新世纪（版）数学（九年级下册）教材编写说明课件

1 新世纪（版）数学（九年级下册）教材编写说明 数学（79年级）教材编写组 第一章直角三角形的边角关系 一、本章内容及教育价值一、本章内容及教育价值 本章的内容 1、从梯子的倾斜程度谈起 2、30、45、60角的三角函数值 3、三角函数的有关计算 4、船有触礁的危险吗？ 回顾与思考 教育价值 直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数 在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇 到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三 角形中边和角的关系问题。 研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式 表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想 方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。 通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如 比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性 地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。 二、教学目标二、教学目标 1使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索 30、45、60角的三角函数值 的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力； 2理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明； 3会计算包括 30、45、60角的三角函数值的问题； 4能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角； 5能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析 问题和解决问题的能力； 6体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。 三、设计思路三、设计思路 2 本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数正切。因为相比之下，正 切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余 弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。 接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角 30、45、60角的三角函数值的问题。 对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从 角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。 利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？ ”一节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。 四、具体内容分析及教学、评价建议四、具体内容分析及教学、评价建议 第一节第一节 从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起 由梯子的倾斜程度问题引出锐角三角函数正切。 情境问题： 开放性问题，主要看学生是否能够说出理由。如，因为梯子的高度 AC、ED 相 等，可以用 BC、FD 的距离判断梯子的倾斜程度等。 从直观上不易进行判断，引导学生用对边和邻边之比。 P3 想一想 通过研究有一个公共角的两个直角三角形的关系（相似） ，得出两直角边比的关系，使 学生理解当锐角固定时，它的对边与邻边的比值也固定这一事实。 定义正切： 由于直角三角形中的锐 A 确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，故定义此确定 之比为角 A 的正切，并用符号 tanA 表示。 P4 议一议 用正切可以刻画梯子的倾斜程度。 引导学生进一步议论出正切的值与梯子倾斜程度之间的关系。 例 1 通过计算正切值，判断梯子的倾斜程度。 正切还经常应用于另一很实用的概念对山坡坡度的刻画。 在正切的基础上，继续拓展到直角三角形其它边之间的比，由说理引出正弦和余弦，以 及它们的符号表示。 建议使学生进行充分的讨论、说理。 想一想 用正弦和余弦也可以刻画梯子的倾斜程度，引导学生进一步讨论出正弦和余弦的值与 梯子倾斜程度之间的关系。 P8 做一做 通过做此练习，让学生体会互余的两个角的正弦、余弦有如下关系： sinA=cos（90o-A） 第二节第二节 30、45、60角的三角函数角的三角函数值值 由常用的、学生熟悉的三角板引入 30、45、60角的三角函数值的问题，首先讨 论 30角的三角函数值。 情境问题： 3 可以根据“30的角所对的直角边是斜边的 1/2”。 利用直角三角形的边角关系。 P10 做一做 继续讨论 45、60角的三角函数值，关注学生如何进行说理，关注学生是否能够在 理解的基础上进行记忆。 例 2 可以引导学生自己画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 第三节第三节 三角函数的有关计算三角函数的有关计算 情境问题： 由需要计算缆车上升高度的问题，引出一般锐角的三角函数值的问题，计算一般锐角 的三角函数值需要计算器的帮助。 P15 想一想 如上升的高度、水平的距离等。 其中点 B 到点 D 的垂直距离为 200sin42o，水平距离为 200cos42o。 情境问题： 引出需要计算角度的问题； 根据直角三角形的边求角，要借助于计算器。 例 2 这是一个实际应用问题，确实需要知道角度，而这一角度又不易测量。如有可能，提 供给学生更多的实际问题。 第四节第四节 船有触礁的危船有触礁的危险吗险吗？ 情境问题： 提供充分的机会让学生进行讨论，关注学生是否理解问题，如方位角等；关注学生如何 把实际问题转化为数学问题，是否能够画出示意图；关注学生是否能够选择适当的三角函 数使问题得到解决。 实习作业实习作业 教学目标教学目标 1经历设计实习方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量及撰写实习报告的过程； 2能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得 出符合实际的结果； 3能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题； 4培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。 教学建议教学建议 1将学生分组，各组分头准备测量所需的仪器； 2由学生自己设计实习报告，教师给予必要的指导； 3实习内容尽量安排那些学生比较熟悉、且易于开展小组活动，并能保证完成实习任务的 问题； 4在实习作业课期间，教师应在现场观察、指导各组的活动，同时教师应作必要的记录。 评价建议评价建议 1关注学生是否积极地投入到实习活动中去，如准备测量仪器、设计实习方案等，并能够 在实习活动中积极想办法、克服困难、有合作精神等； 2关注学生是否能够对所得到的数据进行分析、修改，最终得到比较符合实际的结果； 3关注学生是否能够综合运用包括直角三角形边角关系的知识解决实际问题； 4 4关注学生的实习报告是否能够真实地反映学生的活动过程，并且能够提出有价值的问题。 第二章第二章 二次函数二次函数 一、本章内容及教育价值一、本章内容及教育价值 本章内容： 1二次函数所描述的关系 2结识抛物线 3刹车距离与二次函数 4二次函数 y = a x2 + b x + c 的图象 5 用三种方式表示二次函数 6何时获得最大利润 7最大面积是多少 8二次函数与一元二次方程 回顾与思考 教育价值： 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略(Galileo Galilei)所 发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动 的最好例证，是最重要的物理学公式之一。 二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大 面积等实际问题。 二次函数曲线抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷 等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛 物线型隧道等。 和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数 的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 二、教学目标二、教学目标 1使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用 数学的方法去描述变量之间的数量关系； 2能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言 表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系； 3会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般 函数性质的经验； 4能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标； 5理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程的近 5 似解； 6能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测。 三、设计思路三、设计思路 对二次函数的学习，应该通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、广泛联系多 学科的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。对二次函数 的学习，应该通过学生的探究性活动（经历数学化的过程） ，通过学生之间的合作与交流。 因此本章安排了尽可能丰富的素材和大量的学生活动，具体的做法如下： 1通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系 的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系； 2对二次函数性质的研究，采用的是利用图象的、直观的、非形式化的研究方法，通过学 生自己的探索活动（联系、对比、概括和反思等） ，达到对抛物线自身特点的认识和对二次 函数性质的理解； 3对二次函数图象的研究，是从 y = x2开始，然后是 y =ax2、y =ax2+c、y =a（x-h）2+k、y =a x2 + b x + c 的从简单到复杂、特殊到一般的过程； 4在对图象研究的过程中，也穿插实际应用问题，如函数图象与刹车距离、两个吊桥最低 点之间的距离等，把图象直观与实际意义相联系； 5用表格、关系式、图象的多种方法表示二次函数，使学生会用多种方式表示函数、并体 会函数的各种表示之间的联系和特点； 6设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实际问题，发展 学生的数学应用能力； 7建立一元二次方程的求解问题与二次函数之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解。 四、具体内容分析及教学、评价建议四、具体内容分析及教学、评价建议 第一节第一节 二次函数所描述的关系二次函数所描述的关系 由种橙子的问题引出二次函数，体现二次函数是对现实问题中一类变量之间关系的描 述； 以问题串的形式，引导学生逐步得到橙子的总产量与橙子树的关系表达式； 给出橙子的总产量与橙子树的关系表达式； 利用“想一想” ，提出进一步的最大产量的问题； 用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后； 在“做一做”的活动中，把两年后的本息和 y 与年利率 x 的关系表示为二次函数； 在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系 式； 通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所 描述的关系。 6 第二节第二节 结识抛物线结识抛物线 研究二次函数的图象，并通过图象，对二次函数的性质进行研究； 本节首先研究 y=x2的图象； 观察 y=x2的表达式，选点描图； 讨论图象的形状、对称性、与 x 轴的交点、增减性、最小值等。 在 y=x2的图象的基础上，研究 y=-x2的图象和本身的性质，注意图象之间的联系，以 及图象与表达式之间的联系； 利用“读一读” ，帮助学生体会二次函数的广泛应用； 习题 2.2 中的第一题，使学生体会抛物线在自然界的普遍存在性。 第三节第三节 刹车距离与二次函数刹车距离与二次函数 （研究二次项系数 a 对图象的影响和图象的上、下平移） 提出汽车刹车距离与车速之间关系的问题，分别给出晴天、雨天的计算公式，它们是 二次函数； 给出 s = v2的图象，由学生作出 s = v2的图象，从中体会两图象之间的关系， 100 1 50 1 体会二次项系数对这个实际问题的影响； 作 y=2x2的图象，分析它与 y=x2的图象的关系及本身的性质； 讨论 y=2x2 +1 的图象，分析它与 y=2x2的图象的关系及本身的性质； 讨论 y=3x2 -1 的图象，分析它与 y=3x2的图象的关系及本身的性质。 第四节第四节 二次函数二次函数 y=ax2 +bx+c 的的图图象象 （一、研究图象的左右、及上下平移）（一、研究图象的左右、及上下平移） 作 y=3（x-1）2 的图象，分析它与 y=3x2的图象的关系及本身的性质； 作 y=3（x-1）2 +2 的图象，分析它与 y=3（x-1）2的图象的关系及本身的性质； 讨论 y=3x2、 y=3（x+1）2 ， y=3（x+1）2 +4 等图象的关系及本身的性质，体会函数 图象的平移； 对 y=a（x-h）2 +k 形式的二次函数图象的性质进行小结。 （二、研究函数的对称轴和顶点坐标公式） 以桥梁钢缆的表达式，给出二次函数的一般形式 y=ax2 +bx+c，并通过讨论得出由配方 法将 y=ax2 +bx+c 的形式化为 y=a（x-h）2 +k 的形式，由此引出推导一个求抛物线的对称轴 和顶点坐标公式的必要性； 推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式； 运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式。 第五节第五节 用三种方式表示二次函数用三种方式表示二次函数 分别用表达式、表格、图象表示长方形的面积 y 与它的一边长 x 之间的关系； 结合背景，讨论函数性质（取值范围等） ，注意不同表达方式的不同作用和它们之间的 联系； 分别用表达式、表格、图象表示两数积 y 与其中一数 x 之间的关系； 讨论函数性质，注意不同表达方式的不同作用和它们之间的联系； 讨论三种表达方式的各自特点和它们之间的联系。 7 通过本节内容的学习，可以帮助学生体会： 可以用多种方式表示函数； 不同的表示有不同的特点； 不同的表示之间具有联系。 习题“试一试”的内容是探索规律（规律可以用二次函数形式表示出来） ，问题具有层 次性。建议教师鼓励学生进行探索。根据情况，可以作为一次课题学习活动。 第六节第六节 何时获得最大利润何时获得最大利润 解决 T 恤衫的单价问题，考虑到学生对于问题的理解，将问题分为若干步。学生最终 可以得到，当销售单价是 8.75 元时，可以获得最大利润，最大利润是 7312.5 元； 解决本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题； 继续通过随堂练习和习题解决问题。 第七节第七节 最大面积是多少最大面积是多少 解决三角形内部的“长方形的最大面积”问题，考虑到学生对于问题的理解，将问题 分为三步，其中第三步是以“议一议”的形式呈现； 解决“窗户的最大透光面积”问题； 小结解决实际问题的思路、过程。 通过这两节课的学习，学生可以体会二次函数是一类最优化问题的数学模型、学习用二 次函数的知识解决实际问题、小结解决实际问题的思路、过程，并进一步感受数学的应用价 值。 第八节第八节 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 第一课时： 以计算“竖直上抛物体的落地时间”引出二次函数与一元二次方程的关系； 讨论二次函数的图象与 x 轴交点的情况，以及它们和相应的一元二次方程的根的关系； 利用“想一想” ，拓展图象与 x 轴的交点到与任一条水平直线的交点； 通过“随堂练习”和“习题”帮助学生进一步理解二次函数与一元二次方程的关系； 注意引导学生体会本问题中方程的根的实际意义。 第二课时： 提出问题：利用二次函数图象估计方程的根，注意本书只取到十分位； 讨论并求出方程 x2+2x-10=0 的近似解； 用一元二次方程的求根公式进行验证； 利用图象法求出方程 x2+2x-10=3 的近似解； 利用图象法求出方程-2x2+2x-10=3 的近似解； 课题学习：拱桥设计课题学习：拱桥设计 某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽 100 米的河 流，河面距所要架设的公路桥的高度是 50 米，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型 拱桥是最好的选择。 8 按照专家的建议，设计一座横跨峡谷的公路桥。 教学目标教学目标 1经历分析和用所学知识数学地表示桥拱的过程，发展应用数学解决问题的能力，体会数 学与生活的密切联系和数学的应用价值； 2经历查阅资料或访问专家获得和分析信息、制作设计图或制作模型、以及撰写研究报告 的过程，获得科学研究的体验、培养科学精神； 3能够利用二次函数的知识对桥拱的形状进行分析和表示； 4能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流的过程中对自己的观点进行有 条理地论述。 设计思路设计思路 本课题学习是为了使学生经历研究性学习的过程，体会数学在建筑上的应用，并把所 学二次函数的知识运用到桥梁设计上。 学生在进行桥梁设计的过程中，要经历查阅资料、访问专家、进行计算与设计、撰写 研究报告、交流与改进等过程，从而发展科学态度和人文精神。 几点说明几点说明 观察家乡附近的桥梁、查找资料、访问专家： 如资料：拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥以其跨越能力大、造型优美灵活、可 雄伟壮观、可小巧玲珑，不仅在中国，而且在世界上均为建筑历史最悠久、建设数量最多 的主要桥型之一。 据不完全统计，中国已建单跨 100m 以上的拱桥 115 座，远高于其它类型的桥梁， 拱桥是中国公路桥梁的主导桥梁。 拱桥根据拱轴线的不同，一般可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥。拱轴线 的选择主要根据的是力学上的分析，另外还有桥的跨度、施工条件等方面因素的考虑。 （） 画设计图并表注数据； 如有条件，可以制作模型； 在全班的交流会上，展示所收集到的图片、桥梁轶事、设计图、模型等，并报告设计 思路、设计过程、桥梁的表达式等； 听取同学、教师或专家的意见，并回答他们的问题； 改进设计，加入个人的评语或心得，把使自己满意的设计结果放入成长记录袋。 教学建议 1拱桥设计问题是原始问题，和通常所习惯的数学问题不同，已知条件并不由题目直接给 出，而要学生根据设计需要自行确定，因此最好让学生自己说一说理由。 2让学生经历从调研、设计到汇报、改进、评价的全过程，获得科学研究的体验，并对学 生的活动给予帮助和建议。 3可以让学生以小组合作的方式完成，并鼓励各小组之间的交流。 9 课题学习：设计遮阳蓬课题学习：设计遮阳蓬 你能设计一个遮阳蓬，使得这个装置能够阻挡夏天炎热的太阳光射入室内，又能使 冬天温暖的阳光最大限度地射入室内吗？ 教学目标教学目标 1经历把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程， 发展数学应用的能力，并体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值； 2经历查阅资料或实地测量获得所需数据、动手制作模型和撰写研究报告的过程，获得科 学研究的体验、培养科学精神； 3能够综合运用数学、地理或其它学科的知识解决生活中的问题，发展社会责任感； 设计思路设计思路 本课题学习是为了学生能够综合运用所学知识，如三角函数、圆、抛物线等数学知识 及地理知识等解决实际问题，体会到数学是一门具有广泛联系的学科，数学是一门十分有 用的学科。 在解决问题的过程中，学生要经历查阅资料、收集和分析信息、实地测量、提出设想、 画图、动手制作模型等过程，在此过程中，学生将获得科学研究的体验，以及发扬与同伴 合作和克服困难的精神，使他们的自信心得到发展。 本课题学习也是为了使学生经历将实际问题数学化，即将实际问题简单化、用所学数 学知识表示实际问题、进行数学计算或数学推理、得到数学结论、回到实际进行检验的数 学建模过程。数学建模是解决问题的过程，也是重要的学习数学、体会数学思想方法的过 程。 几点说明几点说明 一、制定解决问题的方案 在这个问题中，有哪些条件需要由我们自己去寻找？有哪些条件我们可以简化？如何 用数学的方式表示遮阳蓬的位置和大小？ 我们将如何分工与合作？我们以何种形式报告我们的研究结果？我们是否可以为家里 设计一个遮阳蓬？ 二、查资料（需要知道太阳在北纬不同纬度及不同季节的入射角） 三、假设（将问题简单化，用字母进行表示） 1地处北纬 400地区，窗户的方向朝南； 2选夏至和冬至的太阳入射角（，）作为代表； 3窗户的高度用 w 表示。 四、分析（寻找变量之间的关系） 五、建立数学表达式及求解 六、将结果推广到一般形式（数学模型） 七、动手实践活动 10 你能否为需要遮阳装置的房间真正制作一个遮阳蓬？ 你能否对周围建筑物的遮阳装置提出改进建议？ 你能否利用模型制作展示你的设计？ 教学建议 1实际应用问题和通常所习惯的数学问题不同，实际应用问题的条件往往不是直接给出的， 要引导学生自己分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，以及可以进行怎样的假设，如假 设窗户的朝向等； 2在建立量与量之间的关系时，注意要引导学生将复杂问题简单化，即舍弃一些次重要的 因素，抓住主要的矛盾，作出合理的假设，并在此基础上寻求最合理的答案，如以冬至和 夏至的日照角度为准来考虑和解决遮阳蓬的设计问题等。通过解决实际问题的数学活动， 学生要逐渐地习惯这种先把问题理想化，然后建立数学模型的过程； 3鼓励学生自己通过查阅资料或进行实地测量获得数据，为解决问题提供必需的条件； 4鼓励学生把所得到的结果推广到一般化，或将问题进一步延伸与拓展。 第三章第三章 圆圆 一、本章的内容及教育价值一、本章的内容及教育价值 圆属于空间与图形这部分内容，同时它也是新世纪版教材中安排到最后一章内容。在 前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识 图形的性质，而且在小学和学习变换等知识时，已经了积累了大量的有关圆这部分的经验， 本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本 身的性质，圆中的量之间的关系，圆与直线，圆与圆之间的位置关系以及圆中有关量的计 算等方面，加强对于圆的认识。本章所涉及的内容有这样几个方面： 1、车轮为什么是圆的？ 2、圆的对称性 3、圆周角和圆心角 4、确定圆的条件 5、直线与圆的位置关系 6、圆与圆的位置关系 7、弧长及扇形的面积 8、圆锥的侧面积和全面积 圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的 价值。由于圆既是中心对称图形又是轴对称图形。学生可以通过多种方式来认识它们，这 样有助于培养学生的数学能力。同时，圆的有关性质的探索是通过多种方法进行的，这样 有助于学生形成基本的数学思想和方法。这些基本的数学思想方法有： 对称、变换思想：圆的轴对称性、中心对称性、平移、旋转等方式。 推理思想：由对称性及其其它的方法来验证圆的有关结论。 分类归纳思想：将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学 生形成分类讨论的思想。确定圆的条件，使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想 11 算法思想：弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是 让学生去进行探索、类比、归纳。不仅仅要求学生会计算，而且应该理解公式及其算法的 意义。 二、教学目标及设计思路二、教学目标及设计思路 三、具体内容分析及教学、评价建议三、具体内容分析及教学、评价建议 第一节第一节 车轮为什么是圆形的？车轮为什么是圆形的？ 1、通过车轮的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形。通过本章的学习，要达到如 下几个教学目标： 1、 使学生经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力。 2、 认识圆的轴对称性和中心对称性。 3、 认识弧、弦、圆心角的关系并结合其它的方法探索出垂经定理、圆周角与圆心角的关 系，直径所对的圆周角的特征。 4、 探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。 5、 了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的 切线，会过圆上一点画圆的切线。 6、 进一步认识和理解研究图形性质的各种方法。 具体来讲，圆这部分内容是按照这样的设计思路展开的： 本章是在学习了直线型图形的有关性质和证明的基础上，来探索一种特殊的曲线 形圆的有关性质。学生在已有的大量的空间与图形经验基础上，通过折纸、对称、平 移、旋转、推理等认识图形的性质。在本章设计中，充分体现学生已有的经验，在探索圆 的垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角和圆心角之间的关系时，充分利用多种方式 来认识、验证有关的性质 在“车轮为什么是圆的？ ”这一节，主要是让学生通过实例来归纳出圆的定义。 虽然小学阶段，学生已经具有了圆的有关的知识，但还没有抽象出“平面上到定点的 距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 ”的概念。本节主要使学生体会圆的概念的 形成过程。 圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，这一点在前几册学 习对称性时，学生已经有所了解。本章安排圆的对称性主要是借助于圆的轴对称性，去 探索垂经定理；借助于圆的中心对称性去探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系。而且由 对称性可以尝试用其它的方法来验证有关的结论。 在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系， 让学生形成分类讨论的思想。确定圆的条件，不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体 会到在画圆中所体现的归纳的思想。 通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是圆的切线的形 成，通过旋转，使学生明确在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力。 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学 生去进行探索、类比、归纳。弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积 公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇 12 形的计算公式而得出的。因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节 不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义。 2、通过“ 议一议”的活动，使学生体会圆的形成过程。从而得出圆的概念。 3、通过投镖的情景引入点与圆的位置关系。教学中不要求学生去精确地测量这些线段的长 度，只要求有一个大小估计就可以了。 4、圆的概念不要求记忆，只要求借助于情景去理解。 第二节第二节 圆的对称性圆的对称性 1、通过折叠、作图等方法，探索圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。 2、做一做主要是考查复合图形的轴对称性。并鼓励学生用多种方法探索圆中的等量关系 3、利用轴对称性探索圆的垂径定理及其逆定理，了解弧、弦、圆心角的关系。 4、对于教材上所展示的证明，要求学生能看懂，并不一定会证。好的学生可以自己给出证 明。 5、利用垂经定理及弧、弦、圆心角的关系进行简单的计算和推理 P87 做一做说明 在探索的过程中，学生可以发现有很多等量关系： AOB=A OB（已知） ， OAOBO A O B（半径） ， OAB=OBA= OA B O BA（两个全等的等腰三角形） AB=AB(弧)，AB=AB（旋转重合） 6、明确在探究过程中所使用的方法 P88议一议 要引导学生学会数学思考的方法，本节主要涉及到了用旋转的方法证明了圆的中心对称性， 并用中心对称得出了圆中的圆心角、弦、弧的对应相等关系。同时还应用了证明的方法。 第三节第三节 圆周角与圆心角圆周角与圆心角 1、 经历探索圆周角与圆心角之间关系的过程 2、 利用圆周角与圆心角之间的关系，能进行简单的计算和推理。 3、在探索同圆中同弧上的圆周角和圆心角之间的关系时，分三种情况进行讨论：从特殊到 一般，使学生进一步体会分类、归纳等数学思想方法。 P91 情景问题的说明 通过类比的方式，引导学生考虑在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角的有什么关 系。学生可能通过测量的方法得到这些圆周角大小相等。教师要引导他们探究其它的方法。 P96 议一议 类比的方法将圆周角的学习与圆心角的学习进行类比 归纳的方法归纳出了在同圆中同弧上的圆周角和圆心角的三种位置关系 测量的方法通过测量推出圆周角的一些特征 第四节第四节 经过三点作一个圆经过三点作一个圆 1、 经历过不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。 2、 会经过不在同一条直线上的三点作一个圆。 3、了解三角形的外接圆、三角形的外心的概念。 P99 做一做 在作的时候，是先从最少的点作起，然后逐步增多。在作图的过程中，关键是让学生思 考作圆的关键因素：圆心和半径。利用的是线段垂直平方线的有关知识，先让学生确定圆 心的位置，确定了圆心后，半径才能够确定。 13 第五节第五节 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1、使学生经历探索直线与圆位置关系的过程。 2、利用平移的方法去探索并了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。 3、了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切 线，会过圆上一点画圆的切线。 P104 议一议 1.让学生体会一个圆是轴对称图形，一条直线和圆组成的图形也是轴对称图形，对称轴过 圆心且垂直于这条直线； 2.通过对问题（3）的研究，得出圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径； 3.就小亮的想法，教师可以指出这是反证法，对于一个几何命题当用直接证法比较困难时， 可以采用间接证法，反证法就是一种间接证法. P108 例 2 1教师可以提出几个问题，引导学生通过分析寻找作图思路：（1）作圆的关键是什么？ （2）所要求作的圆的圆心应满足什么条件？ 2要求学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆概念比较，弄清 “接”与“切”的意思. 第六节第六节 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1、使学生经历探索、猜测两个圆之间位置关系的过程； 2、借助于实例，使学生认识到在现实世界中两个圆之间有各种不同的位置关系. 3、使学生体会两圆内切、外切是轴对称图形，两圆位置关系（内切、外切）与两圆圆心距 d、半径R、r的数量关系的联系. P113 想一想 引导学生思考一个圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，有无数条，两个圆内切或 外切仍是轴对称图形，对称轴事实过两圆圆心的直线.实质上，只要是两个圆组成的图形都 是轴对称图形. P113 议一议 在理解两个圆也组成轴对称图形，对称轴是通过两圆圆心的直线之后，进一步分析两 圆的位置（外切、内切）与与两圆的圆心距 d、半径 R、r 的大小有关.把形的问题（两圆 的位置关系）转化为数的问题（两圆的圆心距 d、半径 R、r 的数量关系） ，也可以根据数 量关系确定两圆的位置关系. 第七节第七节 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积 1、 会利用公式进行计算，并会用公式解决问题。 2、联系小学圆的周长的计算公式的基础上，借助于情景，引出弧长的计算公式 3、在计算时，要注意公式中n的意义。n表示10的圆心角的倍数. 4、 引导学生探究弧长公式时，必须使学生理解：圆心角是10的弧长等于圆周长的，这是 建立弧长公式的关键。 5、扇形的面积的得出是以小学的圆面积的计算公式为基础的。圆心角是3600的扇形面积等 于圆面积，圆心角为n0的扇形面积等于圆面积的。 6、要求学生自己探索公式，在理解的基础上记忆公式，不要求学生死记硬背 第八节第八节 圆锥的侧面积圆锥的侧面积 1、 经历圆锥的侧面积公式计算的探索过程。会利用公式进行计算，并会解决实际问题。 2、让学生观察圆锥的曲面展开在一个平面上，是一个什么样的图形。回顾七年级上圆锥及 其侧面展开图之间的关系。 14 总之，在教学中要注意如下几点： 1、要使学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理等活动，帮助他们有意识地积 累活动经验，获得成功的体验。教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之 间的交流。 2、充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质。尽可能地 设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望。 3、圆的对称性、圆周角与圆心角的关系等内容中，要有意识地满足学生多样化的学习 要求。 4、在观察、操作和推理活动中，使学生有意识地归纳数学思想方法，发展学生的有条 理地思考，并能清晰地表达自己的发现。 5、评价时要关注学生思考方式的多样化，注重对学生观察、操作、探索圆的性质、推 理等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与程度、与同学合作与交流的意识、 思考与表达的条理性等； 6、对有关圆的概念的评价应侧重于通过实例是否理解概念；对于圆的有关性质的评价 应看学生是否借助于具体的思考方法去理解。对与圆有关的计算的评价，着重看学生是 否懂得了基本的算理。 7、在日常教学中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论，而且应该关注学生在各 种数学活动中的情感和态度，特别是学生在小组活动中的表现。对于学生在本章学习、 探索过程中出现的新的方法、新的作品，可以通过建立成长记录的形式，帮助学生在学 习过程和解决问题过程中的创意。 第四章第四章 统计与概率统计与概率 一、具体内容及其教育价值一、具体内容及其教育价值 经过前面几个学期的学习，学生已经基本独立地经历了统计的各个过程，已经亲身收 集过一些数据，掌握了数据表示和数据处理的一些方法，对一些现实问题作出了自己的评 判。应该说已经基本完成了初中阶段统计有关知识点的学习，感受到统计在现实生活中的 广泛应用。但现实生活中一些“人为”的统计数据和图表，可能会给人以各种错觉。因此， 我们还应授予学生对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑的 能力，以切实提高学生的统计抉择能力。当然，本册在这一点上，主要关注了图表易于造 成的一些“误导” 。 经过前面几个学期的学习，学生已经研究了随机事件及其概率的概念，掌握了随机事 件发生的概率的一些计算方法（包括理论计算和实验估算等） ，并通过具体的问题情境和实 践活动等，体会了概率的应用。应该说已经基本完成了初中阶段概率有关知识点的学习， 感受到概率在现实生活中的广泛应用。因此，本章力图对初中阶段概率知识作个回顾与整 理。同时我们认为，学生仅仅认识到现实生活中大量存在的随机现象以及一些简单的随机 事件发生的概率，还是远远不够的，例如学生可能认识到某些赌博或促销活动中获胜或获 奖的可能性，还未必就具有正确的评判能力和决策能力，应该给予学生一定的工具，让学 生评判某项活动是否“合算” ，而且判断一件事情的“合算”与否在现实生活中广泛存在， 15 它是概率的一个极为重要的应用。因此，我们设计了一个具体情境，力图让学生在具体情 境中感受“合算” ，并掌握一定的判断方法，提高其决策能力。当然，这本质上就是数学期 望。有人认为数学期望是否超出了初中学生的学力。我们认为，数学期望从思维要求上来 讲并未超出初中学生的学力水平，很多国家在初中阶段都教授数学期望这一概念。当然， 为了促进学生的理解，我们应该进行恰当的定位。 此外，我们认为，概率与统计是紧密联系的，它们互为基础。概率这一概念就是建立 在频率这一统计量稳定性的基础之上；而统计又离不开概率的理论支撑，统计推断、估计、 假设检验等统计方法的合理性、科学性都有赖于概率理论的严密性。为此，在本章的设计 中也力图体现两者的联系。 二、教学目标及其设计思路二、教学目标及其设计思路 本章试图要达到如下几个教学目标教学目标： 1 经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识和数据 处理能力。 2 经历调查、统计、研讨等活动，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识与能 力。 3 通过具体问题情境，进一步体会概率与统计知识的联系以及它们在现实生活中的 应用，增强学生的应用意识和能力 4 通过具体问题情景，让学生感受一些人为的数据及其表示方式可能造成的一些 “误导” ，提高学生对数据的认识和判断、应用能力。 5 通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算” ，并利用它对 现实生活中的一些现象进行评判。 为了体现上述的教学目标，在教材中的设计思路是这样的： 首先利用 50 年的变化这一主题，回顾数据表示与处理的手段，同时提醒学生注意数据 可能造成的一些“误导” 、图表可能易于引起的一些“错觉” ，从而提高学生对数据的认识 和判断、应用能力。然后，通过一个学生熟悉的情境“商场摇奖活动” ，引出学生对摇奖平 均收益的思考。这本质上是数学期望，但为了降低难度，教材中并未介绍数学期望这一概 念，而是通过实例让学生感知到某项活动的平均收益，而且仅仅介绍一些简单的有关离散 型随机变量的数学模型。此外，具体教学时，注重实验估算和理论计算相结合，并在这 2 块内容之间做了巧妙的过渡，加强其与平均数的联系，从而一方面促进了学生的理解，同 时也渗透了概率统计之间的联系。 当然，在具体教学素材的选取上，进一步体现实践性和可操作性原则，保证素材的真 实性、科学性和教学实施的可操作性。在素材呈现上，注意呈现方式的多样化和知识间的 前后联系。例如， “50 年的变化”一节中，通过一个主题，以我国 50 年来的各项数据为素 材，从不同的侧面反映我国 50 年的变化，让学生体会我国近年来的巨大成就。此外，本节 所有数据都来自国家统计局的相关网站，保证了数据的真实性。 三、具体内容分析及教学、评价建议三、具体内容分析及教学、评价建议 第一节第一节 5050 年的变化年的变化 教学目标：教学目标： 1 经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识和数据处理能 16 力。 2 经历调查、统计、研讨等活动，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识与能力。 3 通过具体问题情景，让学生感受一些人为的数据及其表示方式可能造成的一些“误导” ， 提高学生对数据的认识和判断、应用能力。 应该说，通过前面几个学期的统计学习，学生已经基本完成初中阶段统计有关知识的 学习，为此，本节力图利用一个主题，回顾统计的有关内容，如统计图表的选择与应用、 统计信息的获取、数据处理的一些量度及其计算方法等，当然，在其中同时也引人新知- 图表的误导。 具体地，第 1 课时利用“50 年的变化”这一主题，以我国 50 年来的各项数据为素材， 从不同的侧面反映我国 50 年的变化，让学生体会我国近年来的巨大成就；要求学生通过适 当的图表说明自己的观点，学生势必回顾以前所学的各种统计图表（条形统计图、扇形统 计图、折线统计图等） ，有选择地使用图表说明自己的观点，并在学生的交流中再次感受到 各种图表各自的优缺点，提高学生的图表的选择能力。进一步通过想一想和议一议等活动， 让学生通过两幅折线统计图的对比和讨论认识到，在比较两个统计量的变化趋势时，应注 意这两者的纵横坐标的一致性，从而提醒学生注意数据可能造成的一些“误导” 、图表可能 易于引起的一些“错觉” ，从而提高学生对数据的认识和判断、应用能力。第 2 课时，顺应 第一课时的“50 年的变化”这一主题，继续呈现有关 50 年的变化的有关信息，要求学生 从中读取信息并用适当的图表表示，并在此基础上进一步进行数据处理，研究有关统计量 度，这样进一步培养学生从图表获取信息和进行数据处理的能力。同时第 2 课时的内容既 回顾了加权平均数，也为第 2 节“哪种方式更合算”问题的解决打下了基础。 当然，具体教学时，还应结合学生的具体认知实际和生活实际有选择的选取素材。此 外也可以注意教学素材的来源方式的多样化，如可以让学生课前上网或到有关部门、有关 媒体 第二节第二节 哪种方式更合算哪种方式更合算 教学目标：教学目标： 1 经历问题解决的活动过程，并在活动中进一步发展学生的合作交流的意识与能力，增强 学生的数学应用意识和能力； 2 通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算” ，并利用它对现实生 活中的一些现象进行评判。 3 进一步体会概率与统计之间的联系。 日常生活中各种摇奖活动极为常见，通过以前的学习，学生可能已经认识到这些活动 中获胜或获奖的可能性，但还未必就具有正确的评判能力和决策能力，因此应该给予学生 一定的工具，让学生评判某项活动是否“合算” 。本节设计了一个具体情境，力图让学生在 具体情境中感受“合算” ，并掌握一定的判断方法，提高其决策能力，从而对现实生活中的 一些类似的现象进行评判。当然，这本质上就是数学期望，因而该知识具有一定的思维要 求，在素材选取时，教科书注意了知识的前后联系，选择了一个学生以前研究的问题情境 （摇奖活动） ，以降低学生问题解决的难度；同时在问题解决的过程中，又强调了学生的体 验，让学生首先通过实验获得初步的感受，再通过和前一节中加权平均数的联系，逐步获 得对问题的理论解释。 第三节第三节 游戏公平吗游戏公平吗 教学目标：教学目标： 1 通过具体问题情境，让学生进一步体会如何评判某件事情是否“合算” ，并利用它对一些 游戏活动的公平性作出评判。 在上一节，学生已经通过具体例子体会到如何评判某件事情是否“合算” ，本节课又设 17 计了一个具体问题情境，让学生通过活动感受到不公平，从而自然希望通过修改具游戏规 则而获得较为公平的游戏方法，在这样的过程中，学生进一步体会了判断某件事情“公平 性”的具体方法。 总之，在教学中要注意如下几点： 1 1、 注重教学素材及其呈现方式的多样化以及数据的真实科学性。注重教学素材及其呈现方式的多样化以及数据的真实科学性。 本章有关概率统计的教学素材都来自现实生活。当然，在具体教学素材选择时，还应结 合学生的具体认知实际和生活实际。对于教学素材的来源，既可以组织学生开展一些调查或 文献检索等活动自己收集一些相关教学素材，也可以由教师提要供一定的素材，让学生分析、 评判，如在“50 年的变化”一节中，可以让学生课前上网或到有关部门、有关媒体查询相关 资料，也可以通过学生身边的一些具体数据展开教学，在“摇奖活动”中可以让学生到社会 上去观察一些具体的有奖销售活动或者街头赌博活动，然后分析其中的数学道理或者揭示其 中的骗术。此外，统计数据的呈现时，既可以是未经加工的原始数据，也可以是经过加工处 理的各种统计图表等。同时统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支，必然要求 教学素材本身的真实性，以培养学生求真的科学态度。 2 2、 注重学生的活动，特别是小组合作的活动。注重学生的活动，特别是小组合作的活动。 本章中，在分析图表产生的“误导”和探索摇奖的“平均收益”的过程中，都必须学 生展开一定的实际操作活动或研讨活动。这些活动的展开往往非一人力量所能完成，需要 同学间的合作；而对