年 5 分） 若函数 c o s ( ) ( 0 )6 最小正周期为5，则 . 【答案】 10。 【考点】三角函数的周期公式。 【分析】由三角函数的周期公式，得 2 105T 。 14.（江苏 2008年 5分） 满足条件 A B 2 , A C 2 B C的三角形 【答案】 22。 【考点】三角形的计算。 【 分 析 】 设 x ，则 2x ， 根 据 面 积 公 式 得 21 A B B C s i n B 1 c o s2 ， 根据余弦定理得 2 2 2 2 2A B B C A C 4 2c o s B B C 4 244 ，代入上式得 22 22 1 2 8 1 2414 1 6 。 由三角形三边关系有 2222，解得 2 2 2 2 2 2x 。 当 2 1 2 , 2 3 时最大值128 2216 。 15.（江苏 2009 年 5 分）函数 s i n ( )y A x 6 （ ,A 为常数， 0, 0A ）在闭区间 ,0 上的图象如图所示，则 = . 【答案】 3。 【考点】 三角函数的周期。 【分析】 根据函数图象求出函数的周期 T，然后求出 ： 由图中可以看出： 32T ， 223T 。 3 。 16.（江苏 2010 年 5 分） 定义在区间 20, 上的函数 6的图像与 5的图像的交点为 P，过点 P 作 x 轴于点 线 的图 像交于点 线段 。 【答案】 23。 【考点】余弦函数的图象，正切函数的图象。 【分析】先将求 值，再由 x 满足 65 求出 值，从而得到答案： 由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段 长即为 值，且其中的 x 满足65解得 23 。 线段 3 。 17.（江苏 2010年 5分） 在锐角三角形 A、 B、 a、 b、 c， 6 c o ，则 _。 【答案】 4。 【考点】正、余弦定理，同角三角函数基本关系的运用。 【分析】 22 2 2 2 2 2 2 2 2 36 c o s 6 c o s 3 2b a cC a b C a b a b c a b a ， 2t a n t a n s i n c o s s i n s i n c o s s i n s i n ( ) 1 s i nt a n t a n c o s s i n s i n c o s s i n s i n c o s s i n s i C B A B A C A B C A B C A B C A B 2 2 2222 2 2 22 2 2 43a b c c b c a b c 。 18.（江苏 2011年 5分） 已知 ,2)4 7 【答案】 49。 【考点】 三角函数的和差倍计算。 【分析】 1 t a nt a n ( ) 24 1 t a n xx x ， 1 22t a n t a n 1 t a n 42 t a nt a n 2 2 91 t a nx x ） 。 19.（江苏 2011年 5分） 函数 ( ) s i n ( ) , ( , ,f x A x A 是常数， 0, 0)A 的部分图象如图所示，则 0f( ) 【答案】26。 【考点】 三角函数的图象和性质的应用。 【分析】 由函数图象得 72 4 1 2 4 ， T , 2,2 , 再结合三角函数图象和性质知 2 33, ， 223f ( x ) s x )。 60232f ( ) s 。 20. （ 2012年江苏省 5分） 设 () 上且周期为 2的函数，在区间 1 1， 上， 0111() 2 01 ， ， ，其中 ， 若 1322 ， 则 3的值为 【答案】 10 。 【考点】 周期函数的性质。 【解析】 () 上且周期为 2的函数， 11 ，即 21=2 。 又 3 1 1=12 2 2f f a ， 1322 ， 141=23 。 联立 ，解得， =2. = 4。 3 = 10。 8 11 （ 2012年江苏省 5分） 设 为锐角，若 4c o ，则 )122 【答案】 17250。 【考点】 同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】 为锐角，即 02 B ， 。 。 16 （ 2） 5c o s 05C ， 1A 。 =4A。 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 7、（ 2013 江苏卷 18） 小题满分 16分。如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲乙两位游客从 A 处下山，甲沿 速步行，速度为0m 。在甲出发 ，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 ，再从匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 30 m ，山路 为 经测量，1312A，53C。 （ 1）求索道 长； （ 2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （ 3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 18 解：（ 1）1312A，53C ），（、20 35A，54C 6563s i nc i ns i ns i ns i n （）（C B A 17 根据得 0 40s （ 2 ） 设 乙 出 发 t 分 钟 后 ， 甲 乙 距 离 为 d ，则1312)50100(1302)50100()130( 222 )507037(2 0 0 22 13010400 0 t 3735乙出发3735分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。 （ 3）由正弦定理得50013565631260s m） 乙从 已经走了 50（ 2+8+1） =550（ m），还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m ,则 350710500 v 3507105003 v14625431250 v为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 14625,431250范围内 法二： 解： （ 1）如图作 ， 设 20k，则 25k， 48k， 52k，由 63k 1260m， 知： 52k 1040m （ 2）设乙出发 ， 此时甲到达 图所示 则： 130x， 50(x 2)， 由余弦定理得： 2 7400 14000 x 10000， 其中 0 x 8，当 x 3537 (， 小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 （ 3）由（ 1）知： 500m，甲到 126050 1265 ( 若甲等乙 3分钟，则乙到 1265 3 1415 (在 865 ( 此时乙的速度最小，且为： 500 865 125043 m/ 若乙等甲 3分钟，则乙到 1265 3 1115 (在 565 ( 18 此时乙的速度最大，且为： 500 565 62514 m/ 故乙步行的速度应控制在 125043 ， 62514 范围内 C B A D M N 1 不等式 一、选择 填空 题 1.（江苏 2004年 4分） 二次函数 y=c(x R)的部分对应值如下表： 则不等式 c0的解集是 . 【答案】 ),3()2,( 。 【考点】一元二次不等式与二次函数。 【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式 c0的解集： 由表可设 y=a（ x 2）（ x 3）， 又 x=0 ， y= 6，代入知 a=1。 y= （ x 2）（ x 3） 由 c=（ x 2）（ x 3） 0得 x 3或 x 2。 不等式 c0的解集为： ),3()2,( 。 3.（江苏 2006年 5分） 设 a 、 b 、 c 是互不相等的正数，则下列等 不 式中 不恒成立 的是【 】 （ A） | （ B）122 （ C） 21| D） 213 【答案】 C。 【考点】 不等式恒成立的条件。 x 2 1 2 3 4 y 6 0 6 4 0 6 2 【分析】 运用排除法， 1 0a b 时不成立。故选 C。 4.（江苏 2006年 5分）不等式 3)61( 【答案】 3 2 2 3 2 2 1x x x x 。 【考点】 数函数单调性和不等式的解法。 【分析】 221l o g ( 6 ) 3 l o g 8x x ， 10 6 8 ， 即1 21 60 。 解得 3 2 2 3 2 2 1x x x x x 。 5.（江苏 2008年 5分）若集合 2A | ( 1 ) 3 7 , R x x x x ，则 个元素 【答案】 6。 【考点】交集及其运算，解一元二次不等式。 【分析】先化简集合 A，即解一元二次不等式 2( 1) 3 7 ，再求与 由 2( 1) 3 7 得 2 5 6 0 ，解得 A ( 1, 6) 。 A Z 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，共有 6个元素。 6.（江苏 2008年 5分） 设 ,正实数，满足 230x y z ，则 2 【答案】 3。 【考点】基本不等式。 【分析】由 230x y z 可推出 32，代入 2去 y ，再利用均值不等式求解即可： 由 230x y z 得 32，代入 229 6 6 6 344x z x z x z x zx z x z ， 当且仅当 x 3z 时取 “ ” 。 7.（江苏 2009 年 5 分）已知集合 2l o g 2 , ( , )A x x B a ，若 则实 数 a 的取值范围是 ( , )c ，其中 c = . 3 【答案】 4。 【考点】 集合的子集的概念，利用对数的性质解不等式。 【分析】 2x得 04x ， (0,4A 。 又 ( , ) ， ， 4a ，即实数 a 的取值范围是 (4, ) 。 c 4。 8.（江苏 2010 年 5 分） 设实数 x ， y 满足 3 28 ， 49 ，则43最大值是 。 。来源 【答案】 27。 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，等价转化思想。 【分析】 3 28 ， 211183；又 4 9 ， 221 6 8 1 ，即 421 6 8 1。 344 2 21y ， 34111 6 8 183 ，即 342 27。 43最大值是 27。 9.（江苏 2011年 5分 ） 在平面直角坐标系 ，过坐标原点的一条直线与函数)( 的图象交于 P、 线段 的最小值是 【答案】 4。 【考点】 函数的图象及性质的应用，基本不等式的应用。 【分 析】 根据函数的对称性， 设经过原点的直线与函数的交点为 2( , )2( , )， 则 2 2 2 222P Q ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 6 4 。 本题也可以直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为 1 时，线段 小值为 4。 10、（ 2012 江苏卷 14） 已知正数 ， 满足： 4 l l nb c a a c cc a c b ， ，则 【解析】 根据条件 4 l l nb c a a c cc a c b ， ， ，得到 l n , 1a b ec c c ，得到 35 ，所以 3 5 ，由已知 4 ，得到44，解得31 4 【点评】 本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算 到每一步都要等价 度较大 . 二、 解答题 1.（江苏 2004年 12分） 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损 . 某投资人打算投资甲、乙两个项目 . 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100和 50，可能的最大亏损分别为 30和 10 . 投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【考点】基本不等式在最值问题中的应用。 5 【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资 x 和 y 万元，列出 x 和 y 的不等关系100 及目标函数 z=x +利用线性规划或不等式的性质求最值即可。 2.（江苏 2004年 14分） 已知函数 )( 满足下列条件：对任意的实数 x 1， x 2都有 )()()()( 2121221 和2121 )()( ，其中 是大于 0的常数 a ， a ， b 满足 0)( 0 )( () 证明 1 ，并且不存在 00 ，使得 0)( 0 () 证明 20220 )(1()( ； () 证明 222 )()1()( . 【答案】证明：（ I）任取 1 2 1 2, , , x x R x x 则 由 )()()()( 2121221 和 |)()(| 2121 可知 22121212121221 |)()(|)()()()( ， 从而 1 。 假设有 0 0 0, ( ) 0 , b a f b使 得 则 由 式知 20 0 0 0 0 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b a b f a f b 矛 盾， 不存在 0 0 0, ( ) 0b a f b使 得 。 （ )( 可知 220202020 )()()(2)()()( 由 和0)(0 式，得20000 )()()()()()( 由 0)(0 式知， 20202 )()()()( 将 、 代入 式 ， 得 6 2022022020 )()(2)()( 202 )(1( 。 （ 式可知 22 )()()()( 22 )()()()(2)()( 22 )()()(2)( （用 式） 222 )()()()(2)( 2222 )()(2)( （用 式） 2 2 2 2 222 ( ) 2 ( ) ( ) (1 ) ( ) f a f a f 。【考点】不等式的证明。 【分 析】（ ）要证明 1 ，并且不存在 00 ，使得 0)( 0 由已知条件)()()()( 2121221 和 2121 )()( 合并，可以直接得出 1 。再假设有 00,，使得 0( ) 0，根据已知判断出矛盾即得到不 存在 00,，使得0( ) 0。 （ ）要证明 20220 )(1()( ；把不等式 两边 20()和 220(1 )( )分别用题中的已知等式化为同一的函数值得形式，再证明不等式成立即可。 （ 已知和（ ）中的不等式逐步推导即可。 3.（江苏 2009年 16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为 如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 如果一个人对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12现假设甲生产 A、 2元和 5元，乙生产 A、 元和 20元，设产品 A、 m 元和 ，甲买进 卖出 的综合满意度为 科 )求 m 、 表达式；当，求证： h甲= 7 (2)设当、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科 (3)记 (2)中最大的综合满意度为 问能否适当选取得 甲和0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【 答 案 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 ， 得 5甲， 0乙，（ 2 5 2 0m , , m , ）。 当 35， 2B ( 2 0 ) ( 5 )125m m m 甲。 2 0 ( 5 ) ( 2 0 )35m m m 乙， h甲= （ 2 ）当，2 B 5 1 1( 2 0 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 0 0 ( ) 2 5 ( ) 1m m m 乙甲， 由 B 15 , 2 0 , 2 0 5m m 得 ， 故当 即 , 1 2 时， 甲乙两人同时 取到最大的综合满意度为105 。 （ 3）由（ 2）知： 0h = 105， 由 5 5 甲得： 5 52， 令 ,则 1 ,14 ， 5(1 4 )(1 ) 2 。 同理，由0 105乙得： 5(1 )(1 4 )2 。 8 另一方面， 1 ,14， 14x、 1 + 4 y 2 , 5 ， 1 x5、 1 + y , 2 2， 55( 1 4 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 4 )22x y x y ，当且仅当 14，即等号。 所以不能否适当选取得 甲和0同时成立，但等号不同时成立。 【考点】 函数的概念，基本不等式，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。 【分析】 （ 1）由已知直接求出 别代入 比较即可。 （ 2）由（ 1）的结论，求出分母最小时的值即可。 （ 3 ）由（ 2 ），0h= 105时，令 ,得 5(1 4 )(1 ) 2 和5(1 ) (1 4 ) 2 ，从 而得出结论。 2、 （ 2013江苏卷 21） 卷 附加题 21 D.选修 4定式选讲本小题满分 10分。 已知 0，求证： 233 22 答案： 21 D 证明： 233 22 )(22 3223 )(2 2222 )2)()()2(22 又 0， 0， 02 0)2)()( 022 2233 233 22 1 函数 一、选择 填空 题 1.（江苏 2004 年 5 分） 若函数 )1,0)(lo g a 的图象过两点 ( 1， 0)和 (0， 1)，则 【 】 (A) a =2， b =2 (B)a = 2 ， b =2 (C)a =2， b =1 (D)a = 2 ， b = 2 【答案】 A。 【考点】对数函数的单调性与特殊点。 【分析】将两点代入即可得到答案： 函数 y= x+b ）（ a 0， a 1 ）的图象过两点（ 1， 0）和（ 0， 1）， a （ 1+b ） =0， 0+b ） =1。 a =2， b =2。故选 A。 【分析】用导研究函数 13)( 3 闭区间 3， 0上的单调性，利用单调性求函数的最值： 2( ) 3 3 0 , 1f x x x ，且在 3， 1）上 ( ) 0f x ，在（ 1， 0上 ( ) 0f x ，则 2 2 2(1 ) (1 ) 1f x x ， 2( 2 ) ( 2 ) 1f x x。 由 2(1 ) ( 2 )f x f x 得， 22(1 ) 1x 2(2 ) 1x ，解得 0 2 1x 时， 210x ，则 2(1 ) 1， 2( 2 ) ( 2 ) 1f x x。 由2(1 ) ( 2 )f x f x 得 1 2(2 ) 1x ，无解。 综上所述，满足不等式 2(1 ) ( 2 )f x f x 的 x 的范围是 ( 1, 2 1)x 。 5 12.（江苏 2010年 5分） 将边长为 1一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(S 梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积,则 。 【答案】 32 33。 【考点】求闭区间上函数的最值。 【分析】 设 剪 成 的 小正 三 角 形 的 边 长 为 x ， 则 ：222( 3 ) 4 ( 3 ) ( 0 1 )11 3 3( 1 ) ( 1 )22 令 1 1 13 , ( 2 , 3 ) , ( , )32x t t t ， 则 ：22224 4 1 4 186683 3 3 1 3 11 888t 。 当 138t时， 21 3 1888t 有最大值，其倒数有最小值。 当 138t，即 13x时， 2 33。 本题还可以对函数 导函数等于 0求出 x 的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。 13.（江苏 2011年 5分） 函数 )12(lo g)(5 _ 【答案】 ,21 。 【考点】对数函数图象和性质。 【分析】 由 012 x ，得21x，所以函数的单调增区间是 ,21 。 14. （ 江 苏 2011 年 5 分） 已 知 实 数 0a ， 函 数1,21,2)(若)1()1( ，则 【答 案】 34。 【考点】 函数的概念，函数和方程的关系， 含参数的分类讨论。 6 【分析】 根据题意对 a 分类： 当 0a 时， 11,11 ， )1()1(2 ，解之得23a，不合舍去； 当 0a 时， 11,11 )1()1(2 ，解之得43a。 15.（江苏 2011 年 5 分） 在平面直角坐标系 ，已知点 P 是函数 )0()( x 的图象上的动点，该图象在 P 处的切线 l 交 ，过点 P作 l 的垂线交 ，设线段 t ，则 t 的最大值是 【答案】 )(21 1 【考点】指数运算， 函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。 【分析】 设 0)(,( m ， 由 )( 得， l 的方 程为 )( ，令 0x 得， mm 。 过点 P的 l 的垂线方程为 )( ，令 0x 得， mm 。 )(21 。 对函数 t(m) 求导，得 1 ( ) (1 )2 e e x ， t 在 (0,1) 上单调增，在 (1, ) 单调减， 当 1m 时，函数 t(m) 的最大值为)(21 1 16. （ 2012年江苏省 5分） 函数 的定义域为 【答案】 0 6，。 【考点】 函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】 根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 126 60 00611 2 l o g 0 l o 620 xxxx 。 17. （ 2012年江苏省 5分） 已知函数 2( ) ( )f x x a x b a b R，的值域为 0 )， ，若关于 7 ()f x c 的 解集为 ( 6) ，则实数 【答案】 9。 【考点】 函数的值域， 不等式的 解 集。 【解析】 由 值域为 0 )， ，当 2 =0x ax b 时 有 2 40 V ，即 24 2222()42x x a x b x a x x 。 2()2af x x c 解得2ac x c ，22x c 。 不等式 ()f x c 的 解集为 ( 6) ， ( ) ( ) 2 622c c ，解得9c 。 18、（ 2013江苏卷 1） 、函数 )42 19、（ 2013江苏卷 11） 11已知 )(定义在 R 上的奇函数。当 0x 时， )( 2 ，则不等式 )( 的解集用区间表示为 。 11 ,50,5 10、（ 2013 江苏卷 13） 13在平面直角坐标系 ，设定点 ),( P 是函数（ 0x ）图象上一动点，若点 之间的最短距离为 22 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 。 答案： 13 1 或 10 二、 解答题 1.（江苏 2005年 12分） 已知 ，函数 |)( 2 当 2a 时，求使 )( 成立的 x 的集合；（ 4分 ） 求函数 )( 在区间 2,1 上的最小值（ 10 分） 【答案】解：（ 1）由题意， |2|)( 2 8 当 2x 时，由 )2()( 2 ，解得 0x 或 1x ； 当 2x 时，由 )2()( 2 ，解得 21x 综上，所求解集为 0, 1, 1 2 。 （ 2）设此最小值为 m 当 1a 时，在区间 1， 2上， 23)( ， 0)32(323)( 2 )2,1(x ， )(区间 1， 2上的增函数，所以 1)1( 。 当 21 a 时，在区间 1， 2上， 0|)( 2 由 0)( ，0)( 当 2a 时，在区间 1， 2上， 32)( ， )32(332)( 2 若 3a ，在区间（ 1， 2）上， 0)( 则 )(区间 1， 2上的增函数， 1)1( 若 32 a ，则 2321 a， 当 时， 0)( 则 )(区间 1， 的增函数， 当 232 0)( 则 )(区间 2上的减函数， 当 32 a 时， 1)1( )2(4)2( 当372 1)2(4 故 )2(4)2( 当 337 1)2(4 故 1)1( 综上所述，所求函数的最小值371372)2(421011 9 【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。 【分 析】（ 1）把 2a 代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即 2x 和 2把所有的根用列举法表示出来。 （ 2）根据区间 1， 2和绝对值内的式子进行分类讨论，即 1a 、 21 a 和 2别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当 3a 时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。 2.（江苏 2006年 16分） 设 函数 111)( 2 的最大值为 g(a)。 （ ）设 t 11 ，求 t 的取值范围，并 把 ()t 的函数 4分 ） （ ）求 ()（ 6分 ） （ ）试求满足 )1()(的所有实数 a （ 6分） 【答案】 解：（ ）对于 11t x x ，要使有 t 意义，必须 10x 且 10x ，即11x 。 222 2 1 2 , 4 ， 0t 。 t 的取值范围是 2, 2 。 由 222 2 1 得 221112 ， 22111 , 2 , 2 22m t a t t a t t a t 。 （ ）由题意知 ()函数 21 , 2 , 2 2m t a t t a t 的最大值，注意到直线 1是抛物线 212m t a t t a 的对称轴，分以下几种情况讨论： 当 0a 时，函数 y m t , 2,2t 的图象是开口向上的抛物线的一段，由 1 0t 时， 1 0a，此时 ( ) 2g a a , 11( ) 2。由 122 解得 1a ，由 0a 得 1a 。 综上所述，满足 1( ) ( )g a 所有实数 a 为 222a 或 1a 。 【考点】 函数最值的应用 【分析】 （ I）由 t 11 先求定义域，再求值域。由 221112 转化。 11 （ ()最大值，即求 函数 21 , 2 , 2 2m t a t t a t 的最大值严格按照二次函数求最值的方法进行。 （ 求满足 1( ) ( )g a 所有实数 a ，则必须应用 ()解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解。 3.（江苏 2007年 16分） 已知 , , ,a b c d 是不全为 0 的实数，函数 2()f x b x c x d ， 32()g x a x b x c x d ，方程 ( ) 0有实根，且 ( ) 0的实数根都是( ( ) 0g f x 的根，反之， ( ( ) 0g f x 的实数根都是 ( ) 0的根， （ 1）求 d 的值；（ 3分） （ 2）若 0a ，求 c 的取值范围；（ 6分） （ 3）若 1, (1) 0，求 c 的取值范围。（ 7分） 【答案】解：（ 1）设0 0的根，那么 0 0 则0 ( ) 0g f x 的根，则 0 0,g f x 即 00g ， 0d 。 （ 2） 0a ， 22,f x b x c x g x b x c x ， 则 ( ( ) )g f x f x b f x c= 2 2 2b x c x b x b c x c =0 的根也是 0f x x b x c 的根。 （ a）当 0b ， 0c 时，此时 0的根为 0，而 ( ( ) 0g f x 的根也是 0， 0c 。 （ b）当 0b ， 0c 时， 0的根为 0，而 ( ( ) 0g f x 的根也是 0。 （ c）当 0b ， 0c 时， 0的根为 0和 而 0bf x c的根不可能为 0和 0bf x c必无实数根， 2 240b c b c ，由 0b 解得 04c 。 综上所述，当 0b 时， 0c ；当 0b 时， 04c 。 （ 3） 1, (1) 0， 0 ，即 0的根为 0和 1。 12 222c x c x c c x c x c =0必无实数根。 （ a ）当 0c 时， t = 2cx = 212 4 4 ，即函数 2h t t c t c 在 4， 0恒成立。 又 2 2224t t c t c t c ， m i n 04ch t h ，即22 0,1 6 4cc c 1603c。 （ b ）当 0c 时， t = 2cx = 212 4 4 ，即函数 2h t t c t c 在 4， 0恒成立。 又 2 2224t t c t c t c ， m i n 02ch t h ，即24 ，而 0c ， 24 ， c 不可能小于 0。 （ c） 0,c 则 0,b 这时 0的根为一切实数，而 0g f x ， 0,c 符合要求。 综上所述， 1603c。 【考 点】函数与方程的综合运用。 【分析】（ 1）不妨设0 0 0则由题设得 0 0g f x ，从而由 0求解。 （ 2 ） 由 （ 1 ）知 22,f x b x c x g x b x c x 所 以 有 ( ( ) )g f x f x b f x c = 2 2 2b x c x b x b c x c =0。而方程 0f x x b x c 。最后按方程的类型，分（ ）0b ， 0c ，（ ） 0b ， 0c ，（ ） 0b ， 0c 讨论。 13 O y x (a,f(a) (b,f(b) 图 1 （ 3）由 1, (1) 0得 0 ，将函数的系数都用 c 表示，分 0c ， 0c ，0c 三种情况讨论。 4.（江苏 2008年 16分） 已知函数 11 ( ) 3 ， 22 ( ) 2 3 （12,x R p p为常数）函数 ()每个给定的实数 x ， 1 1 22 1 2( ) , ( ) ( )()( ) , ( ) ( )f x f x f x f x f x 若若（ 1）求1( ) ( )f x f x对所有实数 x 成立的充分必要条件（用12, （ 2）设 ,足 ，且12, ( , )p p a b若 ( ) ( )f a f b ，求证：函数 () , 的单调增区间的长度之和为2闭区间 , 长度定义为 ） 【答案】解：（ 1）由 ()( ) ( )f x f x（对所有实数 x ）等价于 12f x f x （对所有实数 x ）这又等价于 123 2 3x p x p ，即 12 3l o g 23 3 2x p x p 对所有实数 x 均成立 . （ *） 由于1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )x p x p x p x p p p x R 的 最 大 值 为12 故（ *）等价于 1232 ， 即1 2 3lo g 2，这就是所求的充分必要条件。 （ 2）分两种情形讨论： （ i）当1 2 3 2p p 时，由（ 1）知1( ) ( )f x f x（对所有实数 , x a b ） 则由 f a f b 及1a p b易知1 2， 再由 111113,()3, 的单调性可知， 函数 () , 的单调增区间的长度 为22a b b （参见示意图 1） （ 2 3 2p p 时，不妨设1 2,则2 1 3lo g 2，于是 当1，有 1212( ) 3 3 ( )p x p xf x f x ，从而1( ) ( )f x f x； 当2，有 31 2 1 2 2 1 2 2l o g 2( ) 3 3 3 3 3 3 ( )x p p p x p p p x p x pf x f x 14 O y x (a,f(a) (b,f(b) (x0,() () 图 2 从而 2( ) ( )f x f x； 当12p x p时， 11 ( ) 3，及 22 ( ) 2 3 ，由方程 123 2 3x p p x 解得12( ) ( )f x f 12031 l o g 222 显然1 0 2 2 1 3 21 ( ) l o g 2 2p x p p p p ， 这表明0 易知 101022() ,()() ,p x x 。 综上可知，在区间 , ， 0102() ,()() ,a x x （参见示意图 2） 故由函数1()() , 的单调增区间的长度之和为0 1 2( ) ( )x p b p ， 由于 ( ) ( )f a f b ，即 123 2 3p a b p ，得 1 2 3l o g 2p p a b 故由 、 得 0 1 2 1 2 31( ) ( ) l o g 2 22 p b p b p p 。 综合（ i）（ 知， () , 的单调增区间的长度 和为2 【考点】指数函数综合题。 【分析】（ 1）根据题意，先证充分性：由 ()( ) ( )f x f x对所有实数成立，等价于 12f x f x对所有实数 x 成立，等价于 123 2 3x p x p ，即 12 3l o g 23 3 2x p x p 对所有实数 x 均成立，分析容易得证。 再证必要性： 12 3l o g 23 3 2x p x p 对所有实数 x 均成立等价于 1232 ，即1 2 3lo g 2。 （ 2）分两种情形讨论（ i）当1 2 3 2p p 时，由中值定理及函数的单调性得到 15 函数 () , 的单调增区间的长度；（ 2 3 2p p 时， ,足 ，且12, ( , )p p a b，根据图象和 函数的单调性得到函数 () , 的单调增区间的长度。 5.（江苏 2009年 16分）设 a 为实数，函数 2( ) 2f x x x a x a . (1)若 (0) 1f ，求 a 的取值范围； (2)求 () (3)设函数 ( ) ( ) , , +h x f x x a ， 直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式 ( ) 1的解集 . 【答案】 解（ 1）若 (0) 1f ，则 | | 1 当 0a 时， 2 1a ， 1a ； 当 0a 时， 2 1a无解。 a 的取值范围为 1a 。 （ 2）当 时， 22( ) 3 2 ,f x x a x a 22m i n( ) 2 0() 2( ) 033f a a ； 当 时， 22( ) 2 ,f x x a x a 2m i n 2( ) 2 0()( ) 2 0f a a a a a 综上 22m i 203 。 （ 3）当 26( , )22a 时，解集为 ( , )a ; 当 62( , )22a 时，解集为 223 2 3 2( , , )33a a a ; 当 22 , 22a 时，解集为 232 , )3 。 【考点】 二次函数的性质，一元二次不等式的解法。 【分析】 （ 1） ( 0 ) 1 | | 1f a a 再去绝对值求 a 的取值范围。 （ 2）分 和 两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分 别求最小值，最后综合即可。 （ 3） ( ) 1转化为 223 2 1 0x a x a ，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。 16 ( , ) 时，由 ( ) 1得 223 2 1 0x a x a ， 2 2 24 1 2 ( 1 ) 1 2 8a a a 当 6622 或时， 0 , ( , ) ； 当 6622a 时， 0, 得： 223 2 3 2( ) ( ) 033a a a 。因此，讨论得： 当 26( , )22a 时，解集为 ( , )a ; 当 62( , )22a 时，解集为 223 2 3 2( , , )33a a a ; 当 22 , 22a 时，解集为 232 , )3 。 6.（江苏 2010年 16分） 设 )(定义在区间 ),1( 上的函数，其导函数为 )( 如果存 在 实 数 a 和 函 数 )(其中 )( 任 意 的 ),1( x 都有 )(0 ， 使 得)1)()( 2 则称函数 )(有性质 )( (1)设函数 )(l n ( 1 )1 ，其中 b 为实数。 (i)求 证：函数 )(有性质 )( (函数 )(单调区间。 (2)已知函数 )(有性质 )2(P 。给定1 2 1 2, (1 , ) , ,x x x x 设 m 为实数， 21 )1( ， 21)1( ，且 1,1 ， 若 | )()( |0， 对任意的 ),1( x 都有 ( ) 0 ， ()1, ) 上递增。 又1 2 1 2, ( 2 1 ) ( )x x m x x ， 当 1 ,12时， ，且1 1 2 2 1 2( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )x m x m x x m x m x ， 18 综上所述，所求 m 的取值范围是（ 0， 1）。 【考点】利用导数研究函数的单调性。 【分析】（ 1） (i)先求出函数 )(导函数 ()后将其配凑成 2 1f ( x ) h ( x ) ( x b x ) 这种形式，再说明 h(x) 对任意的 x （ 1， + ）都有 h(x) 0，即可证明函数 )(有性质 )( (设 2( ) 1x x ，分 2b 和 2b 两 种 情 况 讨 论 ： 根 据 (i) 令2( ) 1x x ，讨论对称轴与 2的大小，当 2b 时，对于 1x ， ()x 0，所以 ()0，可得 )(在区间（ 1， + ）上单调性，当 2b 时， ()x 图象开口 向上，对称轴12，可求出方程 ()x =0的两根，判定两根的范围，从而确定 ()x 的符号，得到 ()出单调区间。 （ 2）对 )(导，由已知条件，应用不等式的性质求解。 7.（江苏 2011年 14 分） 请你设计一个包装盒，如图所示， 0正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、 F 在 是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 B=x （ 1）若广告商要求包装盒侧面积 S（ 最大，试问 x 应取何值？ （ 2）若广告商要求包装盒容积 V（ 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值 . A 60 E F B x x C D P 19 【答