七年级数学思维探究（15）从估算到数感（含答案）

苏步青，浙江平阳人， 1927年毕业于日本东北帝国大学，复旦大学教授、名誉校长， 1955 年选聘为中国科学院 院士，主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，被誉为“东方第一几何学家” 在空间微分几何学、几何外形设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就 15 从估算到数感 解读课标 大到国家的财政预算，工农业生产的总值、产量，小到某人的身高、体重、年龄等，在生活生产实践和科学研究中，我们常要对一些问题的数量进行估算，估算是 我们研究和处理有关数量问题时经常运用的一种方法 数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的问题提出有用的策略，数感主要表现在：理解数的意义，能用多种方法表示数，能在具体的情境中把握数的相对大小关系，能用数来表达和交流信息，能为解决问题而选择适当的算法，能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释 加强估算，培养数感是新 课程的基本要求 例 1 图中的算式表示四位数 9 的积是四位数 那么 a 、 b 、 c 、 d 这 4 个数字分别是 _ 试一试 被乘数是四位数，与 9 的积也是四位数，由此可估算确定 a 、 d 的值，这是解本例的突破口 例 2 已知3 3 3 41 1 1 12 2 1 2 2 2 1A ， 则 A 与 1的大小关系是 （ ） A 1A B 1A C 1A D 无法确定的 试一试 通过放缩法，化异分母为同分母，为比较 A 与 1 的大小创造条件 例 3 如果三个边长为整数的正方形纸片的面积之和为 2004，其中最大的正方形纸片面积为 P ，最小的正方形纸片面积为 S ，确定 试一试 设三个正方形边长分别为 x ， y ， z （ 其中 x ， y ， z 为正整数， x y z ） ，由题意得2 2 2 2004x y z ，怎样解这个不定方程，从估算 入 手 例 4 证明： 2 1 1 1 11 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 5 试一试 先用放大的方法：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 11 0 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 1 0 9 1 1 0 1 2 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 5 类似用缩小的方法证明另一不等式 例 5 求方程 1 1 1 56x y z 的正整数解 分析 易知 x ， y ， z 都大于 1，不妨设 12 ，则 1 1 1x y z （排序估算），将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果 解 1 1 1 1 3x x y z x ，即 1 5 36，由此得 2x 或 3 ，当 2x 时， 1 1 1 5 1 1 1 1 26 2 3y y z y y y ，即 1 1 23，由此得 4y 或 5 或 6 ，同理当 3x 时， 3y 或 4 ，由此可得当 1 x y z 时， ,x y 2 , 4 , 12 ， 2, 6, 6 ， 3, 3, 6 ， 3, 4, 4 4 组，由于 x 、 y 、 z 在方程中地位平等，可得原方程的解共有 15组： 2 , 4 , 12 ， 2 , 12 , 4 ， 4 , 2 , 12 ， 4 , 12 , 2 ， 12 , 2 , 4 ， 12 , 4 , 2 ， 2, 6, 6 ， 6, 2, 6 ， 6, 6, 2 ， 3, 3, 6 ， 3, 6, 3 ， 6, 3, 3 ， 3, 4, 4 ， 4, 4, 3 ， 4, 3, 4 逼近求解 通过放缩或特殊化，把相关量限制在某取值范围内，从而找到解决问题的突破口，逼近求解体现了变a b c c b a“相等”为“不等”，以“不等”求“相等”的解题策略和思想 例 6 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每人有 31个核桃，三组的核桃总数是 365个，问三个小组共有多少名同学？ 分析与解 设甲组学生 a 人，乙组学生 b 人，丙组学生 c 人，由题意得 2 8 3 0 3 1 3 6 5a b c ，运用放缩法，从求出 的取值范围入手 因 2 8 2 8 3 0 3 1 3 6 5a b c a b c ，得 365 1 3 . 0 428 ，故 13 因 3 1 2 8 3 0 3 1 3 6 5a b c a b c ，得 365 1 1 ，故 12 从而， 12 或 13 当 13 时，得 2 3 1，此方程无正整数解，故 13 ，12 数学冲浪 知识技能广场 1 设 a 、 b 、 c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是 （ ） A c b a B b c a C c a b D 2 细胞分裂时一分为二，设原有 1个细胞，第一次分裂为 2 个，第 2 次分裂为 2 个第十次分裂为 102 1024 个，则第二十次分裂后的细胞数最接近于 （ ） A 310 个 B 410 个 C 510 个 D 610 个 3 将 1， 2 ， 3 ， 4 ， 12， 13这 13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大 10，这样的分组方法 （ ） A 只有一种 B 恰有两种 C 多于三种 D 不存在 4 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的 240 名同学中任选出 20 名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量（单位：吨） 1 2 同学数 4 5 6 3 2 用所学的统计知识估计这 240 名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 （ ） A 240 吨 B 300吨 C 360吨 D 600吨 5 某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买 100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得 100元、 50 元、 20 元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券 10元 小明购买了 100元的商品，他看到商场公布的前 10000张奖券的抽奖结果如下： 奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾 出现张数（张） 500 1000 2000 6500 （ 1） 求“紫气东来”奖券出现的频率； （ 2） 请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由 6 在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了 10场球 他在第 6 ， 7 ， 8 ， 9 场比赛中分别得了 22 ， 15，12和 19分，他的前 9 场比赛的平均得分 y 比前 5 场比赛的平均得分 x 要高，如果他所参加的 10场比赛的平均得分超过 18分 （ 1） 用含 x 的代数式表示 y ； （ 2） 小方在前 5 场比赛中，总分可达到的最大值是 多 少？ （ 3） 小方在第 10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？ cc cc 证明：2 2 21 1 1 123 n （ n 为正整数且 2n ） 8 求满足关系式 52 25ba 的数字 a 和 b 9 已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于 1995，试求这个四位数 思维方法天地 10 已知分数 11 1 1 1 11 9 8 0 1 9 8 1 1 9 8 2 1 9 9 9 2 0 0 0S ，那么 S 的整数部分 是 _ 11 回文对联 北京有一家“天然居”的名餐馆，顾客进店，便可看见一副对联：客上天然居，居然天上客 这副对联不但意境好，而且是一副回文联，即将上联倒过来念，便成了下联 这与数学中的对称颇为类似 据说清代乾隆皇帝把这副回文联两句并成一句，作为新的上联，大臣纪晓岚对出了下联：人过大佛寺，寺佛大 过人 下面左边的乘法算式中，每个汉字代表一个数字，不同汉字代表不同数字，请把这道乘法算式在右边还原出来 _ 12 有 5 克、 25 克、 30 克、 50 克的砝码各若干个，从中共取 n 个，每类砝码至少取 1个， 50 克的砝码不能超过 6 个，若总重量为 1千克，则 n 的最小值为 _ 13 中国古代数学问题 唐太宗传令点兵：若一千零一卒为一营，则剩一人；若一千零二卒为一营，则剩四人，此次点兵至少有 _人 14 a 、 b 、 c 是三个连续正整数， 2 44944a ， 2 45796c ，那么 2b 是 （ ） A 45366 B 45464 C 45371 D 45369 153 3 3 31 1 1 11 2 3 9 9S ，则 4S 的整数部分等于 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 16 求 5 3 7850x 中的数字 x 、 y 、 z 17 已知由小到大的 10个正整数 1a ， 2a ， 3a ， 10a 的和是 2000， 求 5a 的最大值 应用探究乐园 18 设 x 、 y 、 z 为互不相等的正整数，且 1 1 1 ax y z ， a 为整数，求 x 、 y 、 z 的正整数解 19 已知正整数 10000n ，其中 a 、 b 、 c 均为质数，且 23a b c， 4 1 4a c b ，求 n 的值 4人过大佛寺寺佛大过人15 从估算到数感 问题解决 例 1 1a ， 9d ，推得 0b ， 8c 例 2 有 4 3 32 1 2 1 2 个数，故 33 3 3 321 1 1 1 12 2 2 2A 共 有 项例 3 2 2 2 2004x y z ，而 224 4 2 0 0 4 4 5， x 最大值取 44 ，得 2268 ，得 2z ， 8y ， 244 4842 例 4 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 21 0 1 11 0 0 1 0 9 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 故2 1 1 1 11 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 5 数学冲浪 1 A 2 D 3 D 设一组数的和为 x ，另一组数的和为 y ，由 9110，得 2 81y 4 C 5（ 1） 5100；（ 2）平均每张奖券获得的购物券金额为 5 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 6 5 0 01 0 0 5 0 2 0 0 1 41 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 （元）， 14 10 ， 选择抽奖更合算 6 （ 1） 5 689；（ 2） 84 分；（ 3） 29 分 7 提示：利用 21 1 1 111n n n n n 结果 8 52 5 2 3 2a a， 2 5 0 0 2 5 2 6 0 0 ， 3 2 7 8 3 2 3 2 8 2 ，得 78 82 在 78 与 82 之间的完全平方数只有 81， 248 1 9 3 经检验知 9a ， 2b 为所求 9 设所求四位数是 由题意得 1995a b c d a b c d ， 即 1 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 9 9 5a b c d ，得 1a ， 1 0 1 1 1 2 9 9 4b c d ，得 9b 11 2 85，进一步得 7c ，4d 故所求四位数是 1974 10 1 1 9 8 0 29412 1 7211980S ， 1 2 0 0 0 59512 1 2 1212000S ，故 S 的整数部分是 95 11 2 1 9 7 8 4 8 7 9 1 2 12 31 设 50 克、 30 克、 25 克、 5 克的砝码分别有 a 、 b 、 c 、 d 个，则 1 0 6 5 2 0 0a b c d ， 6a ，随着 a 的减小， n 越来越大，经讨论知 5a ， 24b ， 1c ， 1d ， 31n 为所求 13 1000000 设第一次点兵共 x 营，第二次点兵共 y 营，则 1 0 0 1 1 1 0 0 2 4 ，即 1 0 0 1 3x y y ， 的最小值等于 1，此时 998y ，至少有 9 9 8 1 0 0 2 4 1 0 0 0 0 0 0 （人） 14 D a ， c 为偶数， b 必为奇数 15 A 当 2n ， 3 ， 99 时， 3 21 1 1 1 12 1 11n n n n ， 3 3 31 1 1 1 1 1 5111 2 9 9 2 2 9 9 1 0 0 4S ，于是有 4 4 5S，得 4S 的整数部分为 4 16 因 3 0 0 3 4 0 0 ，故 7 8 5 0 7 8 5 054 0 0 3 0 0x ， 19 5 27x ，即 19 10 5 27x ，解得 x 的正整数解为2x ，而 78503 3 1 425，所以 1y ， 4z 17 要使 5a 最大，需使 1a ， 2a ， 3a ， 4a 及 6a ， 10a 尽量小，又因 1 2 1 0a a a ，故先取 1a ， 2a ，3a ， 4a 分别为 1， 2 ， 3 ， 4 ，于是有 5 1 02 0 0 0 1 2 3 4 即 5 6 1 0 1990a a a 又651 ， 752 ， 853 ， 954 ， 10 5 5 ，故 5 6 1 0 56 1 5a a a a ，即56 1975a ， 5 1 9