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个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 1 2.0 通信问题的数学模型通信问题的数学模型 2.0.1 马氏过程马氏过程 在通信系统中，信道数目和相应服务通常是有限的，而呼叫到达、服务时间、 切换到达等业务是随机发生的，因此，分析整个系统的话务量就必须分析这些业 务的统计特性。对于某给定的通信系统，其信道数目和服务都固定的，因而系统 所处的状态是有限的。通信问题实质是系统在固定数目的服务信道、固定长度的 服务排队、某分布的新呼叫到达和某分布的服务时间等条件下，在任时刻的状态 （主要指信道占用状态） ，这种问题是排队问题的一种。 通信问题主要特性是当前状态仅影响下一个状态，称之为无后效性。采用随 机过程中的马氏过程作为数学模型加以分析。 定义：随机过程x(t),tt取值于可数集合s，若对于任意整数n，t1tntn+1t 及状态i1inin+1s，都有 )(|)( )(,)(|)( 11 1111 nnnn nnnn itxitxp itxitxitxp = = + + l (2.0.1) 则称随机过程x(t),tt为马尔可夫过程（简称马氏过程） 。s 称为状态空间，通常 是可测有限的。 . s s i 如果用pi(t)表示在时刻t处于状态i的概率，pji(s,t)表示在从时刻s的状态j转移到 时刻t的状态i的转移概率，那么有 = sj jiji tspsptp),()()( (2.0.2) 对于齐次马氏过程而言，转移概率与起始时刻无关，仅与时间间隔有关，即 stpstptsp jijiji = )(), 0(),( (2.0.3) 因此有： = sj jiji tpptp)()0()( (2.0.4) 转移概率有以下主要性质： sjittp si ji = ,01)() 1 ( (2.0.5) 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 2 sjitp jiji t = + )(lim)2( 0 (2.0.6) sitpii t = + 1)(lim)3( 0 (2.0.7) 如果将时间t分成若干小时间段，即t=t1+t2+tn，那么状态i又可以看作是从状 态j通过n次转移而来的，因此pi(t)又可写成 = = sjsisi jiiiniij sisisj jjiiiniii n n n n tptptpp ptptptptp )()()()0( )0()()()()( 1 121 1 121 12 12 ll ll (2.0.8) 可见， 转移概率pji(t)在整个t0,)上的值可由它在任一小区间t0,h上的值完全确 定，或者说可由pji(t)在 0 点附近的值完全确定。另外，pji(t)在 0 点的右连续性可保 证在0,)上每一点的连续性，而且是一致连续的。 定理：对is，pji(t)在 0 点的右导数存在，且 t tp pq ii t iiii 1)( lim)0( 0 = + (2.0.9) ji t tp pq ji t jiji = + )( lim)0( 0 (2.0.10) qji称为状态从j到i的转移强度。如果对式(2.0.4)两边在 0 点求其右导数，可得 = sj jiji qpp)0()0( (2.0.11) 对于平稳的马氏过程，其状态分布与时刻无关，即pi(t)=pi(0)=pi, t0,is。因 此，式(2.0.11)又可写为 0= sj jijq p (2.0.12) 对于所有 n 个状态，采用矩阵加以描述，即 0pq = (2.0.13) , 21n pppl=p (2.0.14) = nnnn n n qqq qqq qqq l momm l l 21 22221 11211 q (2.0.15) 矩阵 q 称为转强阵。当 q 已知时，可采用矩阵关系获得其状态的平稳分布。 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 3 2.0.2 通信问题通信问题 通信问题是一类特殊的马氏过程：生灭过程。 定义：一个状态空间为s=0,1,齐次马氏过程x，若其转强阵q=qji满足 = += = + 01 , 001 , 0 ,1,1, , 1),(, 2|, 0 qq iqqq jiq iiiiiiiiii ij (2.0.16) 则称 x 为一个生灭过程。 生灭过程等价于 = += += += + 2|)()( )()(1)( )()( )()( , , 1, 1, jittp tttp tttp tttp ji iiii iii iii (2.0.17) 其平稳分布为： 0 1 10 pp i i i l l = (2.0.18) 1 1 1 10 0 1 = += i i i p l l (2.0.19) 成立条件是当且仅当上式中的级数收敛。 通信问题： 设有 k 条通信信道， n(t)表示 t 时刻正在使用的信道数目。 在(t,t+t) 内，产生新呼叫的概率为t+(t)，若有空闲信道，则呼叫成功，否则取消。每 一条在 t 时刻正在占用的信道在(t,t+t)内结束占用的概率为t+(t)。 各信道占用 彼此独立，呼叫与信道占用彼此无关，并认为呼叫数量比信道数多得多。 = +=+= +=+= + 2|)()( )()()( )()()( , 1, 1, jittp ttitttp tttttp ji iii iii (2.0.20) 其平稳分布为： !)( 0 ipp i i = (2.0.21) 1 0 0 !)( = = k k k kp (2.0.22) 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 4 2.1 话务量与业务等级话务量与业务等级 2.1.1 话务量话务量 （1）话务量 业务量大小的量度，通常指平均单位时间内用户进行业务的时间。单位为爱 尔兰（erl） 。 假设：n为共用信道数目，为单位时间内平均发生的呼叫次数，s为每次呼叫 平均占用信道时间（含通话时间） ，0为单位时间内成功呼叫的次数（0） ，为 每用户忙时话务量。 流入话务量：单位时间内用户进行呼叫的平均时间，即 a=s。 完成话务量：单位时间内用户呼叫成功的平均时间，即a0=0s。其实质是 通信网同时被占用信道数的统计平均值，即 = = n i i pia 1 0 (2.1.1) 损失话务量：单位时间内用户呼叫未成功的平均时间，即a-a0。 呼损率： = = = n i i n i a n a a aa b 0 0 ! ! (2.1.2) 信道利用率： n ba n a)1 ( 0 = (2.1.3) 用户数：全网用户数为 a/；每信道所能容纳的用户数为 m=a/(n)。 （2）微小区话务量 假定：a为微小区的话务量（erl） ，0为每用户平均话务量（erl/用户） ，d为用 户密度（用户数/km2） ，s为小区面积（km2） ，0为平均每个用户在单位时间内发出 呼叫的次数（呼叫到达速率） ，1/为通话时间的均值。 sda= 0 0 0 (2.1.4) 话务产生过程为泊松过程，呼叫到达速率服从泊松分布（0） ，通话时间服从 负指数分布（） 。若微小区i中有n个移动用户，则总呼叫到达速率为： = = n k ki 1 0 (2.1.5) 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 5 若系统有 m 个微小区，则系统总呼叫到达速率为： = = m k k 1 (2.1.6) 2.1.2 业务等级（业务等级（gos） 业务等级就是通信服务质量。主要业务等级参数有： 呼叫建立时延 被呼建立时延：从移动交换机（msc）接收到最后一们拨号到向主呼方返 回适当信号音所经历的时间。 主呼建立时延：从移动用户激活发送键到至 msc 的话路接通且 msc 发出 呼叫拨号所经历的时间。 在任何公用陆地移动网 （plmn） 中， 呼叫类型有： 固定用户至移动用户 （ltm） ， 移动用户至移动用户（mtm）和移动用户至固定用户（mtl） 。 时延产生主要因素：移动单元产生的呼叫初始包的传输时延；连接 msc 和基站（bs）控制器的地面数据链路中信号时延；msc 中交换时延。 无线信道阻塞概率 plmn 至 pstn/isdn 线路的阻塞概率 切换不成功概率 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 6 2.2 蜂窝系统的性能与话务模型蜂窝系统的性能与话务模型 2.2.1 fdma 和和 tdma 系统系统 （1）性能度量）性能度量 新呼叫阻塞概率：一个新发起的呼叫请求由于设备未准备好而不能接入网 络的概率。 （没有可用的空闲无线信道；不能建立至固定网络的链路） 转接阻塞概率：不能实现信道重新分配而使切换失败的概率。 中断概率：在通信过程中发生通信中断的概率。 （无线衰减使信号电平低于 接收门限以下；转接阻塞） 信道保持时间：呼叫保持时间为呼叫过程经过各小区中信道保持时间。 （2）话务模型（数学模型）话务模型（数学模型） 假设：泊松到达，独立的一般分布呼叫保持时间，无重复请求以及呼损系统 （即系统中的新呼叫若不能立即接入到网中，则呼叫不进入排队而被系统拒绝） 。 非明显移动模型 系统由m个小区组成，总共有c个信道，其中fi个信道指配给第i个小区，并且 小区i中有ni呼叫。设小区i的话务量为aierl，呼叫到达服从泊松分布，呼叫保持时 间为一般分布，系统为呼损系统。 固定信道指配。 采用m/g/fi/fi（到达服从泊松分布、服务服从一般分布、服务机数目为fi，最大 用户为fi）的爱尔兰损失模型。 在小区i中有ni个通话正在进行中的概率为 = = i i i f j j i i n i n ja na p 0 ! ! (2.2.1) 整个系统有n=(n1,n2,nm)t个通话正在进行中的概率为 = = = m i f j j i i n i i i ja na p 1 0 ! ! )(n (2.2.2) 式中矢量n的第i个分量表示在小区i中的通话个数为ni, i=1,m。 动态信道指配。 整个系统有n=(n1,n2,nm)t个通话正在进行中的平稳状态概率为 () = = 其它0 !)( )( 1 anw n t m i i n i nap p i 0 (2.2.3) 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 7 式中wtna表示动态信道指配算法应满足的约束条件，它表示不同小区组合的信 道之和应小于一个给定的常量ai，矩阵w的元素全部为 0 或 1，a由系统中的信道 数及其分布所确定，p(0)为初始状态概率。 非明显移动模型 假设：所有小区之间独立，新呼叫和切换到达服从泊松分布，呼叫和信道保 持时间都是负指数分布。i为小区i中新呼叫到达速率，i为总到达速率，为呼叫 完成速率，i为离开小区的切换速率，pij为小区i至j的切换概率，bi为小区i的阻塞 概率。 小区i 总到达速率 i 新呼叫到达 速率i 切换到达速 率j(1-bj)pji 每呼叫完成 速率 每呼叫切换 速率i 总完成速率 +i 图 2.2.1 小区的话务分析 某小区信道的释放由两个方面原因引起：通话正常结束或通话切换到其它小 区，因而小区i总的信道释放速率为+i，即小区中平均信道保持时间为 1/(+i)。 某小区总呼叫到达速率为新呼叫到达速率和切换速率之和，即 += j jijii pb )1 ( (2.2.4) 小区中i阻塞概率bi的近似解为 = + + = i i f k k ii i f ii i k f b 0 !) )( !) )( (2.2.5) 利用上面两式构成 m 维非线性方程组，采用数值方法可求解出系统的呼叫阻 塞概率和呼叫中断概率。 2.2.2 cdma 系统系统 操作特性 功率控制：克服远近效应和多址干扰。cdma 网络的系统容量由相互独立 的前向链路（基站至移动台）容量和反向链路（移动台至基站）容量所确定的。 反向链路功率控制算法所要达到的目的是：从所有移动用户来的接收信号强度保 持在相同电平上，以便获得系统的理论最大容量。 软过载：稍微降低信干比门限（等效为稍微降低传输质量） ，来提高系统所 能支持的话务量， 改善新呼叫阻塞性能。 （cdma 系统的小区容量是由选定的信干 比门限所确定） 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 8 软切换： 话音激活：静默期抑制载波发射，以降低系统范围的总干扰电平，相当于 提高信干比，从而提高系统容量。 话务模型 假设：cdma系统的信息传输速率为r(bit/s)，扩频信号带宽为w(hz)，处理增 益为g=w/r，每比特信号能量为eb，n0为噪声谱密度，(c/i)s为系统信干比门限； 系统共有m个小区，小区j中有lj个用户在通话，小区j对小区i(ij)的干扰因子为 kji0,1，话音激活因子为。 话务流量控制目的是选择每个小区中的允许呼叫数li，使小区i的信干比(c/i)i 满足 s m ijj bjjibi b i ic relkrelwn re ic)( ) 1( )( , 1 0 + = = (2.2.6) 其归一化信干比(eb/n0)i为 sb m ijj jjiib b ib ne glklne ne ne)( / )1)(1 )( 0 , 1 0 0 0 + = = (2.2.7) 可得不等关系： 1 1 )( 1 00 , 1 + + = nene g lkl bsb m ijj jjii (2.2.8) 进一步可知 1 1 )( 11 00 1, 1 + + = nene g lkl m bsb m i m ijj jjii (2.2.9) 当所有小区的不等表达式都取等号时，表明所有小区中通话用户分配均匀， 即：l1=l2=lm=l，则有 1 1 )( 1 )1 ( 00 + =+ nene g kl bsb (2.2.10) = = m i m ijj ji k m k 1, 1 1 (2.2.11) 这里k称为小区间干扰因子，通常k0.5,0.6。(eb/n0)s是一项系统参数，由所要求 的误比特率确定，简记为，则有cdma基本等式： 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 9 gkllne ne b b ) 1)(1 0 0 + = (2.2.12) 由基本等式所求得的 l 可用于分析系统容量，即 1 11 )1 ( 0 + =+ ne g kl b (2.2.13) 由于不限制小区中同时通话的最大用户数， 其信道指配与 tdma/fdma 中动 态信道指配相似，故可采用相同方法分析其通话正在进行中的概率。 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 10 2.3 分层无线蜂窝系统的性能分析与话务模型分层无线蜂窝系统的性能分析与话务模型 2.3.1 系统描述系统描述 典型的宏小区/微小区分层蜂窝系统如下图所示： 微小区 (#1) 微小区 (#2) 微小区 (#4) 微小区 (#3) 宏小区(#0) 图 2.3.1 分层蜂窝系统 在一个宏小区中重叠覆盖若干个微小区，而在某些地域不覆盖微小区。当正 在通话中的移动台超过小区边界时，要进行越区切换以保证通话继续进行。此处 称已在提供服务的小区称为源小区，移动用户将要进入的小区称为目的小区。系 统通过信号功率测量来识别出移动台越界，并启动切换操作。当目的小区有空闲 信道时，切换成功，否则通话将被迫中止。设小区分配的总信道数为c，保留其中 的ch个信道用于切换。当某小区中发起一个新呼叫时，若此时小区中已占用的信 道数小于c-ch，则空闲信道中的任何一个都可以分配给新呼叫使用，否则新呼叫 被阻塞。将宏小区记为小区 0，重叠的微小区分别记为小区 1，小区 2，小区 n。在宏小区中没有被微小区覆盖的地域，其中的移动台仅能由宏小区提供接入服 务，这些地域称为宏地域，而用宏区域指整个宏小区的覆盖。设系统采用固定信 道指配（fca） ，小区i分配的信道数为ci，其中预留给切换接入的信道数为chi。下 面讨论典型宏小区中的系统操作： 在某个微小区i(i=1,2,.,n)中发起一个新呼叫，若在呼叫发起时小区中已占 有信道数小于ci-chi，则该呼叫被接入，否则呼叫溢出到重叠覆盖的宏小区。若溢 出时刻，宏小区中已占用信道数小于c0-ch0，则该呼叫被宏小区接入系统，否则该 呼叫被阻塞并从系统中清除。 在宏地域发起的新呼叫仅能由宏小区提供服务。若发起时宏小区中已占用 信道数小于c0-ch0，则该新呼叫被接入系统，否则被阻塞并清除。 当出现从微小区 i 至另一微小区 j 的切换时，若在切换到达时小区 j 有任何 空闲信道，则切换呼叫得到服务，否则将溢出到宏小区。若溢出时刻宏小区有任 何空闲信道，切换将得到服务，否则切换失败，通话被迫中断。 当出现从一个微小区至宏地域的切换时，若切换呼叫到达时宏小区中有任 何空闲信道，切换得到宏小区服务，否则切换失败，通话被迫中断。 一个宏地域中已在通话的移动台进入某个微小区边界时不产生越区切换。 个人通信教案 第二章 个人通信网的话务量模型分析 11 当切换呼叫从某个相邻的宏小区到达时，切换呼叫直接由宏小区处理。若 宏小区有空闲信道，切换成功，否则通话被迫中断。 2.3.2 数学模型数学模型 越区发生在移动台从某小区进入另一小区时，从整个系统来说，切换到达速 率等于离开速率。对于一个统计平衡的均匀系统，任何一个宏区域在统计意义上 与另外一个宏区域相同。 系统特性假设： （1）任何小区中的新呼叫到达过程为泊松过程，参数由用户数和平均激活用 户数确定。小区i(i=0,1,.,n)的平均新呼叫到达速率为i。 （2）从周围宏区域切换呼叫到达某个宏区域的呼叫切换过程为泊松分布。 （3） 信道保持时间为一次通话在某个小区中的持续时间。 这是一个随机变量。 小区i的信道保持时间记为tdi，具有负指数概率密度函数，其均值为 1/di。 （4）呼叫保持时间为一次呼叫时间（如果没有由于切换失败而持续进行至完 成的时间） 。这是一个具有负指数概率分布密度函数的随机变量 t，均值为 1/。 对于统计平衡的均匀系统，所有宏区域的状态概率都相同。任取一给定的宏 区域，其特性可用状态来描述，其状态定义为一非负整