圆弧曲梁振动微分方程推导及振动特性分析.docx

文章编号: 2095 1922( 2012) 03 0400 05圆弧曲梁振动微分方程推导及振动特性分析 宋郁民，吴定俊，李奇( 同济大学桥梁工程系，上海 200092)摘 要: 目的 为研究圆弧曲线梁的振动特性 方法 以振动状态下的圆弧曲线梁微段为研究对象，考虑了截面的约束扭转，建立了动内力平衡方程 在引入 timoshenko 几何方程和物理方程 后，推导得出了圆弧曲线梁的振动微分方程，并对得出的振动方程加以分析 结果 当圆弧曲线 梁半径趋于无穷大时，且截面退化为轴对称截面时，曲线梁的振动微分方程可退化为直线梁的 轴向振动方程、横向振动方程和扭转振动方程 通过对振动微分方程的分析，得出了圆弧曲线 梁面内振动和面外振动的特性 结论 曲线梁的面内振动与面外振动互不耦合; 曲梁面内的纵 向振动和横向振动相互耦合; 曲梁面外的竖向弯曲振动和扭转振动相互耦合 初步论证了圆弧 曲线梁振动微分方程的正确性关键词: 圆弧曲线梁; 振动; 微分方程; 振动特性; 求解方法中图分类号: u441. 2文献标志码: aderivation of vibration differential equation and analysis ofvibration properties about arc curved beamsong yumin，wu dingjun，li qi( department of bridge engineering，tongji university，shanghai，china，200092)abstract: this paper is to study the dynamic characteristics of arc-curved the vibration differential equa-tions of arc-curved beam are derived; some characteristics are obtained by analyzing the derived vibration differential equation considering of the constrained torsion of cross-section，the internal force balance equa- tions of arc-curved beam are obtained by analyzing a segment in the vibration state，and the vibration differ- ential equations of arc-curved beam are derived by combining w ith the timoshenko s geometric equations and physics equations by analyzing the derived vibration differential equation，the vibration differential e- quation of arc-curved beam can turn into longitudinal vibration equation，lateral vibration equation and tor- sional vibration equation of straight beam w hen radius tends to infinity and cross-section turns into circle， w hich illustrates preliminarily that the vibration differential equation of arc-curved beam is correct some conclusions，for example that the in-plane-vibration and the out-of -plane-vibration are not coupled; longitudi- nal vibration and lateral vibration in plane is mutually coupling ; vertical bending vibration and torsional vi- bration out of plane is mutually coupling too ，are gotten through discussing its vibration differential equation key words: arc-curved beam; vibration; differential equation; vibration properties; ideas of solution成果非常丰富1 4 曲线梁力学特征的研究最早 曲线梁是桥梁结构常采用形式之一，其研究收稿日期: 2012 01 12基金项目: 国家自然科学基金项目( 50908178)作者简介: 宋郁民( 1976) ，男，博士研究生，主要从事桥梁结构设计理论和车桥耦合振动研究宋郁民等: 圆弧曲梁振动微分方程推导及振动特性分析第 28 卷401是 ferguson5于 1979 年 提 出 的 将 空 间 曲 壳 单 元作退化处理而建立的 曲 梁 单 元 kapania 于 2003 年基于刚周边假定而建立了每节点 4 自由度的三 维曲梁 单 元6 kim 对曲梁结构做了大量的研 究，先后给出了非对称薄壁曲梁精确的静态单元 刚度矩阵、轴力作用下非对称薄壁曲梁的动力刚 度矩阵7 国内学者张罗溪、黄剑源、张元海等均 对曲梁结构的矩阵分析做了许多研究8 13 其中 关于曲线梁振动特性的研究，文献报道也较多 chai hong yoo14采 用 每 节 点 7 自 由 度 有 限 梁 段法，进行了曲线梁自振频率的分析; 文献15 18在 chai hong yoo 的 研 究基础上进一步完 曲线梁为等截面的匀质梁，且曲率半径为常数;横截面具有竖直的对称轴;曲线梁形心与剪切中心重合;曲率半径远大于横截面、梁长和梁 宽 的 尺 寸，因此曲率的影响忽略不计曲线梁的坐标系按照右手螺旋法则 规 定 为: 指向曲线梁圆心，铅垂向下，沿轴线切线方向，如 图 1 所示成 了薄壁箱梁自振特性 的 分 析how son和jemah19等研究了曲线梁面外振 动 的 自 振 特 性曲线梁的研究较为丰富，但关于动力特征的研究 相对较少 笔者主要工作是以振动状态下的曲线 梁微段为研究对象，得 出曲线梁的动内力平衡方 程，并引入 timoshenko 几何方程和物理方程，推导 出曲线梁振动微分方程，并结合方程对曲线梁的振 动特性进行了分析，提出微分方程的求解思路图 1 曲梁的坐标系fig. 1 coordinate system of curved beam振动状态下的内力平衡方程取振动状态下的曲线梁微段为研究 对 象 设1. 21圆弧曲线梁振动微分方程推导1. 1基本假定在进行曲线梁振动微分方程的推导 时，做 如 下基本假定:振动状态下的曲线梁不受外力作用 ( 即 自 由 振动) ，即 q = 0，微段圆弧所对的圆心角为 d 微段y的振动内力如图 2 所示图 2 振动状态下的曲梁微段内力图fig. 2 internal force diagram of curved beam segment in the vibration state2 m忽略高阶微量，列出微段的动内力平衡方程为2 w 1 t x+= m2 ，( 3)22r zn 1 my2 uzt= m，t2( 1) z + r zt mx = i 2 ( 4)t2 d2 mzr 2 v ny= m，t2( 2)r z2式( 1) ( 4) 中: n 为截面上沿 x 轴法向力，m 为y沈 阳 建 筑 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 )402第 28 卷截面上绕 y 轴横向弯矩，mx 为截面上绕 x 轴竖向弯矩; t 为截面上绕 z 轴横向弯矩; u 为切( 纵) 向 位移; v 为径 ( 横) 向 位 移; w 为 竖 向 位 移; 为 扭转角; m 为单位长度质量; 为材料的质量密度由式( 1) 和( 2) 得:1. 4曲线梁振动微分方程式( 11) ( 14 ) 代 入 式 ( 1 ) ( 4 ) ，并 整 理 得曲线梁的振动微分方程为eiy ( eiy+)2 u3 v2 uea eav= m， ( 15)z2rz3r3r zt24 v 1 2 veay ( z4z3 )2 v3 mea u m 2 u3 v1m+ eiv = m， ( 16)yy( 5)+r2= rt2 m zt2 rt2eix + gidrzreiz3z(x2 )ei+4gid24 w w 式( 5) 仅包含了位移变量 u、v，故反映的是曲线梁的面内振动，即 纵 向 ( 切 向) 振 动 和 横 向 ( 径 向) 振动，显然二者相互耦合由式( 3) 和( 4) 得:ei4 +22r4rrzrzz22 w2 + m= 0，( 17)2zt + ei w44eix + gid w22 2 mm2 w d 2 i ei gid2 +xx( 6)442+= mr2 t2t2 r2 rzzzzz2reix式( 6) 仅包含了位移变量 w、，反 映 的 是 曲线梁的面外振动，即竖向弯曲振动和扭转振动，显 然二者相互耦合= 0，( 18) + idr2t2将式( 15) 和式( 16) 合并，得:eiy ( z5 + r2 z3 ) +z5 v 2 3 vei v= m( 1 2 u v2 v)yt2 z t21. 3几何方程和物理方程r4r为消 除 式 ( 1 ) ( 6 )中 的 振 动 内 力，引 入( 19)式( 17) 、( 18) 和( 19) 构成与曲线梁静力符拉 索夫( v z vlasov ) 微分方程相似的振动微分方 程，不妨称也为符拉索夫( v z vlasov ) 动力微分方程式( 16) ( 19 ) 进一步整理可以得到以下规 则的偏微分方程:timoshenko 几何方程19为du v z = dz r ，( 7)d2 w r ，( 8)x = dz2d2 vvy = dz2 + r2 ，( 9)5422 v v 2 1 mv v 1 m u ，( 20)vd1 dwz5 + r2 z4 + r4z v + ei= r( 10)z = dz + r dz t2t2zeiyy4 w2 w2 w 式( 7) ( 10 ) 代 入 物 理 方 程21 得 曲 梁 的 振动位移与内力关系为1m+2 w =422eixidzrzt( z2 + r2 +t2 )221 nz = eaz = ea ( dz r )，duv( 21)( 11)reixmx = eix x = eix ( dz2d2 w r )， 2圆弧曲梁自由振动特性分析式( 20) 反映的是曲线梁的面内振动( 水平( 12)d2 v v my = eiy y = eiy ( dz2 + r2 )，( 13)面内的纵向振动和横向振动) ，而 式 ( 21 ) 反 映 的是面外振动( 水平面外的竖向弯曲振动和扭转振 动) 位移自由度 u、v 仅独立出现在式( 20) 中，位 移自由度 w、 仅独立出现在式( 21) 中，不同时交 叉出现 显然曲线梁的面内振动与面外振动互不耦合，这与曲梁静力分析中面内与面外内力与变t = ei + gid z = ei ( dz3 + r dz3 ) + gid ( dz + rd3 1 d3 w 1 dwdz ) ( 14)d式( 11) ( 14) 中: z 为轴向应变; x 、y 分别为绕x 轴和 y 轴的弯曲曲率; z 为 绕 z 轴 的 扭 曲 率; 为翘曲线函数; ix 、iy 分别为绕 x 轴和 y 轴的截面惯矩; i 为截 面 扇 式 惯 矩 ( 扭 转 翘 曲 常 数) ; id 为截面扭转常数; ei 约束扭转双力矩; gid z 为圣 维南扭矩11形互不耦合现象是一致的从式( 20) 中可以得出，曲梁面内的纵向振动和横向振动相互耦合 方程的左端是关于横向 位移 v 的振动项，右端是关于纵向位移 u 的振动宋郁民等: 圆弧曲梁振动微分方程推导及振动特性分析第 28 卷403项，二者之间存在一个比例常数，即半径 r从式( 21) 中可以得出，曲梁面外的竖向弯 曲振动和扭转振动相互耦合 方程的左端是关于 竖向位移 w 的振动项，右端是关于扭转位移 的 振动项，二者之间也存在一个比例常数，即半径 r面内的纵向振动和横向振动相互 耦 合，且 振动方程之间存在一个比例常数; 面外的竖向弯 曲振动和扭转振动相互耦合，且振动方程之间也 存在一个比例常数 这说明了振动的耦合关系是 曲梁的固有特性，仅与曲梁的截面特性和半径有 关，与边界条件和外荷载无关 如果能够确定反应 振动耦合关系的常数，则曲梁振动微分方程便得 以解耦，使得方程组的解析求解得以实现当 曲 线 梁 半 径 r 时，式 ( 15 ) 、( 17 ) 、( 18) 和( 19) 退化为分离变量 法、fourier 积 分 变 换 法 和 laplace 积 分变换法 按照上文的讨论，关键是要确定反应振动 耦合关系的常数，使得微分方程解耦半解析解 对偏微分方程组进行 fourier 变 换和 laplace 变 换，求 解 方 程 后，无 法 实 现 逆 变 换，只能采用数值积分，得出逆变换数值积分 对方程直接采用数值积分求解有限元方法由于偏微分方程组的求解较为复杂，方 程 组 的求解有待于进一步研究4结论( 1) 圆弧曲线梁振动微分方程能够退化为直线梁的振动微分方程，初步证明了方程的正确性( 2) 曲线梁的面内振动与面外振动互不耦 合( 3) 曲梁面内的纵向振动和横向振动相互耦 合; 曲梁面外的竖向弯曲振动和扭转振动相互耦 合22ea u m u = 0，( 22)z2t24 w2 weix+ m= 0，( 23)42zt4 2 2 ei4 gid2 + id= 0，( 24)2zzt参考文献:4 v2 veiy4 + m2 = 0( 25)1姚 玲 森 曲 线 梁m 北 京: 人民交通出版 社，1989( yao lingsen curved beam m beijing: chinacommunications press，1989 )孙广华 曲线 梁 桥 计 算m 北 京: 人 民 交 通 出 版 社，1995( sui guanghua calculation of curved beam bridgem beijing: china communications press，1995 )kapania r k，li j a formulation and implementa- tion of geometrically exact curved beam elements in-corporating finite strains and finite rotations jcomputational m echanics，2003，30 ( 5 /6 ) : 444 459童根 树，许 强 薄 壁 曲梁线性和非线性分析理论 m 北京: 科学出版社，2004( tong genshu，xu qiang linear and nonlinear anal-ysis theory of thin w alled curved box girdersm beijing: scientific press，2004 )kapania r k，li j a formulation and implementa- tion of geometrically exact curved beam elements in-corporating finite strains and finite rotations j computational m echanics，2003，30 ( 5 /6 ) : 444 459kim n i，yun h t，kim m y exact static element stiffness matrices of non symmetric thin w alledcurved beamsj int j numer m eth engng，2004，61( 2) : 274 302zt显然式( 22) 、( 23) 和( 25) 分别是等截面直线梁的轴向振动、竖向弯曲振动和横向弯曲振动的 微分方程 式( 24) 为一般等截面直杆的扭转振动 微分方程 当截面为圆形截面时，方 程 ( 24 ) 可 退 化为圆轴的扭转振动方程为22 2 3gid2 id= 0( 26)2zt曲梁的振动微分方程可退化为直线梁的振动微分方程，初步证明了曲线梁振动微分方程的正 确性4振动微分方程求解探讨振动微分方程的求解关键是确定微分方程的 边界条件 对于固端圆弧曲线梁，其边界条件为u( 0) = u( l) = 0，u( 0) = u( l) = 0;v( 0) = v( l) = 0，v( 0) = v( l) = 0;35( 27)w( 0)= w( l) = 0，w ( 0) = w ( l) = 0;( 0)= ( l) = 0， ( 0) = ( l)= 06由式( 15) ( 18) 组合成微分方程组，运用偏微分方程的理论进行求解 可采用以下三种方法:运用偏微分方程理论求其解析解 主 要 有沈 阳 建 筑 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )404第 28 卷7张元海，李乔 曲线箱梁考虑剪力滞效应时的弯扭分析j 工程力学，2009，26: 1293 1295( zhang yuanhai，li qiao flexural-torsional analysisof curved box-girders w ith the consideration of shear lag effect j engineering m echanics，2009，26:123 129 )张罗溪，曲梁结构矩阵分 析j 铁 道 学 报，1993，23: 80 86( zhang luoxi structural matrix analysis of curved beamsj journal of the china railw ay society，1993，23: 80 86 )黄剑源，谢旭 薄壁曲线杆系结构空间分析的刚度 法j 土木工程学报，1994，27( 5) : 3 19( huang jianyuan，xie xu three dimensional stiff-ness analysis of curved，thin w alled structural member systemsj china civil engineering jour- nal，1994，27( 5) : 3 19 )段海娟 薄壁曲线箱梁空间分析的梁段 单 元j土木工程学报，2004，37: 1 5ysis of curved beam w ith fixed simple endsjjournal of shenyang jianzhu university: natural sci- ence，2005，21: 189 191 )赵颖华，张金良，焦鹏程，等 二次抛物线形曲线梁 平衡与 几 何 解 析 方 程j 沈阳建筑大学学报，2008，24: 757 761( zhao yinghua，zhang jinliang，jiao pengcheng，et al analytical equations on polynomial curved beamj journal of shenyang jianzhu university: naturalscierce，2008，24: 757 761 )chai h y，jon p f natural frequency of curved gird- erj journal of the engineering m echanics divi- sion，april，1981，107: 337 354kim n i，yun h t，kim m y exact static element stiffness matrices of non symmetric thin w alled curved beamsj international journal for numeri- cal m ethods in engineering，2004，61 ( 2 ) : 274 302how son w p，jemah a k exact out of