精品毕业论文浅析vandermonde行列式的相关性质及其应用课件

摘 要 在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、 矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。 Vandermonde 行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了 Vandermonde 行列式 的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用 Vandermonde 行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了 Vandermonde 行列 式在科研和实践生活中如何更好的应用。 关键字: 行列式；Vandermonde 行列式；Vandermonde 目 录 第一章 引言 1 第二章 预备知识2 2.1 定义 2 2.2 行列式的性质 2 2.3 行列式计算中的几种基本方法3 2.3.1 三角形法3 2.3.2 加边法或升级法4 2.3.3 递推法或数学归纳法5 第三章 行列式的一种特殊类型 Vandermonde 行列式6 3.1 Vandermonde 行列式的证法 6 3.2 Vandermonde 行列式的性质 7 3.2.1 推广的性质定理：行列式 7 7 3.2.2 一个 Vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件9 3.2.3 Vandermonde 行列式的偏导数9 8 3.3 Vandermonde 行列式的翻转与变形 11 3.4 Vandermonde 行列式的应用 12 第四章 小结 17 第五章 参考文献 18 第六章 谢 辞 19 引引 言言 在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及 其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成 的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的 问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明 了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后 来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起 到了巨大的推动作用。美国当代数学家 Bernard Kolman 对行列式又做了进一步的 1 解析与应用。数学家 Chongying Dong,Fu-an Li 等人在 Vandermonde 行列式方面 2 的最新研究也被收录到 Recent Developments in Algebra and Related Areas 一书 中。 3 本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式 Vandermonde 行列式的相关性质及其应用。 2 2 预备知识预备知识 为了深入学习 Vandermonde 行列式的性质及其应用，我们有必要回 顾一下行列式的相关知识。 2.12.1 定义定义 1 1 行列式是由个元素（数）(=1,2,)排成行列并写成 2 n ij ji,nnn (1) 的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和： 每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个nn 元素组成的，可记为,式中是 1,2,的一个排列。 n nppp aaa 21 21n ppp, 21 n 每项应带正号或负号，以 1,2,的顺序为标准来比较排列( n nppp aaa 21 21 n )的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231) n ppp, 21 312312 有 2 个逆序，即 2 在 1 之前，3 在 1 之前,所以应带正号；而中 312312 332112 (213)的逆序为 1，因为这时只有 2 在 1 之前，所以应带负号。 2.2 行列式的性质 4 性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质 2 交换行列式的两行（列） ，行列式改变符号。 性质 3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于 0。 性质 4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个kk 行列式。 性质 5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 性质 6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是 0，那么这个行列式等于 0。 性质 7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于 0。 性质 8 设行列式的第 行元素都可以表示成Di , D 11121 1122 12 . . n iiiiinin nnnn aaa bcbcbc aaa 那么等于两个行列式与的和，其中的第 行元素是，的第DD 1 D 2 D 1 i 12 ,. iiin b bbD 2 行元素是，而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于列i 12 ,. iiin cccD 1 D 2 D 来说也成立。 性质 9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素 上，行列式不变。 2.3 行列式计算中的几种基本方法 2.3.1 三角形法 就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式， 而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例 1 计算级行列式n . . . . . n xaaa axaa Daaxa aaax 分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第列（行）都加n, 3 , 2 到第一列（行） （或第列（行）加到第列(行)） ，则第 1（或）列（行）121n，nn 的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解 1 (1).(1). (1). (1) () . (1). n n xnaaaxnaaa xnaxaxa Dxnaxa xnaaxxa 2.3.2 加边法或升级法 例 2 计算级行列式n 1 2 3 . . . . . n n abbb babb Dbbab bbba (,1,2,., ) i ba in 分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不变的bbb, 情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法） ，适当选择所增加行（或列）的元素， 使得下一步化简后出现大量的零元素. 解 1 2 1. 0 0 0 n n bbb abb Dbab bba 升级 1 2 1 100 100 100 n bbb ab ab ab 1 1 2 1 n n bb bbb abab ab ab ab 12 1 1 1()()() n n i i bab abab ab 2.3.3 递推法或数学归纳法 例 3 计算级行列式n 21000 12100 01200 . 00021 00012 n D 分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第 1 行（列）或第行（列）展开得到n 两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解 1 2 112 11000 02100 01200 12( 1) ( 1)2 00021 00012 nnnn DDDD 按第行展开 直接递推不易得到结果（按低级是可以的） ，变形得 121 12(1)2(1)1. nnn DDDDnnn 3 行列式的一种特殊类型Vandermonde 行列式 定义 2 我们把型如 = n V 12 111 12 11.1 . . n nnn n aaa aaa 1 () ij j i n aa 的行列式叫做 Vandermonde 行列式，其中表示这个数码的 1 () ij j i n aa 12 ,. iiin aaan 所有可能（， ）因子共项的乘积（） 。 ij aaji 2 n c2n 3.1 Vandermonde 行列式的证法 方法一、消元法 6 证：从第行开始，每一行加上前一行的倍。根据行列式的性质可知行列式n 1 a 的值不变，此时有 = n V )()(.)(0 )()(.)(0 . .0 11.11 1 2 11 2 112 2 2 1 3 11 3 112 3 2 11112 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n nn n n n n n nn n n n nn =1 )()(.)( )()(.)( . 1 2 11 2 112 2 2 1 3 11 3 112 3 2 11112 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n nn n n n n n nn n n n nn （按行列式首项展开得到） (2) 21111 ().()() nn aaaaaa 231 3333 231 2222 231 11.11 . . . . nn nnnn nn nnnn nn aaaa aaaa aaaa 注意到行列式（2）是阶 Vandermonde 行列式，即已经将用表示出来。1n 1n V n V 1n V 重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到： 1n V =（） ()() 1n V ( 21 aa) 111 ()() nn aaaa 32122 ().() nn aaaaaa 1nn aa = 即证。 1 () ij j i n aa 方法二：数学归纳法 证：当时,成立。假设对于阶成立，对于阶有：首先要把2n 221 Vaa1n n 降阶，从第 n 行起后一行减去前一行的倍，然后按第一行进行展开，就有 n V 1 a ，于是就有=，其中表示连乘， 213111 ()().() nnn Vaaaaaa V n V() ij aa 的取值为，原命题得证。, i j2jin 方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。 3.2 Vandermonde 行列式的性质 3.2.1 推广的性质定理：行列式 7 = = (k=0,1,2n-1), 1k V 12 222 12 111 12 111 12 12 11.1 . . . . . n n kkk n kkk n nnn n xxx xxx xxx xxx xxx 12 12. . n k n k ppp p pp x xxV 其中是中（）个数的一个正序排列。表示对所有（ 12 ,. n k p pp 1,2,.nnk 12.n k p pp ）阶排列求和。nk 证：（i）在行列式中增补第（）行和（）列相应的元素考 11,2 (.) kn Vx xx 1k 1n 虑（）阶 Vandermonde 行列式1n 12 1111 12 12 12 1111 12 12 11.11 . . . ( )( ,., ) . . . . n kkkk n nkkkk n kkkk n nnnn n xxxx xxxx f xV x xxx xxxx xxxx xxxx = 213111 ()().()() n xxxxxxxx 3222 ().()() n xxxxxx () n xx = (*) 12 1 ()().()() nij j i n xxxxxxxx (ii)由(*)式的两端分别计算多项式中项的系数，在(*)左端，由行列式计算： k x 的系数为行列式中该元素对应的代数余子式，在(*)式右端，由多项 k x 1 ( 1)k n k V 式计算为的个不同根。根据根与系数的关系，项的系数为 12 ,. n x xx( )0f x n k x ， 12 12 ,.1 ( 1).(x -x )(0,1,2.1) n k n k n k n kpppij pppj i n ax xxkn 其中是 1，2中（）个数的一个正序排列，表示对所有（ 12 ,. n k p pp nnk 12 ,. n k ppp ）阶排列求和。nk （iii）比较中项的系数，计算行列式，因为(*)式左右两端项系数应)(xf k x 1 k V k x 该相等，所以 12 12 1 ,.1 ( 1)( 1).(x -x ) n k n k k nn k kpppij pppj i n Vx xx 即 （*） 12 12 1 ,.1 .(x -x ) n k n k kpppij pppj i n Vx xx 12 12 1 ,. ( 1).(0,1,2.1) n k n k n k kppp ppp Vx xxV kn 定理得证。 利用此性质定理可以计算各阶准 Vandermonde 行列式，简便易行。特别，当时，kn 令=1， （*）式即为 Vandermonde 行列式 V。 0 p 例 4 计算准 Vandermonde 行列式 123456 222222 123456 4444444 123456 555555 123456 666666 123456 111111 aaaaaa aaaaaa V aaaaaa aaaaaa aaaaaa 解 由定理，=6,=3,所以nk = 123 123 4 16 () pppij p p pj i Va a aaa . 123124456 16 (.)() ij j i a a aa a aa a aaa 3.2.2 一个 Vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件是中至少有两个相 12 , n x xx 等. 3.2.3 Vandermonde 行列式的偏导数. 8 定理 ， 12 1 ( ,)() nij j i n F x xxxx 由 Vandermonde 行列式的定义知，是的元函数. 12 ( ,) n F x xx 12 , n x xx n 例 5 设是个两两互异的数，证明对任意个数，存在唯一 12 , n a aa nn 12 , n b bb 的次数小于的多项式n ， 1 ( ) n j i ij i ij xa L xb aa 使得，.( ) ii L ab1in 证 从定义容易看出的次数小于，且( )L xn ，( ) ii L ab 故只需证明唯一性即可. 设满足 21 0121 ( ) n n f xcc xc xcx ，即( ) ii f ab1in ， 21 01 112111 21 02 122212 21 0121 n n n n n nnnnn ca ca cacb ca ca cacb ca ca cacb 这个关于的线性方程组系数行列式为 011 , n c cc ， 21 111 21 222 21 1 1 1 n n n nnn aaa aaa aaa 1 ()0 ij j i n aa 故是唯一的，必须 011 , n c cc .( )( )f xL x 这就是有名的拉格朗日插值公式。 例 6 设是个复系数多项式，满足 12 ( ),( ),( ) n f xfxfx1n . 12 121 1()()() nnnnn n xxfxxfxxfx 证明： . 121 (1)(1)(1)0 n fff 证：设，取 2 121 ()()() nnnn n f xxfxxfx 1 ( )(1) n p xxx ，分别以代入，可得 22 cossinwi nn 21 , n xw ww ，这个关于的齐次线 2 121 22(2) 121 1(1)(2) 121 (1)(1)(1)0 (1)(1)(1)0 (1)(1)(1)0 n n n n nnn n fwfwf fw fwf fwfwf 121 (1),(1),(1) n fff 性方程组的系数行列式为 ， 2 22(2) 1(1)(2) 1 1 0 1 n n nnn ww ww ww 因此. 121 (1)(1)(1)0 n fff 3.3 Vandermonde 行列式的翻转与变形. 3.3.1 将 Vandermonde 行列式逆时针旋转，得90 . 1 1(1) 11 2 1 11 1 1 ( 1) 1 n nn nn n nn n n xx xx D xx 3.3.2 将 Vandermonde 行列式顺时针旋转，得90 . 1 11 1(1) 22 2 1 1 1 ( 1) 1 n nn n n n nn xx xx D xx 3.3.3 将 Vandermonde 行列式旋转，得180 . 111 11 11 111 nnn nn n n xxx D xxx 34 Vandermonde 行列式的应用 3.4.1 Vandermonde 行列式在 Cramer 法则中的应用. 例 7 设是互不相同的数，求解下面的方程组, 21n aaa . 1 1 2 1 21 1 1 2211 21 1 n n n n nn nn n bxaxaxa bxaxaxa xxx 解： 系数行列式为 11 2 1 1 21 111 n n nn n aaa aaa D nij ji aa 1 )( ，其中，所以 k D nij ji aa 1 )(bak ，. )()() 1( )()()( 11 111 knkkkkk nkkk k aaaaaaa babaabab D D x nk, 2 , 1 3.4.2 如何利用 Vandermonde 行列式计算行列式 6 法一 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与 Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列好似性质（如提取公因式，调换各行 （列）的次序等）将行列式化为 Vandermonde 行列式。 例 8 计算 n n n nnn D 2 2 222 111 解： n D 12 12 1 2221 1111 ! n n nnn n )1()2()24)(23() 1() 13)(12( !nnnnn . ! 1! 2)!2()!1(!nnn 法二 利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的 Vandermonde 行列式。 例 9 计算阶行列式) 1( n ，其中， （ n n n nnn n nn n n n n nnnnn nnnnn n bbababaa bbababaa bbababaa D 1 1 11 2 1 2 11 1 11 2 1 22 2 2 2 22 1 22 1 1 11 2 1 2 11 1 11 1 0 i b0 i a ）.1, 2 , 1ni 解：提取各行的公因式，得到 1n D （Vandermonde 行列式） 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 211 )(1 )(1 )(1 n n n n n n n n n nn n a b a b a b a b a b a b aaaD 上式右端行列式是以新元素为列元素的 阶 Vandermonde 行列式， 1 1 2 2 1 1 , n n a b a b a b 1n 所以 =. 1n D n n nn aaa 21 11 )( nij j j i i a b a b 法三 如阶行列式的第 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两n n Di 行（列）均含有相同分行（列） ，且中含有个分行（列）组成的 Vandermonde 行 n Dn 列式，那么将的第 行（列）乘以（）加到（）行（列） ，消除一些分行 n Di 1 1i （列） ，即可化成 Vandermonde 行列式。 例 10 计算行列式 =. 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 3 2 22 1 3 1 2 4 2 43 2 32 2 21 2 1 4321 sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin sin1sin1sin1sin1 1111 解：在 的第 2 行中去掉与第一行成比例的分行，得到 4 = 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 3 2 22 1 3 1 2 4 2 43 2 32 2 21 2 1 4321 sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsin 1111 在上面行列式的第 3 行中去掉与第 2 行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新 行列式的第 4 行中去掉与第 3 行成比例的分行，得到 =. 4 4 3 3 3 2 32 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4321 sinsinsinsin sinsinsinsin sinsinsinsin 1111 41 )sin(sin ij ji 法四 各行（列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可 用各种方法化成 Vandermonde 行列式。下面用加边法。 例 11 （缺行 Vandermonde 行列式） 1 . n n nn i n ii i n ii n in xxx xxx xxx xxx D 21 11 2 1 1 11 2 1 1 21 , 111 解：注意此行列式与 Vandermonde 行列式的区别在于的幂跳过，我们自然会 j x i j x 想到把缺了的幂补起来，再利用 Vandermonde 行列式，故令 nn n nn ii n ii n nn zxxx zxxx zxxx zxxxV 21 21 21 211 1111 ),( =),()()( 2121nnn xxxVxzxzxz =.),( 21nn xxxV n i i in in z 0 ) 1( 另一方面，对按最后一列进行 Laplace 展开，可知的代数余子),( 211 zxxxV nn i z 式是.因此视为的多项式，则应是的系 in in D ) 1( , ),( 211 zxxxV nn z in in D ) 1( , i z 数，故 （的系数） in in D ) 1( , i z ),( 21nnin xxxV . in nij ji xx 1 )( 注 1 缺行 Vandermonde 行列式也叫做超 Vandermonde 行列式或准 Vandermonde 行列式。 注 2 利用此例中的添加一些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超 Vandermonde 行列式，及其他行列式。 注意当时，故也含因子。特别，知 ik xx in D , 0 in D ,ik xx .因和都是齐次及对称多项),(),( 2121,nnnin xxxfxxxV