2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

2017 年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， B=y|y=|x| 3， x A，则 A B=（ ） A 2， 1， 0 B 1， 0， 1， 2 C 2， 1， 0 D 1， 0， 1 2已知 =1+中 a， b 是实数， i 是虚数单位，则 a+b=（ ） A 0 B 1 C 2 D 1 3 “直线 y=x+b 与圆 x2+ 相交 ”是 “0 b 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充 分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4在等差数列 ，若 a6+a8+2，则 2值为（ ） A 20 B 22 C 24 D 28 5中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的 x=2， n=2，依次输入的 a 为 3， 3， 7，则输出的 s=（ ） A 9 B 21 C 25 D 34 6已知 2+ + ）的值为（ ） A 3 B 3 C 3 或 3 D 1 或 3 7设函数 f（ x）是 定义在 R 上的奇函数，且 f（ x） = ，则 g（ 8） =（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 8已知双曲线 E： =1（ a 0 b 0），若矩形 四个顶点在 E 上，中点为双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率是 2直线 斜率为 k则 |k|等于（ ） A 2 B C D 3 9如图所示，三棱锥 V 底面是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面 底面 直，若以垂直于平面 方向作为正视图的方向，垂直于平面 方向为俯视图的方向，已知其正视图的面积为 2 ，则其侧视图的面积是（ ） A B C 2 D 3 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=a（ 0 a A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8，则 f（ x）的单调递减区间是（ ） A 66（ k Z） B 63， 6 k Z） C 6k， 6k+3（ k Z） D 6k 3， 6k（ k Z） 11如图所示，在正方体 ， ， ，直线 直线 ，直线 平面 成的角为 ，则 ） =（ ） A B C D 12已知 x=1 是函数 f（ x） =a 0， b R）的一个极值点，则 b 1 的大小关系是（ ） A b 1 B b 1 C b 1 D以上都不对 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ ， 1）， =（ +2， 1），若 | + |=| |，则实数 = 14在区间（ 0， 6）上随机取一个实数 x，则满足 值介于 1 到 2 之间的概率为 15由约束条件 ，确定的可行域 D 能被半径为 的圆面完全覆盖，则实数 k 的取值范围是 16在数列 ， =an+， =an+， ，设 ，则数列 前 2017 项和为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 （ ）求角 B 的大小； （ ）点 D 为边 的一点，记 ，若 ， ， ， a= ，求 b 的值 18全世界人们越来越关注环 境保护问题，某监测站点于 2016 年 8 月某日起连续 n 天监测空气质量指数（ 数据统计如下： 空气质量指数（ g/间 0， 50） 50，100） 100，150） 150，200） 200，250） 空间质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （ 1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n， m 的值，并完成频率分布直方图； （ 2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数； （ 3）在空气质量指数分别属于 50， 100）和 150， 200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取 5 天，再从中任意选取 2 天，求事件 A”两天空气都为良 “发生的概率 19如图，空间几何体 ，四边形 梯形，四边形 矩形，且平面 平面 D=， ， M 是线段 的动点 （ 1）求证： （ 2）试确定点 M 的位置，使 平面 说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，求空间几何体 体积 20已知抛物线 y，过动点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A， B，且 2 （ ）求点 P 的轨迹方程； （ ）试问直线 否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由 21已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2a R） （ 1）若曲线 g（ x） =f（ x） +x 上点（ 1， g（ 1）处的切线过点（ 0， 2），求函数g（ x）的单调减区间； （ 2）若函数 y=f（ x）在 上无零点，求 a 的最小值 四、选做题 22在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标 方程为 + ） =4 （ 1）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （ 2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 选做题 23已知函数 f（ x） = 的定义域为 R （ ）求实数 a 的取值范围； （ ）若 a 的最大值为 k，且 m+n=2k（ m 0， n 0），求证： + 3 2017 年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， B=y|y=|x| 3， x A，则 A B=（ ） A 2， 1， 0 B 1， 0， 1， 2 C 2， 1， 0 D 1， 0， 1 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 把 A 中元素代入 y=|x| 3 中计算求出 y 的值，确定出 B，找出 A 与 【解答】 解：把 x= 2， 1， 0， 1， 2， 3，分别代入 y=|x| 3 得： y= 3， 2， 1， 0，即 B= 3， 2， 1， 0， A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， A B= 2， 1， 0， 故选： C 2已知 =1+中 a， b 是实数， i 是虚数单位 ，则 a+b=（ ） A 0 B 1 C 2 D 1 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出 a， b 的值，则答案可求 【解答】 解： =1+ a+i=i b， a= b， a+b=0， 故选： A 3 “直线 y=x+b 与圆 x2+ 相交 ”是 “0 b 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】 直线 y=x+b 与圆 x2+ 相交，可得（ 0， b）在圆内， 1，求出 1 b 1，即可得出结论 【解答】 解：直线 y=x+b 恒过（ 0， b）， 直线 y=x+b 与圆 x2+ 相交， （ 0， b）在圆内， 1， 1 b 1； 0 b 1 时，（ 0， b）在圆内， 直线 y=x+b 与圆 x2+ 相交 故选： B 4在等差数列 ，若 a6+a8+2，则 2值为（ ） A 20 B 22 C 24 D 28 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】 由等差数列通项公式求出 4， 2（ d）（ 1d）=d=此能求出结果 【解答】 解： 在等差数列 ， a6+a8+2， a6+a8+2， 解得 4， 2（ d）（ 1d） =d=4 故选： C 5中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的 x=2， n=2，依次输入的 a 为 3， 3， 7，则输出的 s=（ ） A 9 B 21 C 25 D 34 【考点】 序框图 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解： 输入的 x=2， n=2， 当输入的 a 为 3 时， S=3， k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的 a 为 3 时， S=9， k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的 a 为 7 时， S=25， k=3，满足退出循环的条件； 故输出的 S 值为 25， 故选： C 6已知 2+ + ）的值为（ ） A 3 B 3 C 3 或 3 D 1 或 3 【考点】 角和与差的正切函数 【分析】 由倍角公式求得 数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可 【解答】 解： 2+ 4+21， 即 2 当 时， ，此时 ， 当 0 时， ，此时 ， 综上所述， + ）的值为 1 或 3 故选： D 7设函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ x） = ，则 g（ 8） =（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 【考点】 3L：函数奇偶性的性质 【分析】 根据题意，设 x 0，则有 x 0，由函数的解析式可得 f（ x） =g（ x），f（ x） = x+1），又由函数 f（ x）的奇偶性，结合函数奇偶性的性质可得g（ x） = x+1），计算 g（ 8）计算可得答案 【解答】 解：根据题意，设 x 0，则有 x 0， 又由 f（ x） = ， 则有 f（ x） =g（ x）， f（ x） = x+1）， 又由函数 f（ x）为奇函数， 则有 g（ x） = x+1）， 故 g（ 8） = （ 8） +1= 2； 故选： A 8已 知双曲线 E： =1（ a 0 b 0），若矩形 四个顶点在 E 上，中点为双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率是 2直线 斜率为 k则 |k|等于（ ） A 2 B C D 3 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 可令 x=c，代入双曲线的方程，求得 y= ，再由题意设出 A， B， C，D 的坐标，由离心率公式，可得 a， b， c 的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：令 x=c，代入双曲线的方程可得 y= b = ， 由题意可设 A（ c， ）， B（ c， ） ， C（ c， ）， D（ c， ）， 由双曲线 E 的离心率是 2，可得 e= =2， 即 c=2a， b= = a， 直线 斜率为 k= = = = 即有 |k|= 故选： B 9如图所示，三棱锥 V 底面是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面 底面 直，若以垂直于平面 方向作为正视图的方向，垂直于平面 方向为俯视图的方向，已知其正视图的面积为 2 ，则其侧视图的面积是（ ） A B C 2 D 3 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 由题意 作 足为 D， 正视图，根据正视图与侧视图的高相等， 结合三棱锥的底面是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，即可求出侧视图的面积 【解答】 解：由题意，作 足为 D，则 正视图， 如图所示 正视图的面积为 2 ， ， ， 作 足为 E， 三棱锥 V 底面是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形， 侧视图的面积是 S 侧视图 = E= D= 故选： B 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=a（ 0 a A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8，则 f（ x）的单调递减区间是（ ） A 66（ k Z） B 63， 6 k Z） C 6k， 6k+3（ k Z） D 6k 3， 6k（ k Z） 【考点】 弦函数的图象 【分析】 由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值从这两个方面考虑可求得参数 、 的值，进而利用三角函数的单调性求区间 【解答】 解：与直线 y=b（ 0 b A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8 知函数的周期为 T= =2（ ），得 = ， 再由五点法作图可得 += ，求得 = ， 函数 f（ x） =x ） 令 2 x 2， k z，解得： 6k+3 x 6k+6， k z， 即 x 6k 3， 6k（ k Z）， 故选： D 11如图所示，在正方体 ， ， ，直线 直线 ，直线 平面 成的角为 ，则 ） =（ ） A B C D 【考点】 线与平面所成的角 【分析】 连接 O，连接 O 作 M，连接 1A， 出 =90，证明 平面 出 ） = 【解答】 解：连接 O，连接 O 作 M，连接 1A， 1C， O 是 中点， B， 四边形 平行四边形， 直线 直线 成 的角为 =90， 平面 直线 平面 成的角 ， ） =， 正方体的棱长 ， ， = ， = ， = 故选 A 12已知 x=1 是函数 f（ x） =a 0， b R）的一个极值点，则 b 1 的大小关系是（ ） A b 1 B b 1 C b 1 D以上都不对 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】 求出 f（ x）的导数得到 b=3a 1，作差令 g（ a） = b 1） =a+2，（ a 0），根据函数的得到求出 g（ a）的最大值小于 0，从而判断出 b 1 的大小即可 【解答】 解： f（ x） =3b ， x=1 是 f（ x）的极值点， f（ 1） =3a b 1=0， 即 3a 1=b， 令 g（ a） = b 1） =3a+2，（ a 0）， 则 g（ a） = 3= ， 令 g（ a） 0，解得： 0 a ， 令 g（ a） 0，解得： a ， 故 g（ a）在（ 0， ）递增，在（ ， + ）递减， 故 g（ a） g（ ） =1 0， 故 b 1， 故选： B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ ， 1）， =（ +2， 1），若 | + |=| |，则实数 = 1 【考点】 9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】 先求得得 和 的坐标，再根据 | + |=| |，求得 的值 【解答】 解：由题意可得 =（ 2+2， 2）， =（ 2， 0）， 再根据 | + |=| |， 可得 = ，解得 = 1， 故答案为： 1 14在区间（ 0， 6）上随机取一个实数 x，则满足 值介于 1 到 2 之间的概率为 【考点】 何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解： 1 2，解得 2 x 4， 则 值介于 1 到 2 之间的概率 P= = ， 故答案为： 15由约束条件 ，确定的可行域 D 能被半径为 的圆面完全覆盖，则实数 k 的取值范围是 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 先画出由约束条件确定的可行域 D，由可行域能被圆覆 盖得到可行域是封闭的，判断出直线 y= 斜率小于等于 即可得出 k 的范围 【解答】 解： 可行域能被圆覆盖， 可行域是封闭的， 作出约束条件 的可行域： 可得 B（ 0， 1）， C（ 1， 0）， | ， 结合图，要使可行域能被 为半径的圆覆盖， 只需直线 y= 与直线 y= 3x+3 的交点坐标在圆的内部， 两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时 k= ， 则实数 k 的取值范围是：（ ， 故答案为： 16在数列 ， =an+， =an+， ，设 ，则数列 前 2017 项和为 4034 【考点】 8H：数列递推式； 8E：数列的求和 【分析】 由 已 知 可 得 +=2 （ an+， a1+ ，= ，即 n 1代入 ，求得数列 常数数列得答案 【解答】 解： =an+， =an+， ， +=2（ an+ a1+ an+n 另一方面： = ， n 1 = = ， 则数列 前 2017 项和 017 2=4034 故答案为： 4034 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 （ ）求角 B 的大小； （ ）点 D 为边 的一点，记 ，若 ， ， ， a= ，求 b 的值 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，结合范围 0 B ，可求 B 的值 （ ）在 ，由正弦定理可得 = ，解得 ，结合 为钝角，利用诱导公式可求 值，在 ，由余弦定理，可得 b 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） ， 可得： ， 0， =， 0 B ， B= 4 分 （ ）在 ， = ， = ， ， 8 分 为钝角， 锐角， ） = = ， 在 ，由余弦定理，可得： b= = = 12 分 18全世界人们越来越关注环境保 护问题，某监测站点于 2016 年 8 月某日起连续 n 天监测空气质量指数（ 数据统计如下： 空气质量指数（ g/间 0， 50） 50，100） 100，150） 150，200） 200，250） 空间质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （ 1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n， m 的值，并完成频率分布直方图； （ 2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数； （ 3）在空气质量指数分别属于 50， 100）和 150， 200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取 5 天，再从中任意选取 2 天，求事件 A”两天空气都为良 “发生的概率 【考点】 举法计算基本事件数及事件发生的概率； 率分布直方图 【分析】 （ 1）利用统计表和频率分布直方图能求出 n， m 的值，并能完成频率分布直方图 （ 2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数 （ 3）空气质量指数为 50， 100）和 150， 200）的监测天数中分布抽取 4 天和 1天，在所抽取的 5 天中，将空气质量指数为 50， 100）的 4 天分别记为 a， b， c，d，将空气质量指数为 150， 200）的 1 天记为 e从中任取 2 天，利用列举法能求出事件 A”两天空气都为良 “发生的概率 【解答】 解：（ 1） 50= ，解得 n=100， 20+40+m+10+5=100，解得 m=25， =， ， 完成频率分布直方图如右图： （ 2）由频率分布直方图知该组数据的平均数为： =25 50+75 50+125 50+ 175 50+225 50=95 0， 50）的频率为 50=50， 100）的频率为 50= 该组数据的中位数为： = （ 3）空气质量指数为 50， 100）和 150， 200）的监测天数中分布抽取 4 天和 1天， 在所抽取的 5 天中，将空气质量指数为 50， 100）的 4 天分别记为 a， b， c， d， 将空气质量指数为 150， 200）的 1 天记为 e 从中任取 2 天的基本事件分别为： （ a， b），（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ b， c），（ b， d），（ b， e），（ c， d），（ c， e），（ d， e），共 10 天， 基其中事件 A“两天空气都为良 ”包含的基本事件为： （ a， b），（ a， c），（ a， d），（ b， c），（ b， d），（ c， d），共 6 天， 事件 A”两天空气都为良 “发生的概率 P（ A） = 19如图，空间几何体 ，四边形 梯形，四边形 矩形，且平面 平面 D=， ， M 是线段 的动点 （ 1）求证： （ 2）试确定点 M 的位置，使 平面 说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，求空间几何体 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积 ； 线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明 （ 2）当 M 是线段 中点时，连结 N，连结 此得到 平面 （ 3）将几何体 成三棱柱 B间几何体 此能求出空间几何体体积 【解答】 证明：（ 1） 四边形 矩形， ， 平面 面 解：（ 2）当 M 是线段 中点时， 平面 证明如下： 连结 N，连结 M、 N 分别是 中点， 面 面 平面 （ 3）将几何体 成三棱柱 B 三棱柱 B体积 V=S D= =8， 空间几何体 体积： 8 = 空间几何体 体积为 20已知抛物线 y，过动点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A， B，且 2 （ ）求点 P 的轨迹方程； （ ）试问直线 否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由 【考点】 物线的简单性质 【分析】 （ ）直线 y y0= x ，代入抛物线方程，得出，同理，有 ， 别为方程： 2 的两个不同的实数根，利用韦达定理求点 P 的 轨迹方程； （ ）求出直线 方程，即可得出结论 【解答】 解：（ ）设 P（ 则直线 y y0=x 代入抛物线方程： 22， 因为直线与抛物线相切，所以 ， 同理，有 ， 所以 别为方程： 2 的两个不同的实数根， 2=2以 1，所以点 P 的轨迹方程为 y= 1 （ ）设 A（ B（ 由 ， y=x，所以抛物线在 A， B 点的切线方程分别为 y ， y ， 又都过点 P（ 1），所以 所以直线 方程为 y+1=0， 所以直线 过定点（ 0， 1） 21已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2a R） （ 1）若曲线 g（ x） =f（ x） +x 上点（ 1， g（ 1）处的切线过点（ 0， 2），求函数g（ x）的单调减区间； （ 2）若函数 y=f（ x）在 上无零点，求 a 的最小值 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 g（ 1） ，求出 a 的值，从而求出 g（ x）的递减区间即可； （ 2）问题转化为对 x （ 0， ）， a 2 恒成立，令 l（ x） =2 ， x （ 0， ），根据函数的单调性求出 a 的最小值即可 【解答】 解：（ 1） g（ x） =（ 3 a） x（ 2 a） 2 g（ x） =3 a ， g（ 1） =1 a， 又 g（ 1） =1， 1 a= = 1，解得： a=2， 由 g（ x） =3 2 = 0，解得： 0 x 2， 函数 g（ x）在（ 0， 2）递减； （ 2） f（ x） 0 在（ 0， ）恒成立不可能， 故要使 f（ x）在（ 0， ）无零点 ，只需任意 x （ 0， ）， f（ x） 0 恒成立， 即对 x