九年级数学24 一元二次方程教学案冀教版

1 第二十四章第二十四章 一元二次方程一元二次方程 1.经历从实际问题出发建立一元二次方程的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系 的重要模型,进一步发展符号感. 2.了解一元二次方程及方程的解的概念,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数 的一元二次方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况. 4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系. 5.在了解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想. 6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求得结果,能根据具体的问题的 实际意义检验结果的合理性. 1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性. 2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学 生寻求简便方法的探索精神及创新意识. 3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生建立数学模型的能力,同时提高学生 分析问题、解决问题的能力. 1.通过学习一元二次方程的概念,体会类比思想在数学中的应用. 2.通过学习配方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题 中的应用,同时体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣. 3.通过对求根公式的推导,向学生渗透数学中的分类思想. 4.体会数学来源于生活,又应用到生活,由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法, 培养学生应用数学解决问题的意识. 方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,它是初中数 学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是在学习了一元一次方程、二 元一次方程(组)、不等式知识的后继学习,它和学习一元一次方程、二元一次方程组一样, 也可以表达许多实际问题中的数量关系,是分析和解决许多实际问题的重要的数学模型之一.本 章在初中代数中起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合应用,如探究 解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方 面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,也是学 好高中数学的奠基工程. 本章主要让学生进一步体会在实际问题中建立方程模型,一元二次方程的概念、基本解 法及应用都是重要的基础知识,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个 “一次”方程求解,蕴含了重要的数学思想和数学方法,其中配方法是初中数学中的基本方 法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,进而探究出根与系数之间的关系.本 章内容自始至终置于实际情景中,使学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型,体 会方程是刻画现实世界的一个有效模型,体会数学在实际中的应用价值.通过学习本章内容 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养应用数学 2 的意识. 【重点】 1.一元二次方程及其有关概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.能应用根的判别式、根与系数之间的关系解决有关问题. 4.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题. 【难点】 1.用配方法解一元二次方程. 2.选择合适的方法解一元二次方程. 3.在实际问题中寻求等量关系,从而抽象出一元二次方程数学模型. 1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实 际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以从实际问题抽象出一元二次 方程的有关概念及数学符号表示,学生用类比思想理解并掌握一元二次方程、解的概念及一 般形式. 2.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,即把方程转化为两个一元一次方 程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元 一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根 公式,从而体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎 实的运算功底. 3.一元二次方程根的判别式的学习,使学生理解一元二次方程根的存在情况与系数之间 的关系.探究一元二次方程根与系数的关系,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的 是初高中的衔接问题,通过这节课的学习,培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力. 4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际 问题,引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系,建立一元二次模型,得出方程的解, 并检验所得的结果是否符合实际,得出具有一般意义的一元二次方程的解法,让学生经历 “问题情景建立模型求解验证”的数学活动过程,培养学生建模思想,逐步形成应用意 识. 24.1 一元二次方程1 课时 24.2 解一元二次方程3 课时 24.3 一元二次方程根与系数的关 系* 1 课时 24.4 一元二次方程的应用3 课时 回顾与反思1 课时 24.1 一元二次方程 3 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型. 4.理解一元二次方程解的概念. 1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力. 2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念. 3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力. 1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识. 2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 3.体会数学知识与现实世界的联系. 【重点】 一元二次方程的概念及一般形式. 【难点】 1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程. 2.正确识别一般式中的“项”及“系数”. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P3435. 导入一: 【课件展示】 教材章前图,请同学们阅读章前问题,并回答下列问题: 一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为 8 m.如果梯子的顶 端沿墙面下滑 1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是 1 m 吗?你能列方程解决这 个问题吗? 学生分析等量关系:AB2=AC2+BC2. 设梯子的底端在地面上滑动的距离x m,于是得方程 102=(8-1)2+(6+x)2. 4 整理得x2+12x-15=0. 【问题】 这个方程是不是我们前边学过的方程? 导入二: 【课件展示】 观察下列方程: (1)3x-2=0,(2)x2+2x-3=0,(3)x+=0,(4)x2-5=0. 哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同? 【师生活动】 复习方程、一元一次方程及方程的解的概念. 【学生活动】 小组合作交流,观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义. 设计意图 让学生在实际问题中建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,通过 复习一元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识. 过渡语 方程是一类重要的数学模型,在现实生活中具有广泛的应用.在学习了一元 一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上,现在我们来学习一元二次方程. 共同探究一 教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型 【课件展示】 如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处, 存车处的一面靠墙(墙长 22 m),另外三面用 90 m 长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面 积为 700 m2,求这个长方形存车处的长和宽. 思路一 教师引导学生思考并回答: 长方形存车处的长与宽之间的数量关系为 ,该问题中的等量关系为 . (1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m,长方形存车处的 面积为 . 由此,我们可以列出方程 ,化简得 . (2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为 m,长方形存车 处的面积为 . 由此,我们可以列出方程 ,化简得 . 【师生活动】 教师引导分析,学生回答,通过所设未知数,根据题意列出方程,老师点 评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,整理所列出的方程. 【课件展示】 解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m. 根据题意,可得方程x=700. 整理,得x2-90x+1400=0. (2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m. 根据题意,可得方程(90-2x)x=700. 整理,得x2-45x+350=0. 思路二 小组活动,共同探究,思考下列问题: (1)分析题意,题中的已知条件是什么? (2)分析题意,题中的等量关系是什么? (3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程? 5 (4)分析下面小明和小亮列方程的做法,他们的解题思路和所列方程是否正确? 【课件展示】 小明的做法: 设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m. 根据题意,可得方程x=700. 整理,得x2-90x+1400=0. 小亮的做法: 设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m. 根据题意,可得方程(90-2x)x=700. 整理,得x2-45x+350=0. 【师生活动】 教师先出示问题(1)(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交 流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示结果,教师及时补充和点评. 设计意图 师生共同分析探讨实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方 程的概念做铺垫,同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力. 共同探究二 共同归纳概念 请口答下面问题. (1)上面方程整理后含有几个未知数? (2)上面方程中未知数x的最高次数是几次? (3)方程两边都是整式吗? (4)你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗? 【学生活动】 小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义. 老师点评归纳:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次 数都是 2 次;(3)方程两边都是整式. 【课件展示】 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为 2 的整式方程,叫做一元 二次方程. 设计意图 学生通过合作交流,类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义, 体会类比思想在数学中的应用,同时培养学生归纳总结能力及合作交流能力. 过渡语 我们了解了一元二次方程的有关概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧. 【课件展示】 请抢答下列各式是否为一元二次方程: (1)2x2=9; (2)2x2-1=3y; (3)4x2+3=2x; (4)=0; (5)5x2-2x+3; (6)2x(x+2)=5x-2; (7)3x(x-1)=3x2-5. 【师生活动】 学生以抢答的形式来完成该题,并让学生说出判断理由.教师对学生给 出的答案作出点评和归纳,并让学生归纳判断易错点先化简再判断. 设计意图 通过抢答进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,同时提高学生 学习数学的兴趣和积极性. 共同探究三 一元二次方程的一般形式 【思考 1】 类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式? 【课件展示】 6 一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a0). 其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 【思考 2】 (1)任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式? (2)一元二次方程的二次项系数为什么不能为 0? (任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数a=0,b0 时,方 程为一元一次方程) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳. 设计意图 通过概括一元二次方程的一般形式,让学生理解掌握数学符号语言在数学 中的应用,更深入地理解一元二次方程的概念,同时强调了一元二次方程概念中的易错点. 过渡语 我们又知道了一元二次方程的一般形式,试试我们能不能完成以下问题. 【课件展示】 做一做: 将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)4x2=3(x+4); (2)(2x-3)(3x-2)=10; (3)=7; (4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2. 解析 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0),因此,通过去分母、去括号、 移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理,再根据有关概念求解. 解:(1)原方程可化为:4x2-3x-12=0. 其中二次项系数为 4,一次项系数为-3,常数项为-12. (2)原方程可化为:6x2-13x-4=0. 其中二次项系数为 6,一次项系数为-13,常数项为-4. (3)原方程可化为:2x2+x-48=0. 其中二次项系数为 2,一次项系数为 1,常数项为-48. (4)原方程可化为:5x2+6x+2=0. 其中二次项系数为 5,一次项系数为 6,常数项为 2. 追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么? (一是先化简成一般形式;二是书写系数时不要遗漏前边的符号) 【师生活动】 学生独立思考回答,教师进行点评归纳. 设计意图 通过做一做,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,先化成一元 二次方程一般形式再求解,加深对一元二次方程一般形式的理解. 共同探究四 一元二次方程的根 【思考】 1.什么是一元二次方程的解? (使一元二次方程两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解) 板书:一元二次方程的解也叫做这个方程的根. 2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根? (将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方 程左右两边不相等,则该数值不是方程的根) 【课件展示】 做一做: 在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根? 7 (1)x2-3x-4=0(x=0,x=-1,x=4); (2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4); (3)2y2-y-1=0. 【师生活动】 学生独立完成并回答,教师点评. 设计意图 通过做一做让学生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念. 知识拓展 1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个 未知数;(3)未知数的最高次数是 2.同时要注意二次项系数不能为 0. 2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为 0,左边是关于未知数的二次整式. 3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要 先化成一般形式,并且都包括前边的符号. 4.判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法:将这个数值代入一元二次方程,如果 方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根. 5.如果已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系 数的值,整体思想是常用的数学思想. 1.一元二次方程概念需要满足三个条件: (1)是整式方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0),易错点是忽略强调a0. 3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号. 4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 5.根据实际问题列一元二次方程的关键是读懂题意,找到题目中的等量关系. 6.本节课用到了类比思想、整体思想解决数学问题. 1.在下列方程中,一元二次方程的个数是 ( ) 2x2+5=0;ax2+bx+c=0;(x-1)(x+2)=x2-1;3x2-=0;x2-1=x. A.2 个B.3 个 C.4 个D.5 个 解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是 2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为 0.满足条件,中二次项系数可能为 0,化简后不含有二次项,不符合定义.故选 B. 2.一元二次方程 7x2-2x=0 的二次项、一次项、常数项依次是( ) A.7x2,2x,0 B.7x2,-2x,无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,0 解析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中ax2是二次项,bx是一次项,c是常数项.所以 该方程中二次项、一次项、常数项依次是 7x2,-2x,0.故选 D. 3.已知x=2 是一元二次方程x2+mx+2=0 的一个解,则m的值是( ) A.-3B.3 C.0 D.0 或 3 解析:把x=2 代入方程,得 4+2m+2=0,解得m=-3.故选 A. 4.若(m-2)=-3 是一元二次方程,则m= . 解析:根据一元二次方程的概念知未知数x的最高次数是 2,且二次项系数不为 0,得 m2-2=2,m-20,解得m=-2.故填-2. 8 5.根据题意填空. (1)如果两个连续奇数的积是 323,求这两个数,如果设其中较小的一个奇数为x,你能列 出求解x的方程吗? ,一般形式为 . (2)如图所示,在宽为 20 m,长 30 m 的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分 作为耕地,要使耕地的面积为 500 m2,若设路宽为x m,则可列方程为 ,一般形式为 . 解析:(1)根据两个奇数的积是 323,列方程,得x(x+2)=323,化简,得x2+2x-323=0;(2) 将两条道路平移到矩形的边上,矩形的长为(30-x)m,宽为(20-x)m,根据余下的耕地面积为 500 m2,列方程,得(20-x)(30-x)=500,化简,得x2-50x+100=0. 答案:(1)x(x+2)=323 x2+2x-323=0 (2)(20-x)(30-x)=500 x2-50x+100=0 24.1 一元二次方程 共同探究一 教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型 共同探究二 共同归纳概念 共同探究三 一元二次方程的一般形式 共同探究四 一元二次方程的根 一、教材作业 【必做题】 教材第 36 页习题 A 组第 1,2,3 题. 【选做题】 教材第 36 页习题 B 组第 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列方程为一元二次方程的是( ) A.1-x2=0 B.2(x2-1)=3y C.-=0 D.(x-3)2=(x+3)2 2.已知x=-1 是方程ax2+bx+c=0 的一个根,则等于 ( ) A.1 B.-1C.0 D.2 3.关于x的方程xm-3-2x+1=0 是一元二次方程,则m= . 4.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0 的常数项为 0,则m的值为 . 5.已知x=1 是一元二次方程x2+ax+b=0 的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 . 6.如图所示,某小区规划在一个长 30 m,宽 20 m 的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道, 使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78 m2,那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为x m,由题意列方程得 . 9 7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数. (1)(2x-1)2=7; (2)3x2+5(2x+1)=0. 【能力提升】 8.若关于x的方程(k2-4)x2+x+5=0 是一元二次方程,则k的取值范围是 . 9.已知x=2 是关于x的方程x2-2a=0 的一个解,则一次函数y=ax-1 的图像不经过第 象限. 10.(2015菏泽中考)已知m是方程x2-x-1=0 的一个根,求m(m+1)2-m2(m+3)+4 的值. 【拓展探究】 11.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)x为何值时,此方程是一元一次方程? (2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及 常数项. 【答案与解析】 1.A(解析:B 中含有两个未知数,C 中方程不是整式方程,D 中方程化简后不含有x的二次项, 只有 A 符合一元二次方程定义.故选 A.) 2.A(解析:把x=-1 代入方程可得a-b+c=0,a+c=b, = =1,故选 A.) 3.5(解析:根据一元二次方程的定义可得m-3=2,解得m=5,故填 5.) 4.-1(解析:由题意得所以m=-1,故填-1.) 5.1(解析:把x=1 代入方程可得 1+a+b=0,a+b=-1,a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1,故填 1.) 6.(30-2x)(20-x)=678(解析:设道路的宽为x m,将 6 块草地平移为一个长方形,长为(30- 2x) m,宽为(20-x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30-2x)(20-x)=678.) 7.解:(1)2x2-2x-3=0,二次项系数为 2,一次项系数为-2,常数项为-3. (2)3x2+10x+5=0,二 次项系数为 3,一次项系数为 10,常数项为 5. 8.k1 且k2(解析:一元二次方程满足二次项系数不为 0,该题易忽略考虑二次根式的被 开方数为非负值.) 9.二(解析:把x=2 代入方程可得a=3,所以一次函数为y=3x-1,函数图像过第一、三、四象 限,故填二.) 10.解:m是方程x2-x-1=0 的一个根,m2-m=1,m(m+1)2-m2(m+3)+4=-m2+m+4=-(m2-m) +4=-1+4=3. 11.解:(1)由题意得即m=1 时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0 是一元一次方程-2x+1=0. (2)由 题意得m2-10,即m1 时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0 是一元二次方程.此方程的二次项 系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m. 因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,教学中力求体现“问题情景数学模 型概念归纳”的模式.类比一元一次方程的有关概念,通过自主学习、小组交流、共同 归纳、练习检测等环节让学生在愉悦的课堂上掌握了本节课的重点,学生在课堂中发挥主体 作用,让数学课堂有了生命力,在本节课,大多数学生能体验成功的快乐,激发了学生学习兴 趣.在练习中学生经历由浅入深,由易到难的过程,提高了学生分析问题、解决问题的能力, 同时渗透了数学建模思想、整体思想在数学中的应用,使学生的数学思维和数学能力得到提 高. 10 在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导 不到位,比如实际问题中建立数学模型时,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学 生提高分析问题的能力.本节课虽采取了学生自主学习、共同探究的方法,但是还是没有放 开手脚,教师还是急于解决下边的问题,给学生思考、交流的时间还不是很充足,应该把课堂 大胆交给学生,让学生亲身经历知识形成过程,加深对知识的理解和掌握. 本章内容的难点为一元二次方程的应用,在引出一元二次方程的有关概念时,通过创设 实际情景,建立一元二次方程的模型,通过观察方程特点,类比一元一次方程的有关概念得出 新概念,学生在实际问题中建立数学模型时,教师应给足够的时间交流、探究.在学习一元二 次方程概念时,大胆放手,让学生通过自主学习,理解掌握有关概念,体会类比思想在数学中 的应用,真正让学生在课堂上动起来. 练习(教材第 35 页) 1.解:(1)是,二次项系数为 2;一次项系数为 1;常数项为-1. (2)不是. (3)是,二次项系数 为 3;一次项系数为 0;常数项为-12. (4)是,二次项系数为 1;一次项系数为-2;常数项为-1. 2.解:根据题意,得(40-4x)(60-2x)=800. 习题(教材第 36 页) A 组 1.解:如下表所示: 题号一般形式二次项一次项常数项 (1)x2-121=0x20-121 (2)x2-2x-11=0x2-2x-11 (3)x2-x-2=0x2-x-2 (4) 6x2-7x-21=06x2-7x-21 2.解:设小亮为x岁,则小丽为(x+1)岁,可列方程x(x+1)=210;设小丽为x岁,则小亮为(x-1)岁, 可列方程x(x-1)=210.化简两个方程,得x2+x-210=0,x2-x-210=0,都是一元二次方程. 3.解:因为直角三角形的三条边长是三个连续整数,所以两条直角边长分别为x-1,x-2.根据 题意,得(x-2)2+(x-1)2=x2,整理,得x2-6x+5=0. B 组 1.解:当a-10,即a1 时,该方程为关于x的一元二次方程. 2.解:当v0=25 m/s,g=10 m/s2,h=20 m 时,可得关于t的方程 20=25t-10t2,即 20=25t-5t2,整 理得t2-5t+4=0. 建立数学模型,类比归纳概念 1.一元二次方程是初中数学的重要模型,它与生活实际息息相关,所以以生活实际问题 为背景导入新课,体会数学来源于生活,又应用到生活中去,激发学生学习兴趣.通过分析生 活实际问题中的等量关系,构建方程模型,通过观察所得方程,很自然引出了本节课的课题即 本节课的重点. 2.类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让 学生通过自主学习、小组交流方式探究新知识,重难点基本能够解决,教师适时点拨即可让 学生掌握重难点. 3.本节课重难点、易错点的掌握通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养 竞争意识,激发学习兴趣,教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐 中掌握知识.整体思想及学过的知识与本节课的重点结合成为了本节课的一个难点,在习题 的设计上要难易适中,有适当的梯度,尊重学生差异,对有困难的学生多关注,培养学生综合 能力的提升. 11 已知是方程x2-2016x+1=0 的一个根,试求2-2015+的值. 解析 因为是方程x2-2016x+1=0 的一个根,所以2-2016+1=0,即2- 2016=-1,2+1=2016,将所求代数式化简,整体代入法可求代数式的值.注意化简时转化 成与2-2016,2+1 有关的代数式. 解:由题意可得2-2016+1=0,2-2016=-1,2+1=2016, 2-2015+=2-2016+ =-1+=-1+ =-1+=-1+2016=2015. 24.2 解一元二次方程 1.能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会根据方程的不同特点,灵活选用恰当的方法解方程. 3.不解方程,会判断一元二次方程根的情况. 4.能利用一元二次方程解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力. 1.在探究一元二次方程的解法过程中,体会转化、降次、分类等数学思想在数学中的应 用. 2.参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,培养学生观察和总结的 能力,发展数学思维. 3.通过正确、熟练地解一元二次方程,提高学生的综合运算能力. 1.通过对一元二次方程解法的探究,感受数学的严谨性,培养学生的数学建模意识和合 情推理能力. 2.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识. 3.由生活实际问题抽象出一元二次方程,培养学生的数学建模意识及数学应用意识,激 发学生的学习兴趣. 第课时 1.会根据平方根的定义解简单一元二次方程. 2.知道形如(ax+b)2=p的方程可以用直接开平方法求解. 3.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程. 4.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力. 12 1.通过对比、转化,总结得出配方法的解题步骤,提高学生的推理能力. 2.经历探索用配方法解一元二次方程的步骤,体验数学发现的过程,感悟转化思想在解 一元二次方程中的运用. 3.通过用配方法熟练地解一元二次方程,培养学生的运算技巧,提高学生的计算能力. 1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神. 2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学 习的兴趣和自信心. 3.通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及 数学结论的确定性. 4.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增 强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣. 【重点】 利用配方法解简单的一元二次方程. 【难点】 通过配方把一元二次方程转化为(x+m)2=n(n0)的形式. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P3739. 导入一: 【课件展示】 一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完 10 个同样 的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗? 【师生活动】 学生思考,教师引导回答下列问题: (1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为 dm2; (2)题目中的等量关系为 ;因此,根据题意可列方程 ;化简可得 . 【师生活动】 学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨. 追问:如何解这个方程?5 和-5 是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗? (棱长不能为负数,所以正方体的棱长为 5 dm) 【课件展示】 解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为 6x2 dm2. 根据题意,得 106x2=1500,整理,得x2=25, 根据平方根的意义,得x=5. 即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去). 答:其中一个盒子的棱长为 5 dm. 导入二: 1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质? 2.计算:9 的平方根是 ,的平方根是 . 3.若x2=36,则x的值是 . 13 4.什么是完全平方公式? 【师生活动】 共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式. 设计意图 由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学 生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下 基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问 题. 过渡语 我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方 程,让我们尝试解这些方程吧. 试着做做 【课件展示】 1.根据平方根的意义,解下列方程: (1)x2=4; (2)(x+1)2=4. 【师生活动】 学生独立思考回答,教师规范书写. 解:(1)根据平方根的意义得x=2, x1=2,x2=-2. (2)根据平方根的意义得x+1=2, x+1=2 或x+1=-2, x1=1,x2=-3. 【思考】 方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一 元二次方程? (方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n,其中n0) 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳. 【课件展示】 2.解下列方程: (1)x2+2x+1=4; (2)x2+2x-3=0. 教师引导分析,思考下列问题并回答: (1)方程(2)与方程(1)的区别是什么? (方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式) (2)把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同? (移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加 1 可以化成与(1)的左边相同) (3)能不能配方后解方程? (配方后用直接开平方法可以求解) 【师生活动】 学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板 书解题过程,教师点评. 解:(1)原方程可化为(x+1)2=4, x+1=2,x+1=2 或x+1=-2, x1=1,x2=-3. (2)原方程可化为x2+2x+1=4, 即(x+1)2=4, x+1=2,x+1=2 或x+1=-2, 14 x1=1,x2=-3. 追加提问:通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么? 【师生活动】 学生思考,教师提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2 或x+1=-2,方程 的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想. (“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程 “降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的) 设计意图 通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的 衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习 (1)和(2)两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进 行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程. 做一做 【课件展示】 先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n0)的形式,再求出方程的 根. (1)x2+2x=48; (2)x2-4x=12; (3)x2-6x+5=0; (4)x2+x-=0. 思路一 【课件展示】 根据完全平方公式填空: (1)x2+2x+( )2=(x+ )2; (2)x2-4x+( )2=(x- )2; (3)x2-6x+( )2=( )2; (4)x2+x+( )2=( )2. 【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当 一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性. 【思考】 1.当二次项系数为 1 时,配方时常数项和一次项系数之间有什么关系? (当完全平方式的二次项为 1 时,常数项是一次项系数一半的平方) 2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式? 3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代 表展示,教师点评过程中强调易错点. 解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49, 即(x+1)2=49, x+1=7,x+1=7 或x+1=-7, x1=6,x2=-8. (2)原方程可化为x2-4x+4=16, 即(x-2)2=16, x-2=4,x-2=4 或x-2=-4, x1=6,x2=-2. (3)原方程可化为x2-6x+9=4, 即(x-3)2=4, x-3=2,x-3=2 或x-3=-2, x1=5,x2=1. 15 (4)原方程可化为x2+x+=1, 即=1, x+=1,x+=1 或x+=-1, x1=,x2=-. 设计意图 通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为 1 时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养 学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方 程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫. 思路二 【思考】 1.观察方程(1)和(2),你能否将方程左边配成完全平方形式? 2.方程(1)(2)左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立? 3.方程(3)(4)怎样转化成方程(1)(2)的形式? 4.你能将方程(3)(4)的左边化成完全平方形式吗? 5.请你尝试求出以上方程的解. 【师生活动】 学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过 程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评. 解决过程同思路一. 设计意图 通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程 的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习 惯的目的. 归纳总结: 【课件展示】 通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常 数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法. 【思考】 你能归纳出配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤吗? 【师生活动】 小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结. 【课件展示】 配方法解一元二次方程的步骤: (1)移项(常数项移到方程右边); (2)配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方); (3)开平方; (4)解出方程的根. 设计意图 通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力. 例题讲解 【课件展示】 用配方法解下列方程: (1)x2-10x-11=0; (2)x2+2x-1=0; 【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确 率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生. 解:(1)移项,得x2-10x=11. 配方,得x2-10x+52=11+52, 16 即(x-5)2=36. 两边开平方,得x-5=6. 所以x1=11,x2=-1. (2)移项,得x2+2x=1. 配方,得x2+2x+12=1+12, 即(x+1)2=2, 两边开平方,得x+1=. 所以x1=-1+,x2=-1-. 设计意图 通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学 生的计算能力,培养学生的竞争意识. 做一做: 【课件展示】 对于方程 2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢? 教师引导分析: (1)该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方? (观察方程移项后,二次项系数不为 1,所以不能直接配方) (2)观察该方程和上边方程有什么区别? (二次项系数不为 1) (3)如何把二次项系数化为 1? (根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得) (4)根据上边的分析,尝试完成解方程. 【师生活动】 小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当 提示. 小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨. 解:移项,得 2x2+4x=-1, 二次项系数化为 1,得x2+2x=-, 配方,得x2+2x+1=-+1, (x+1)2=,x+1=, x1=-1+,x2=-1-. 思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 设计意图 几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的 过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归 纳总结能力. 【课件展示】 用配方法解方程:2x2+3=6x. 【师生活动】 学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生. 解:移项,并将二次项系数化为 1, 得x2-3x=-. 配方,得x2-3x+-, 即. 两边开平方,得x-=. 所以x1=,x2=. 知识拓展 1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(ax+b)2=c(c0)的一 元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果. 3.方程(ax+b)2=c中,当c0 的 情况,她是这样做的: 由于a0,方程ax2+bx+c=0 变形为: x2+x=-,第一步 x2+x+=-,第二步 ,第三步 x+(b2-4ac0),第四步 19 x=,第五步 嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0 时,方程ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式是 . 用配方法解方程:x2-2x-24=0. 【答案与解析】 1.C(解析:直接开平方得x+1=3,即x+1=3 或x+1=-3,x=2 或x=-4.) 2.D(移项,得x2-6x=10,配方,得x2-6x+9=19,即(x-3)2=19,故选 D.) 3.x1=9,x2=-3(解析:系数化为 1,得(x-3)2=36,直接开平方,得x-3=6,x-3=6 或x-3=- 6,x1=9,x2=-3.) 4.x1=1,x2=-5(解析:移项,得x2+4x=5,两边同时加 4,得x2+4x+4=9,配方得(x+2)2=9,x+2=3 或x+2=-3,x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.) 5.-2(解析:由题意可得x2-4=0,解得x=2,又分母不为 0,x-20,x=-2,故填-2.) 6.解:(1)移项,得 3x2=,系数化为 1,得x2=,x1=,x2=-. (2)移项,得 12(3-2x)2=3,两边都 除以 12,得(3-2x)2=,3-2x=,即 3-2x=或 3-2x=-,x1=,x2=.(3) x2+6x=5,x2+6x+9=5+9,(x+3)2=14,x+3=,x1=-3,x2=-3. (4)x2-2x=-3,x2- 2x+3=0,(x-)2=0,x1=x2=. (5)3x2+2x=1,x2+x=,x2+x+,x+=,x1=,x2=-1. 7.2(解析:由题意得x2-x-2=0,解方程得x1=-1,x2=2,又x2-10,x=2,故填 2.) 8.证明:x2+8x+17=(x+4)2+1,(x+4)20,(x+4)2+11,x2+8x+17 的值恒大于 0. 9.解:设x秒后 PBQ的面积等于 8 cm2,则PB=x cm,BQ=2x cm,依题意,得x2x=8,所以 x2=8,根据平方根的意义,得x=2,即x1=2,x2=-2.可以验证,2 和-2 都是方程x2x=8 的根, 但是移动时间不能是负值.所以 2 秒后 PBQ的面积等于 8 cm2. 10.解:四 x= 移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25,开方得x-1=5,x1=6,x2=-4. 本节课以生活实例和复习平方根的有关概念导入新课,让学生体会生活中处处有数学, 激发学生学习兴趣,开平方及完全平方式是学习配方法的基础,通过复习为本节课的学习做 好铺垫.综合运用探究式、启发式、活动式等方法进行教学,遵循因材施教,循序渐进原则, 以问题形式呈现,学生通过思考、交流、探究、展示、归纳等活动,发展学生分析问题、解 决问题的能力.学生活动多以小组讨论、共同探究为主,学生在课堂上比较活跃,积极参与, 给数学课注入了生命活力.本节课知识的归纳总结是学生在老师的引导下完成,培养了学生 的归纳总结能力,同时学生的数学思维得到了培养. 本节课在师生共同探究中完成,在探究活动中有些学生参与意识不强,尤其在小组内交 流的知识有难度时,部分学生无从下手的感觉,比如探究完全平方式一次项系数与常数项之 间的关系,以及二次项系数不为 1 时,如何用配方法解方程时,教师应及时引导,将问题难度 降低,激发学生学习热情.另一方面,对易错点的强调还存在不足之处,应让学生自己归纳易 错点,加深印象. 本节课的主要内容是探究配方法解一元二次方程,整体设计由浅入深,层层递进,先由平 方根的概念解特殊的一元二次方程,再通过探究二次项系数为 1 的二次三项式配成完全平方 式,很自然地探究二次项系数为 1 的一元二次方程的解法,最后探究二次项系数不为 1 的一 20 元二次方程的解法,教师引导学生用转化思想转化成二次项系数不为 1 的一元二次方程求解,学 生在