解析几何题库及答案锤子数学.pdf

前言 很多素未相识。想着每个头像后都是一个可爱的人，即使 QQ 满了都舍不得删，缘分这东西 谁说清楚呢，我经常因为一个赞，一个头像而和一个陌生的学生变成好朋友。 解析几何技巧非常多， 从算法到算理， 我花了六年， 研究出了一套非常有效的体系， 经历了： 感觉题目太多方法太杂-总结很多结论（这是误区，也是不归路）-回归解析几何本 质大量做题-总结通性通法-按题型方法分类总结技巧-反复研究发现解析几何 本质规律-教学相长 自成体系-创立解析几何系统突破理论-不敢说理论体系最好 但是敢和全国任何一位老师赛课-8 个小时课可以让绝大部分中等偏下的学生快速做出模 考的任意一个解析几何大题。 （是在说明真实的情况，没有炫耀的意思，毕竟自己也走过弯 路，没什么好吹嘘的） 说实话高考考学生更考老师， 学生只是台前的， 老师教什么很大程度上学生会什么。那些拉 分压轴的题，不是说靠学生悟，多做题就能解决的，幕后都是老师们博弈。 高考前争取给大家上几节网课，我一定会把解析几何以及大家急需的部分，给大家讲清 楚， 高考前争取给大家上几节网课，我一定会把解析几何以及大家急需的部分，给大家讲清 楚，自己那么多年接触数学深有感触， 很多东西研究很久都搞不清楚， 但是听一下这个领域 的大神简单提几句，真是醍醐灌顶，可以少走太多弯路。希望我上课能让大家有这种感觉。 这里选的题目答案都尽量选用原答案，要是用我的方法可能有差异，因为大家没有接触 过，我担心会看不明白。 这里选的题目答案都尽量选用原答案，要是用我的方法可能有差异，因为大家没有接触 过，我担心会看不明白。 最后，高考只有 60 多天。感谢大家信任。 “这深庭后宫，台上台下皆是戏，没有人能置身事外，痛痛快快的唱一出属于自己的“这深庭后宫，台上台下皆是戏，没有人能置身事外，痛痛快快的唱一出属于自己的 好戏吧。莫问前程如何，但求落幕无悔。 ”好戏吧。莫问前程如何，但求落幕无悔。 ” 这是一种回归原点的哲学思考。 我觉得自己是很偏执和专一，也许是偏爱艺术的吧，感性更多，更相信内心的感觉。有 时候，把数学当成了自己的一件艺术品，反复雕琢打磨，于是从中体味到了青春美学，艺术 美学，思念美学，暴力美学，伤痕美学，残缺美学，归寂美学 有时候会问自己，我到 底是在跟谁恋爱？跟数学，还是自己？也许是走下高高在上的讲台，和你们一起，让表达变 成抵达，从心到心，言语不应飘散在空中。教书育人是神圣的，我的顶礼，你看到的就是我 最初的样子 ，我永不后悔，我一步不退，我爱你们，我用生命践行。 锤子数学 花果山 20184 整理 Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 1、已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的右焦点为 F（1，0） ，且点（-1， 2 2 ）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 已知动直线 l 过点 F， 且与椭圆 C 交于 A、 B 两点， 试问 x 轴上是否存在定点 Q， 使得 7 16 QA QB 恒成立？ 若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 解： （1）椭圆的右焦点为 F（1，0） 22 1cab，即 22 1ab 点（-1， 2 2 ）在椭圆 C 上 22 11 1 2ab 由解得： 2 2a ， 2 1b 椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）假设存在满足题述条件的点 Q（m，0） 当直线 l 的斜率不存在时，lx 轴 此时，易得 A（1， 2 2 ） ，B（1， 2 2 ） 则 22 (1,) (1,) 22 QA QBmm 2 17 (1) 216 m 5 4 m 或 3 4 当直线 l 的斜率为 0 时，此时： 易得 A（2，0） ，B（2，0） 则(2,0) (2,0)QA QBmm 2 7 2 16 m 5 4 m 5 4 m 下面证明当 5 4 m 时， 7 16 QA QB 对任意直线 l 恒成立 设直线 l 的方程为(1)yk x 代入椭圆方程化简整理得： 2222 (21)4220kxk xk 2 2 4 21 AB k xx k ， 2 2 22 21 AB k x x k 55 (,) (,) 44 AABB QA QBxyxy 55 ()() 44 ABAB xxy y 2 55 ()()(1)(1) 44 ABAB xxkxx 222 525 (1)()() 416 ABAB kx xkxxk 42 22 22 2(1)5425 () 214 2116 kk kk kk 257 2 1616 综上所述，x 轴上存在点 Q（ 5 4 ，0） ，使得 7 16 QA QB 恒成立 先给大家2 0 个例题。 锤子数学整理汇编 Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 2、已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的两个焦点分别为 F1、F2，且|F1F2|=2，点 P 在椭圆上，且 PF 1F2的周 长为 6 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 P 的坐标为（2，1） ，不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，设线段 AB 的中点为 M，点 P 到直线 l 的距离为 d，且 M、O、P 三点共线求 22 1213 | 1316 ABd 的最大值。 解： （1）PF1F2的周长为 6，且|F1F2|=2 |PF1|+|PF2|=4 由抛物线定义知，椭圆 C 的长轴长为 4 a=2 由|F1F2|=2 知，c=1 222 4 13bac 椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy （2）当直线 l 与 x 轴垂直时，由椭圆的对称性知，点 M 在 x 轴上，而直线 l 又不过原点 O，所以点 M、O、 P 不可能在同一直线上 故可设直线 l 的方程为ykxm（m0） 代入椭圆方程化简整理得： 222 (43)84120kxkmxm 则 2222 644(43)(412)0k mkm 得 22 430km 2 8 43 AB km xx k ， 2 2 412 43 AB m x x k 2 6 ()2 43 ABAB m yyk xxm k M 是 AB 的中点 2 4 243 AB M xxkm x k 2 3 243 AB M yym y k 点 M 在直线 OP： 1 2 yx 上 222 3142 432 4343 mkmkm kkk 3 2 k 由 22 430km得：m（2 3，2 3） AB xxm， 2 3 3 AB m x x 且直线 l 的方程为3220xym |AB|2= 22 ()() ABAB xxyy 22 (1)() AB kxx 2 13( )4 4 ABAB xxx x 2 13 (12) 12 m 2 22 |3 222|(82 ) 1394 mm d 22 1213 | 1316 ABd 2 2 (4) 12 4 m m 2 3 216 4 mm 2 3452 () 433 m 当 4 3 m 时， 22 1213 | 1316 ABd 的最大值为 52 3 B d O x y A C l P M 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 3、 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0） 的左、 右焦点分别为 F1、 F2， 点 B （0，3） 为短轴的一个端点， OF 2B=60 （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，过右焦点 F2，且斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线 AE、 AF 分别交直线 x=3 于点 M、N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2的斜率为 k求证：kk为定值 解： （1）点 B（0，3）为短轴的一个端点 3b ，即|OB|=3 OF2B=60 2 22 |3 tan3 | OB OF B OFOF | OF2|=1，即 c=1 222 3 14abc 椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy （2）由（1）知，F2（1，0） ，A（2，0） 设直线 l 的方程为(1)yk x 代入椭圆方程化简整理得： 2222 (43)84120kxk xk 2 2 8 43 EF k xx k ， 2 2 412 43 EF k x x k 0(1) 22 EE AE EE yk x k xx 直线 AE 的方程为 (1) (2) 2 E E k x yx x 当 x=3 时， (1) 2 E E k x y x M（3， (1) 2 E E k x x ） 同理可得，N（3， (1) 2 F F k x x ） P 为 MN 的中点 P（3， 11 () 222 EF EF xxk xx ） 11 () 222 3 1 EF EF xxk xx k 11 () 422 EF EF xxk xx 2 11 () 422 EF EF xxk k k xx 2 23()4 42()4 EFEF EFEF x xxxk x xxx 22 2 22 22 22 82424 4 4343 412164 4 4343 kk k kk kk kk 2 2 3 4 k k 3 4 kk为定值，此定值为 3 4 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 4、在矩形 ABCD 中，|AB|=23，|AD|=2，E、F、G、H 分别为矩形 四条边的中点，以 HF、GE 所在直线分别为 x、y 轴建立直角坐标系， 如图所示。若 R、R分别在线段 OF、CF 上，且 |1 | ORCR OFCFn （1）求证：直线 ER 与 GR的交点在椭圆 ： 2 2 1 3 x y上； （2）若 M、N 为椭圆 上的两点，且直线 GM 与直线 GN 的斜率之 积为 2 3 ，求证：直线 MN 过定点，并求GMN 面积的最大值。 解： （1）由题意可得：|OF|=3，|CF|=1 |1 | ORCR OFCFn |OR|= 3 n ，|CR|= 1 n R（ 3 n ，0） ，R（3，1- 1 n ） E（0，-1） ，G（0，1） 直线 ER 的方程为 1 3 n yx 直线 GR的方程为 1 1 3 yx n 联立两方程解得：交点 P（ 2 2 3 1 n n ， 2 2 1 1 n n ） 代入椭圆 的方程得： 22222 222222 112(1)(1) 1 3 (1)(1)(1) nnn nnn 直线 ER 与 GR的交点 P 在椭圆 上 （2）当直线 MN 的斜率不存在时，则 MN xx， MN yy 则 1111 NMMM GMGN MNMM yyyy kk xxxx 2 2 112 33 M M y x ，与题设不符 设直线 MN 的方程为ykxb 代入椭圆方程化简整理得： 222 (31)6330kxkbxb 由0 得： 22 310kb 2 6 31 MN kb xx k ， 2 2 33 31 MN b x x k 1() 11 NMNMNM GMGN MNMN yy yyyy kk xxx x 22 (1)()21 MNMN MN k x xk bxxbb x x 12 3(1)3 b b 3b 直线 MN 的方程为3ykx 故，直线 MN 过定点（0，-3） 2 18 31 MN k xx k ， 2 24 31 MN x x k |MN|= 22 (1)() MN kxx 22 (1)()4 MNMN kxxx x 22 22 3(1)(38) 2 (31) kk k 点G到直线MN的距离为 22 | 1 3|4 11 d kk SGMN 22 22 2 13(1)(38)4 2 2(31) 1 kk k k 2 2 111 4 39() 311836k 由 22 310kb 得， 2 8 3 k 当 2 17 3 k 时，GMN 面积的最大值为 2 3 3 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 5、已知 F1、F2分别为椭圆 C1： 22 22 1 xy ba （ab0）的上下焦点，其 F1是抛 物线 C2： 2 4xy的焦点，点 M 是 C1与 C2在第二象限的交点，且|MF1|= 5 3 （1）试求椭圆 C1的方程； （2）与圆 22 (1)1xy相切的直线 l：()yk xt（t0）交椭圆于 A、B 两 点，若椭圆上一点 P 满足OAOBOP ，求实数 的取值范围。 解： （1）由抛物线 C2： 2 4xy得，F1（0，1） 222 1cab 设 M（ 2 , 4 M M x x ） ，由|MF1|= 5 3 得： 2 22 25 (1) 49 M M x x 解得： 2 6 3 M x 或 2 6 3 （舍去） M（ 2 6 3 ， 2 3 ） 代入椭圆方程得： 22 84 1 39ba 由解得： 2 4a ， 2 3b 椭圆 C1的方程为 22 1 34 xy （2）直线 l 与圆 22 (1)1xy相切 2 |1| 1 1 kt k ，得 k=0 或 2 2 1 t k t 当 2 2 1 t k t (t0)时，联立直线 l 与椭圆方程得： 2222 2 (34)63120kxk txk t 2 2 6 34 AB k t xx k 2 8 ()2 34 ABAB kt yyk xxkt k OAOBOP (,)(,) ABABPP xxyyxy 点 P（ 2 2 6 (34) k t k ， 2 8 (34) kt k ） 代入椭圆方程得： 4 22 2 222222 1216 1 (34)(34) k tk t kk 2 24 2 242 44 341 k tt ktt 2 422 44 11113 1() 24ttt 2 0t 42 11 11 tt 2 04 ( 2,0)(0,2) 当 k=0 时，A（3，0） ，B（3，0） ( 3,3)(,) PP OAOBOPxy 点 P（ 3 ， 3 ） 代入椭圆方程得： 22 13 1 4 ，得 7 2 显然， 7 2 在所述区间内 当直线 l 的斜率不存在时，易知 A（1，2 6 3 ） ，B （1， 2 6 3 ）或 A（-1， 2 6 3 ） ，B（-1， 2 6 3 ） ( 2,0)(,) PP OAOBOPxy 点 P（ 2 ，0） 代入椭圆方程得： 2 4 1 3 ，得 2 3 3 显然， 2 3 3 在所述区间内 综上所述， 的取值范围为( 2,0)(0,2) F2 F1 B O x y A M P l C1 C2 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 6、如图，已知抛物线 C： 2 2ypx和圆 M： 22 (4)1xy，过抛物线 C 上一点 H（, oo xy）(yo1)作两条直线 与圆 M 相切于 A、B 两点，分别交抛物线 C 于 E、F 两点，圆心 M 到抛物线准线的距离为17 4 。 （1）求抛物线 C 的方程； （2）当AHB 的角平分线垂直于 x 轴时，求直线 EF 的斜率； （3）若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t，求 t 的最小值。 解： （1）圆心 M 到抛物线准线的距离为17 4 17 4() 24 p ，得 1 2 p 抛物线 C 的方程为 2 yx （2）连接 HM，则 HM 是AHB 的角平分线 HMx 轴 H（4，2） 显然， HEHF kk 22 44 EF EF yy xx 即 22 22 44 EF EF yy yy 4 EF yy 22 11 4 EFEF EF EFEFEF yyyy k xxyyyy （3）设点 H（ 2, oo yy） ，A（, AA xy） ，B（, BB xy） ， 则 2 Ao AH Ao yy k xy ， 4 A AM A y k x AHAM 2 1 4 AoA AoA yyy xyx 即 2222 (4)40 AoAAoAo xyxyy yy 点 A 在圆 M 上 22 8150 AAA xxy 由得： 22 (4)1540 oAoAo yxy yy 同理可得： 22 (4)1540 oBoBo yxy yy 点 A、B 在直线 22 (4)1540 ooo yxy yy上 当0x 时， 15 4 o o yy y 15 4 o o ty y 2 15 40 o t y t 在 yo1 上单调递增 min 4 1511t 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 7、椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0） ，圆心在坐标原点，半径为 22 ab ab 的圆 C1定义为椭圆 C 的“友好圆” 。若椭圆 C 的离心率为 6 3 e ，且其短轴上的一 个端点到右焦点 F 的距离为3。 （1）求椭圆 C 的方程及其“友好圆”C1的方程； （2）过椭圆中心 C 的两条弦 PR 与 QS 互相垂直，试探讨四边形 PQRS 与圆 C1的位置关系； （3）在（2）的条件下，求四边形 PQRS 面积的取值范围。 解： （1）点（0，b）到点 F（c，0）的距离为3 222 3cba，得 2 3a 椭圆 C 的离心率为 22 6 3 cab e aa 2 1b 椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y 22 33 23 1 ab ab “友好圆”C1的方程为 22 3 4 xy （2）由于椭圆过原点的两条弦 PR 与 QS 互相垂直， 由椭圆的对称性知，四边形 PQRS 为菱形 当 PR、 QS 分别与两坐标轴重合时， 四边形 PQRS 的顶点为椭圆 C 的四个端点，易得，原点到四条边的 距离为 22 3 2 ab ab ， 则圆 C1的内切于四边形 PQRS 当 PR、QS 分别与两坐标轴不重合时 设直线 QS 的方程为ykx（k0） ，则直线 PR 的方程为 1 yx k 。不妨令 k0，则点 S、P、Q、R 分别在第一、二、三、四象限内 将ykx代入椭圆 C 的方程得 2 22 1 3 x k x 点 S（ 2 3 31k ， 2 2 3 31 k k ） 同理可得，点 P（ 2 2 3 3 k k ， 2 3 3k ） |SP|2= 22 22 12(1) (31)(3) k kk |OS|2= 2 2 3(1) 31 k k ，|OP|2= 2 2 3(1) 3 k k 设点 O 到 SP 的距离为 d，由 RtSOP 面积得： 22 2 2 |OP|OS|3 |SP|4 d ，即 3 2 d 点 O 到四边形 PQRS 四条边的距离均为 3 2 圆 C1的内切于四边形 PQRS 综上所述，四边形 PQRS 与圆 C1相切 （3）由（2）知，四边形 PQRS 的面积为： S= 1 4|SP|3 |SP| 2 d 2 22 2 22 2 2 1 2 (1) 66 1 (31)(3) 3() 10 k k k kk k k 令 2 2 1 mk k ，则 m2 S 24 62 3 1 310310 m mm 当 m=2 时，Smin=3 当 m+，即 k=0 时，Smax=2 3 故，四边形 PQRS 面积的取值范围为3，2 3 O x y S P R Q 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 8、在平面直角坐标系 xOy 中，已知 M（0，3） 、N（0，-3） ，平面上一 动点 P 满足|PM|+|PN|=4，记点 P 的轨迹为 P。 （1）求轨迹 P 的方程； （2）设过点 E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线 l1： 1 ykxb与轨迹 P 相 交于 A、B 两点；若 y 轴上存在一点 Q，使得直线 QA、QB 关于 y 轴对称， 求出点 Q 的坐标； （3）是否存在不过点 E（0，1）且不垂直坐标轴的直线 l，它与轨迹 P 及圆 E： 22 (1)9xy从左至右依次交于 C、D、F、G 四点，且满足 EDECEGEF ？若存在，求出当OCG 的面积 S 取得最小值时 k2的 值；若不存在，请说明理由。 解： （1）由题意知，轨迹 P 为以 M、N 为上下焦点， 长轴长为 4 的椭圆，则 222 431bac 轨迹 P 的方程为 2 2 1 4 y x （2）直线 l1的方程为1ykx 代入椭圆 P 的方程得： 22 (4)230kxkx 2 2 4 AB k xx k ， 2 3 4 AB x x k 0 设点 Q（0，m） ，则 A QA A ym k x ，B QB B ym k x 直线 QA、QB 关于 y 轴对称 QAQB kk 11 0 ABAB ABAB ymymkxmkxm xxxx 即(1)()20 ABAB m xxkx x 22 2 (1)62 (4) 0 44 kmkkm kk k0 m=4 点 Q 坐标为（0，4） （3）设直线 l 的方程为ykxb（k0，b1） 代入椭圆 P 方程得： 222 (4)240kxkbxb 由0 得， 22 40kb 2 2 4 DF kb xx k ， 2 2 4 4 DF b x x k 令 DF 的中点为 H，则 H（ 2 4 kb k ， 2 4 4 b k ） 令 CG 的中点为 K EDECEGEF ，即EDEFECEG EHEK ，即 EH 与 EK、H 与 K 重合 由垂径定理知，EKl EHl 2 2 4 1 4 1 4 EH b k kkk kb k ，得 2 43kb 由 22 40kb得： 2 05k 故，存在满足题述条件的直线 l。 H（ 3 k ， 4 3 ） |EH|2 2 1 9 k |CG|= 2 2 2 80 2 9 |EH| 3 k 点 O 到 CG 的距离为 2 22 |4 131 bk d kk S= 2222 22 1 2 804(4) 80 23 3191 kkkk kk 令 2 1kz ，(1,6)z，则 2 2 (3) (81) ( ) 81 zz Sf z z 2 2 (3)( 281243) ( ) 81 zzz fz z 令 2 ( )281243g zzz ，由( )0g z 得 1 81 9 57 4 z 或 2 81 9 57 4 z （舍去） 易知 1 (1,6)z ， 函数( )f z在 （1， 1 z） 上单调递减， 在（ 1 z，6）上单调递增 当 1 zz时，函数( )f z有最小值 当 2 779 57 4 k 时，S 取得最小值 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 9、已知点 A1（0，2） ，B1（6，0） ，M（2，1） ，直线 l： 4 6 3 x ，若曲线 C 上的动点 P 到 B1的距离等于 P 到直线 l 的距离的 a 倍，且曲线 C 过点 A1. （1）求曲线 C 的方程； （2）设平行于 OM（O 为坐标原点）的直线 l1在 y 轴上的截距为 m（m0） ，且 l1交曲线 C 于两点 A、B。 求证：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形； 若点 A、B 均位于 y 轴的右侧，求直线 MA 的斜率 k1的取值范围。 解： （1）设点 P（x，y） ，由题意得： 22 4 (6)|6 | 3 xya x 由点 A1（0，2）得： 2 (06)23 4 2 |06 | 3 a 222 3 2 662 68 4 xxyxx 整理得，曲线 C 的方程为 22 1 82 xy （2）易得 1 2 OM k 设直线 l1的方程为 1 2 yxm 代入曲线 C 的方程得： 22 2240xmxm 由0 得： 2 4m ，且 m0 2 AB xxm ， 2 2(2) AB x xm 11 22 AB MAMB AB yy kk xx 11 11 22 22 AB AB xmxm xx (2)()4(1) 2()4 ABAB ABAB x xmxxm x xxx 2 2 2(2)2 (2)4(1) 2(2)44 mm mm mm =0 MAMB kk MDE=MED，即MDE 是等腰 故，直线 MA、MB 与 x 轴始终围成等腰三角形 若点 A、B 均位于 y 轴的右侧 则有 2 2 2(2)0 20 4 AB AB x xm xxm m ，得22m 不妨令 A 在 B 的右侧，则 2 4 A xmm 2 14 22 AA mm yxm 2 1 2 114(2) 22 4(2) A A ymm k x mm 12 22 m m 设 2 ( ) 2 m f m m ，则 2 4 ( )0 (2) fm m 函数( )f m在( 2,2)上单调递减 1 12221 2222 k 同理可得，当 A 在 B 的左侧时， 1 21 2 k 故，斜率 k1的取值范围为： 1 21 2 k 或 1 21 2 k 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 10、已知抛物线 C2： 2 2xpy（p0）的通径长为 4，椭圆 C1： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，且过抛 物线 C2的焦点。 （1）求抛物线 C2和椭圆 C1的方程； （2）过定点 M（-1，3 2 ）引直线 l 交抛物线 C2于 A、B 两点（A 在 B 的左 侧） ，分别过 A、B 作抛物线 C2的切线 l1、l2，且 l1与椭圆 C1相交于 P、Q 两点，记此时两切线 l1、l2的交点为 D。 求点 D 的轨迹方程； 设点 E（0，1 4 ） ，求EPQ 的面积的最大值，并求出此时点 D 的坐标。 解： （1）抛物线 C2的通径长为 4 24p ，得 p=2 抛物线 C2的方程为 2 4xy 抛物线 C2的焦点（0，1）在椭圆 C1上 2 1 1 b ，得 2 1b 椭圆 C1的离心率为 22 3 2 cab e aa 2 4a 椭圆 C1的方程为 2 2 1 4 x y （2）设 A（ A x， 2 4 A x ） ，B（ B x， 2 4 B x ） 其中 AB xx，0 A x ，0 B x 点 A、M、B 三点共线 22 33 4242 11 AB AB xx xx 60 ABAB xxx x （*） 由 2 4 x y 得： 2 x y 则切线 l1的方程为 2 () 42 AA A xx yxx 即 2 24 AA xx yx 同理可得，切线 l2的方程为 2 24 BB xx yx 联立两方程解得，点 D 坐标为（ 2 AB xx ， 4 AB x x ） 设点 D（x，y） ，则2 AB xxx，4 AB x xy 代入（*）式得，点 D 的轨迹方程为： 230xy 由切线 l1和椭圆 C1方程，消去 y 得： 2234 4(1)4160 AAA xxx xx 3 2 1 A PQ A x xx x ， 4 2 16 4(1) A PQ A x x x x |PQ|= 2 2 4( )4 4 A PQPQ x xxx x 2 42 2 4 1616 2(1) A AA A x xx x 点 E 到切线 l1的距离为： 22 22 | 1|1 41624 AA AA xx d xx EPQ 的面积为： S 2 2 42 2 2 411 1616 2 2(1) 24 A A AA A A xx xx x x 22 1 (8)80 8 A x 当 2 8 A x ，即2 2 A x 时，S 有最大值为 5 2 此时，由（*）式得： 10 22 7 B x 点 D 坐标为（ 2 21 7 ， 210 7 ） 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 11、若椭圆 E1： 22 22 11 1 xy ab 和椭圆 E2： 22 22 22 1 xy ab 满足 22 11 ab m ab （m0） ，则称这两个椭圆相似，m 称为其相 似比。 （1）求经过点（ 2 2 ， 3 2 ） ，且与椭圆 C1： 22 21xy相似的椭圆 C2的方程； （2）设过原点的一条射线 l 分别与（1）中的椭圆 C1、C2交于 A、B 两点，求|OA|OB|的取值范围； （3）设直线 l1：ykx与（1）中的椭圆 C2交于 M、N 两点（其中 M 在第一象限） ，且直线 l1与直线 l2：x=t（t 0）交于点 D，过 D 作 DGMF（F 为椭圆 C2的右焦点）且交 x 轴于点 G，若直线 MG 与椭圆 C2有且只有一个 公共点，求 t 的值。 解： （1）设椭圆 C2的方程为 22 22 1 xy ab 由题意得 22 13 1 24 12 2 ab ab ，解得 2 2 2 1 a b 椭圆 C2的方程为 2 2 1 2 x y （2）当直线 l 的斜率不存在时，则 A（0， 2 2 ） ，B（0，1） |OA|OB|= 2 2 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为ykx 联立椭圆 C1的方程得： 2 2 1 21 A x k ， 2 2 2 21 A k y k |OA|= 2 22 2 1 21 AA k xy k 联立椭圆 C2的方程得： 2 2 2 21 B x k ， 2 2 2 2 21 B k y k |OB|= 2 22 2 2(1) 21 BB k xy k |OA|OB|= 2 22 2(1)21 (1) 21221 k kk 2 2 |OA|OB|2 故，|OA|OB 的取值范围为 2 , 2 2 （3）设 M（ M x， M kx） ，其中 M x0，k0 易得：点 F（1，0） ，则 1 M MF M kx k x 由题意可得，点 D（t，kt） MFDG 直线 DG 的方程为 () 1 M M kx yktxt x 点 G（ M t x ，0） 由 2 2 1 2 x y得，20xyy ，即 2 x y y 1 22 M M M x y kxk 椭圆 C2在点 M 处的切线方程为： 1 () 2 MM ykxxx k 由题意知，点 G 在该切线上 1 () 2 MM M t kxx k x 22 (21) M tkx M（ M x， M kx）在椭圆 C2上 2 22 1 2 M M x k x，即 2 2 2 21 M x k 2 2 2 (21)2 21 tk k 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 12、如图，椭圆 C1： 22 22 1 xy ab （ab0）和圆 C2： 222 xyb，已知圆 C2将椭圆 C1的长轴三等分，且圆 C2 的面积为 。椭圆 C1的下顶点为 E，过坐标原点与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2相交于点 A、B，直线 EA、 EB 与椭圆 C1的另一个交点分别是点 P、M。 （1）求椭圆 C1的方程； （2）设直线 PM 的斜率为 t，直线 l 的斜率为 k，求 k t 的值； （3）求EPM 面积最大时，直线 l 的方程。 解： （1）圆 C2的面积为 b=1 圆 C2将椭圆 C1的长轴三等分 32b=2a，得 a=3 椭圆 C1的方程为 2 2 1 9 x y （2）易得，E（0，-1） 不妨设直线 EA 的方程为1ymx（m0） 联立椭圆 C1的方程可得： 2 18 91 P m x m ， 2 2 91 91 P m y m 联立圆 C2的方程可得： 2 2 1 A m x m ， 2 2 1 1 A m y m AB 是圆 C2的直径，即 EBEA 直线 EB 的方程为 1 1yx m 同理可得： 2 18 9 M m x m ， 2 2 9 9 M m y m 2 2 1 B m x m ， 2 2 1 1 B m y m 2 1 2 AB AB yym k xxm ， 2 1 10 PM PM yym t xxm 5 k t （3）由（2）得： |EP|= 2 22 22 9118 (1)() 9191 mm mm 2 2 18 1 91 m m m |EM|= 2 22 22 918 (1)() 99 mm mm 2 2 18 1 9 m m EPM 的面积为： S 1 |EP| |EM| 2 3 42 162() 9829 mm mm 22 2 11 162()162() 11 9()829()64 mm mm mm mm 162 164 9() 1 m m m m 16227 8164 2 9() 1 m m m m 当且仅当 164 9() 1 m m m m ，即 18 3 m m 时，等 号成立 由（2）知， 2 111 () 22 m km mm 222 11117 ()()4 449 kmm mm 得 7 3 k 直线 l 的方程为 7 3 yx 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 13、设椭圆 E 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 4，点 Q（2，2）在椭圆 E 上。 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点，且OAOB ，求OAB 的面积 S 的取值范围； （2）过 M（x1，y1）的直线 l1： 11 28 2x xy y与过 N（x2，y2）的直线 l2： 22 28 2x xy y的交点 P（x0，y0） 在椭圆 E 上，直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于 G、H 两点，求OG OH 的值。 解： （1）设椭圆 E 的方程为 22 22 1 xy ab （ab0） 由题意得 22 2 42 1 b ab ，解得 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy （2）当直线 L 的斜率不存在时，即 Lx 轴 设 A（, AA xy， ） ，则 B（, AA xy） OAOB 1 OAOB kk 2 2 1 AAA AAA yyy xxx ，即 22 AA xy 22 1 84 AA xy 22 8 3 AA xy S= 22 18 | | 223 AA xy OAOB 当直线 L 的斜率存在时，设直线 L 的方程为 xkym，代入椭圆 E 的方程得： 222 (2)280kykmym 由0 得： 22 480km 2 2 2 AB km yy k ， 2 2 8 2 AB m y y k 22 22 2 28 () 2 ABABAB mk x xk y ykm yym k 由OAOB 知， 1 AB AB yy xx ，即0 ABAB x xy y 22222 222 288388 0 222 mkmmk kkk 2 2 88 3 k m 由 22 480km得， 2 0,)k |AB|= 22 (1)()4 ABAB kyyy y 22 22 32(1)(4) 3(2) kk k 又点 O 到直线 L 的距离为 2 | 1 m d k S 22 22 2 132(1)(4)| 23(2) 1 kkm k k 22 22 8(1)(4) 3(2) kk k 当 k=0 时，S=8 3 当 k0 时，S= 2 2 81 1 4 3 4k k 2 2 4 4,)k k S 8 ( ,2 2 3 综上，S 的取值范围为 8 ,2 2 3 （3）由题意有： 101 202 28 2 28 2 o o x xy y x xy y 直线 MN 的方程为 00 28 2x xy y 易得，椭圆 E 的准线方程为 x=4 G（4， 0 0 4 22x y ） ，H（-4， 0 0 4 22x y ） OG OH = 2 0 2 0 324 16 x y 点 P 在椭圆 E 上，即 22 00 1 84 xy OG OH = 2 0 2 0 32(328) 168 y y 锤子数学编Q 1 6 2 2 3 2 4 7 1 2 （解析几何部分） 14、已知直线 l：1xmy过椭圆 C： 22 22 1 xy ab 的右焦点 F，抛物线 2 4 3xy的焦点为椭圆 C 的上顶点，且直 线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为点 D、K、E。 （1）求椭圆 C 的方程： （2）若直线 l 交 y 轴于点 M，且 1 MAAF ， 2 MBBF ，当 m 变化时，证明： 12 为定值，并求出此定值； （3）连接 AE、BD，试探索当 m 变