高考数学圆锥线概念曲方法题型易误点技巧总结学生版.doc

新思维学校 l3数学 老杨整理 l3成功法则：目标+兴趣+信心+方法+勤奋=成功高考数学圆锥线概念、方法、题型、易误点、技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点f，f的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段ff，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点f，f的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|ff|，定义中的“绝对值”与|ff|不可忽视。若|ff|，则轨迹是以f，f为端点的两条射线，若|ff|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。练习：1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点p的轨迹中是椭圆的是a b c d2. 方程表示的曲线是_3. 已知点及抛物线上一动点p（x,y）,则y+|pq|的最小值是_二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。练习：1. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_2. 若，且，则的最大值是_，的最小值是_3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_4. 设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线c过点，则c的方程为_5. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ 三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点f，f的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2） 在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。四.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。（2） 双曲线（以（）为例）：范围：或，焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。 （3） 抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。练习：1. 若椭圆的离心率，则的值是_2. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ 3. 双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_4. 双曲线的离心率为，则=5. 设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_6. 设，则抛物线的焦点坐标为_五、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内六直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2） 过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；p为原点时不存在这样的直线； （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.练习：1. 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_2. 直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_3. 过双曲线的右焦点直线交双曲线于a、b两点，若ab4，则这样的直线有_条4. 过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_5. 过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_6. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于a、b两点，若4，则满足条件的直线有_7. 对于抛物线c：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线c的位置关系是_8. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与fq的长分别是、，则_9. 设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为_10. 求椭圆上的点到直线的最短距离11. 直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以ab为直径的圆过坐标原点？七、焦半径（圆锥曲线上的点p到焦点f的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示p到与f所对应的准线的距离。练习：1. 已知椭圆上一点p到椭圆左焦点的距离为3，则点p到右准线的距离为_2.已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；3.若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_4. 点p在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点p的横坐标为_5. 抛物线上的两点a、b到焦点的距离和是5，则线段ab的中点到轴的距离为_6. 椭圆内有一点，f为右焦点，在椭圆上有一点m，使 之值最小，则点m的坐标为_8、 焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：；。练习：1. 短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于a、b两点，则的周长为_2.设p是等轴双曲线右支上一点，f1、f2是左右焦点，若，|pf1|=6，则该双曲线的方程为 3.椭圆的焦点为f1、f2，点p为椭圆上的动点，当0时，点p的横坐标的取值范围是4. 双曲线的虚轴长为4，离心率e，f1、f2是它的左右焦点，若过f1的直线与双曲线的左支交于a、b两点，且是与等差中项，则_5. 已知双曲线的离心率为2，f1、f2是左右焦点，p为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设ab为焦点弦， m为准线与x轴的交点，则amfbmf；（3）设ab为焦点弦，a、b在准线上的射影分别为a，b，若p为ab的中点，则papb；（4）若ao的延长线交准线于c，则bc平行于x轴，反之，若过b点平行于x轴的直线交准线于c点，则a，o，c三点共线。十、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点a、b，且分别为a、b的横坐标，则，若分别为a、b的纵坐标，则；若弦ab所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：1. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|ab|等于_2. 过抛物线焦点的直线交抛物线于a、b两点，已知|ab|=10，o为坐标原点，则abc重心的横坐标为_十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。练习：1. 如果椭圆弦被点a（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 2. 已知直线y=x+1与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线l：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！十二你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为ab，则；（7）若oa、ob是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦，则直线ab恒经过定点十三动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点p到定点f(1,0)和直线的距离之和等于4，求p的轨迹方程待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段ab过x轴正半轴上一点m（m，0），端点a、b到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过a、o、b三点作抛物线，则此抛物线方程为定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点p向圆作两条切线pa、pb，切点分别为a、b，apb=600，则动点p的轨迹方程为；（2） 点m与点f(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点m的轨迹方程是_ ； (3) 一动圆与两圆m：和n：都外切，则动圆圆心的轨迹为；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点p是抛物线上任一点，定点为,点m分所成的比为2，则m的轨迹方程为_；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）ab是圆o的直径，且|ab|=2a，m为圆上一动点，作mnab，垂足为n，在om上取点，使，求点的轨迹。 若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_ （3）过抛物线的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程是_注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是f1（c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t在线段f2q上，并且满足（1） 设为点p的横坐标，证明；（2）求点t的轨迹c的方程； （3）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使f1mf2的面积s=若存在，求f1mf2的正切值；若不存在，请说明理由. 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,（8）给出,等于已知是的平分线/（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例1. 已知点a（3，2），f（2，0），双曲线，p为双曲线上一点。求的最小值。 解析：如图所示， 二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例2. 求共焦点f、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点f到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为m（t，0）（t为参数） 三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。 四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例4. 已知圆和直线的交点为p、q，则的值为_。 五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例5. 已知椭圆：，直线：，p是上一点，射线op交椭圆于一点r，点q在op上且满足，当点p在上移动时，求点q的轨迹方程。 分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6. 求经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例7. 过点a（2，1）的直线与双曲线相交于两点p1、p2，求线段p1p2中点的轨迹方程。解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点t是半圆o的直径ab上一点，ab=2、ot=t (0t1)，以ab为直腰作直角梯形，使垂直且等于at，使