中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题.doc

“将军饮马”老歌新唱例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校 古希腊有位将军要从a地出发到河边去饮马，然后再到b地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设l为河（如图1），作aol交l于o点，延长ao至，使o=ao；连结b，交l于c，则c点就是所要求的饮马地点。再连结ac，则路程（ac+cb）为最短的路程。为什么饮马地点选在c点能使路程最短？因为a是a点关于l的对称点，ac与c是相等的。而b是一条线段，所以b是连结a、b这两点间的所有线中，最短的一条，所以ac+cb=c+cb=b也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） a b c3 d 分析与解：正方形abcd是轴对称图形，对角线ac所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点b、d关于对角线ac对称,在这个问题中d和e是定点，p是动点。我们可以找到一个定点d的轴对称点b，连结be，与对角线ac交点处p就是使距离和最小的点（如图3），而使pd+pe的和的最小值恰好等于be,因为正方形的面积为12，所以它的边长为2，即pd+pe的最小值为2。二、演变成与梯形有关的试题例2（2009鄂州）已知直角梯形abcd中adbc,abbc，ad=2,bc=dc=5,点p在bc上移动，则当pa+pd取最小值时，apd中边ap上的高为（ ）a b c d3bcdap图4分析与解：如图，先作出a点关于bc的对称点e,连结de交bc于p点，连结ap,再过点d作dfbc于f,过点d作dgap于g.先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得df=4,从而ab=4,再由ab=be且adbc,知道bp是abe的中位线，bp=ad=1得ap=.因为adp的面积=addf=apdg,所以ap边上的高dg为=,即正确答案是c.三、演变成与圆有关的试题例3（2009龙岩）如图，ab、cd是半径为5的o的两条弦，ab = 8，cd = 6，mn是直径，abmn于点e，cdmn于点f，p为ef上的任意一点，则pa+pc的最小值为 .分析与解：首先根据对称知识确定点p的位置，连结bc交mn于点p，根据垂径定理易知ae=4,cf=3,ef=7.再过c作cgab于点g,在rtbcg中，cg=ef=7,bg=be+eg=3+4=7,所以pa+pc的最小值为bc=7.四、演变成与直角坐标系有关的试题例4（2009孝感）在平面直角坐标系中，有a（3，2），b（4，2）两点，现另取一点c（1，n），当n = 时，ac + bc的值最小分析与解：点a和b在直角坐标系下的位置如图8，此问题中a,b是定点，而点c（1，n）在直线x=1上,可以找出a点关于直线x=1的对称点a坐标是(1,-2),经过点b和a的直线解析式为y=x-，所以当x=1时n=-。这题与点的坐标和一次函数知识想结合，考查了学生的数形结合能力。解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位置，就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。五、演变成与一次函数有关的试题例5（2009荆门）一次函数y=kxb的图象与x、y轴分别交于点a(2，0)，b(0，4)如图9(1)求该函数的解析式；(2)o为坐标原点，设oa、ab的中点分别为c、d，p为ob上一动点，求pcpd的最小值，并求取得最小值时p点的坐标 图9分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y2x4；求 pcpd的最小值时既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使pc+pd的值最小的点的位置。如图10，设点c关于点o的对称点为，连结p、d，则pcpcpcpdpcpdcd，即c、p、d共线时，pcpd的最小值是cd连结cd，在rtdcc中，cd2；易得点p的坐标为(0，1)(亦可作rtaob关于y轴对称的)六、演变成与二次函数有关的试题例6（2009重庆）如图11，抛物线与x轴交与a(1,0),b(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与c点，在该抛物线的对称轴上是否存在点q，使得qac的周长最小？若存在，求出q点的坐标；若不存在，请说明理由.分析与解：(1)将a(1，0)，b(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知a、b两点关于抛物线的对称轴对称 直线bc与的交点即为q点， 此时aqc周长最小 c的坐标为：(0，3) 直线bc解析式为： q点坐标即为的解 q(1，2)七、演变成综合型试题例6（2009 衢州）如图12，已知点a(-4，8)和点b(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点b关于x轴对称点p的坐标，并在x轴上找一点q，使得aq+qb最短，求出点q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点a的对应点为a，点b的对应点为b，点c(-2，0)和点d(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，ac+cb 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形abcd的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由图124x22a8-2o-2-4y6bcd-44图134x22a8-2o-2-4y6bcd-44qp分析与解： (1) （如图13）将点a(-4，8)的坐标代入，解得将点b(2，n)的坐标代入，求得点b的坐标为(2，2)，则点b关于x轴对称点p的坐标为(2，-2)图144x22a8-2o-2-4y6bcd-44a直线ap的解析式是令y=0，得即所求点q的坐标是(，0)(2)（如图14）解法1：cq=-2-=，故将抛物线向左平移个单位时，ac+cb最短，此时抛物线的函数解析式为解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后a，b的坐标分别为a(-4-m，8)和b(2-m，2)，点a关于x轴对称点的坐标为a(-4-m，-8)直线ab的解析式为要使ac+cb最短，点c应在直线ab上，将点c(-2，0)代入直线ab的解析式，解得图154x22a8-2o-2-4y6bcd-44ab故将抛物线向左平移个单位时ac+cb最短，此时抛物线的函数解析式为（如图15）左右平移抛物线，因为线段ab和cd的长是定值，所以要使四边形abcd的周长最短，只要使ad+cb最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有ad+cbad+cb，因此不存在某个位置，使四边形abcd的周长最短第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点a和点b的坐标分别为a(-4-b，8)和b(2-b，2)因为cd=2，因此将点b向左平移2个单位得b(-b，2)，要使ad+cb最短，只要使ad+db最短点a关于x轴对称点的坐标为a(-4-b，-8)，直线ab的解析式为要使ad+db最短，点d应在直线ab上，将点d(-4，0)代入直线ab的解析式，解得故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形abcd的周长最短，此时抛物线的函数解析式为