中考数学一轮复习 第7讲《一元二次方程》习题

1 20172017 年中考数学一轮复习第年中考数学一轮复习第 7 7 讲讲一元二次方程一元二次方程 【考点解析考点解析】 题型一题型一 一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念 【例题】（2014湖南张家界）已知关于 x 的方程 x2+2x+k=0 的一个根是1，则 k= 【解析】将 x=1 代入已知方程，列出关于 k 的新方程，通过解新方程即可求得 k 的值 解答根据题意，得 （1）2+2（1）+k=0， 解得 k=1； 故答案是：1 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一元二次方程的根就是一元 二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得 式子仍然成立 【变式】 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的为（ ） A2x20 B4x23y Cx21 Dx2(x1)(x2) 1 x 【答案】A 【解析】A、满足一元二次方程的条件，所以正确；B、是二元二次方程，所以错误；C、是 分式方程；所以错误；D、整理得：3x-2=0，所以错误；故选 A. 2.（20162016四川攀枝花四川攀枝花）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2+axa2=0 的一个根，则 a 的值为（ ） A1 或 4 B1 或4 C1 或4 D1 或 4 【解析】把 x=2 代入已知方程，列出关于 a 的新方程，通过解新方程可以求得 a 的值 【解答】解：根据题意，将 x=2 代入方程 x2+axa2=0，得： 43aa2=0，即 a2+3a4=0， 左边因式分解得：（a1）（a+4）=0， a1=0，或 a+4=0， 2 解得：a=1 或4， 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数 的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所 以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 题型二题型二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 【例题】（20162016 湖北鄂州）湖北鄂州）方程x23=0 的根是 【答案】x1=，x2= - 33 【解析】移项得 x2=3，开方得 x1=，x2= - 33 【变式】（2015重庆 A8，4 分）一元二次方程 2 20xx 的根是（ ） A. 12 0,2xx B. 12 1,2xx C. 12 1,2xx D. 12 0,2xx 【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】 2 20xx ， x （x 2 ）=0 ， x=0 ，x 2=0 ， X1 =0 ，x2 =2 ， 故选 D 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一 元一次方程，难度适中 题型三题型三 一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用 【例题】（2016广西桂林）若关于 x 的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0 有两个不 相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以 及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论 3 【解答】解：关于 x 的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根， ，即， 解得：k5 且 k1 故选 B 【变式】 1.（2016贵州安顺）已知命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，必有实数解”是假 命题，则在下列选项中，b 的值可以是（ ） Ab=3Bb=2Cb=1Db=2 【分析】根据判别式的意义，当 b=1 时0，从而可判断原命题为是假命题 【解答】解：=b24，当 b=1 时，0，方程没有实数解， 所以 b 取1 可作为判断命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题 的反例 故选 C 2 .（2016云南昆明）一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【考点】根的判别式 【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的 实数根 【解答】解：在方程 x24x+4=0 中， =（4）2414=0， 该方程有两个相等的实数根 故选 B 题型四题型四 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 【例题】2. （2016江西）设 、 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，则 的 值是（ ） A2 B1 C2 D1 【考点】根与系数的关系 4 【分析】根据 、 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，由根与系数的关系可以求得 的值，本题得以解决 【解答】解：、 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根， =， 故选 D 【变式】 若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） Ax2+3x2=0 Bx23x+2=0 Cx22x+3=0 Dx2+3x+2=0 【答案】B 【解析】 试题分析：两个根为 x1=1，x2=2 则两根的和是 3，积是 2 A、两根之和等于3，两根之积却等于2，所以此选项不正确 B、两根之积等于 2，两根之和等于 3，所以此选项正确 C、两根之和等于 2，两根之积却等 3，所以此选项不正确 D、两根之和等于3，两根之积等于 2，所以此选项不正确 故选 B 题型五题型五 用一元二次方程解实际问题用一元二次方程解实际问题 【例题】（2016湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014 年约为 20 万人次，2016 年约为 28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为 x，则下列方 程中正确的是（ ） A20（1+2x）=28.8 B28.8（1+x）2=20 C20（1+x）2=28.8 D20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】设这两年观赏人数年均增长率为 x，根据“2014 年约为 20 万人次，2016 年约为 28.8 万人次” ，可得出方程 【解答】解：设观赏人数年均增长率为 x，那么依题意得 20（1+x）2=28.8， 故选 C 【变式】 1今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为 60m，若将短 5 边增长到长边相等（长边不变） ，使扩大后的棣地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比 原来增加 1600，设扩大后的正方形绿地边长为 xm，下面所列方程正确的是（ ） 2 m （A） x(x-60)=1600 (B) x(x+60)=1600 (C) 60(x+60)=1600 (D) 60(x-60)=1600 【答案】A 【解析】 试题分析：根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为 x 米 和(x60)米，根据长方形的面积计算法则列出方程. 2.据媒体报道，我国 2010 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2012 年公民出境旅游总 人数约 7200 万人次，若 2011 年、2012 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013 年我国公民出境旅游总人数 约多少万人次？ 【答案】 （1）20%；（2）8640 万人次 【解析】 试题分析：（1）本题考查了一元二次方程的应用，可以套用增长率问题的模型，第一年的 产量是 a，n 年后的产量是 b，若平均每年的增长率是 x，则有，将相关的数1 n axb 据对应代入即可得到符合题意的方程； （2）将（1）中求得的增长率 x 代入到式子 7200（1x）中，即可得到结果. 试题解析：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x，由题意得 5000（1x）2 7200 解得 x1 0.220%，x2 2.2 （不合题意，舍去） 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%； （2）如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率， 则 2012 年我国公民出境旅游总人数为 7200（1x）7200120%8640 万人次 答：预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次. 【典例解析典例解析】 1.（2016 河南）若关于 x 的一元二次方程 x2+3xk=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是 6 【考点】根的判别式；解一元一次不等式 【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出0，代入数据即可得出关于 k 的一元一 次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+3xk=0 有两个不相等的实数根， =3241（k）=9+4k0， 解得：k 故答案为：k 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合 根的判别式得出关于 k 的一元一次不等式 2.（2016四川眉山3 分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情 大幅提高据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住 房销售量为 169 套假设该公司这两个月住房销售量的增长率为 x，根据题意所列方程为 【分析】根据年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套设该公司这两个月住房销售量的增长率为 x，可以列出相应的方程 【解答】解：由题意可得， 100（1+x）2=169， 故答案为：100（1+x）2=169 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的 方程 【中考热点中考热点】 1. （2016山东潍坊）关于 x 的方程 3x2+mx8=0 有一个根是，求另一个根及 m 的值 【考点】根与系数的关系 【分析】由于 x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出 m 的值，然后由根与系数 的关系来求方程的另一根 【解答】解：设方程的另一根为 t 依题意得：3（）2+m8=0， 解得 m=10 7 又t=， 所以 t=4 综上所述，另一个根是4，m 的值为 10 2.（2016广西百色10 分）在直角墙角 AOB（OAOB，且 OA、OB 长度不限）中，要砌 20m 长的墙，与直角墙角 AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2 （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为 0.800.80 和 1.001.00（单位：m）的地板砖单价分别为 55 元/块和 80 元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙） ，用哪一种规格 的地板砖费用较少？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】 （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长宽=面积，求出即可； （2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可 【解答】 （1）设这地面矩形的长是 xm，则依题意得： x（20x）=96， 解得 x1=12，x2=8（舍去） ， 答：这地面矩形的长是 12 米； （2）规格为 0.800.80 所需的费用：96（0.800.80）55=8250（元） 规格为 1.001.00 所需的费用：96（1.001.00）80=7680（元） 因为 82507680， 所以采用规格为 1.001.00 所需的费用较少 3 （2016湖北荆州12 分）已知在关于 x 的分式方程和一元二次方程 （2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数 （1）求 k 的取值范围； （2）当方程有两个整数根 x1、x2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程的整数根； 8 （3）当方程有两个实数根 x1、x2，满足 x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k） （x2k） ， 且 k 为负整数时，试判断|m|2 是否成立？请说明理由 【分析】 （1）先解出分式方程的解，根据分式的意义和方程的根为非负数得出 k 的取 值； （2）先把 k=m+2，n=1 代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列 等式得出关于 m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根 x1、x2得出 m=1 和1，分别代 入方程后解出即可 （3）根据（1）中 k 的取值和 k 为负整数得出 k=1，化简已知所给的等式，并将两根和 与积代入计算求出 m 的值，做出判断 【解答】解：（1）关于 x 的分式方程的根为非负数， x0 且 x1， 又x=0，且1， 解得 k1 且 k1， 又一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0 中 2k0， k2， 综上可得：k1 且 k1 且 k2； （2）一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0 有两个整数根 x1、x2，且 k=m+2，n=1 时， 把 k=m+2，n=1 代入原方程得：mx2+3mx+（1m）=0，即：mx23mx+m1=0， 0，即=（3m）24m（m1） ，且 m0， =9m24m（m1）=m（5m+4） ， x1、x2是整数，k、m 都是整数， x1+x2=3，x1x2=1， 1为整数， m=1 或1， 把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x23x+11=0， x23x=0， x（x3）=0， 9 x1=0，x2=3； 把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x2+3x2=0， x23x+2=0， （x1） （x2）=0， x1=1，x2=2； （3）|m|2 不成立，理由是： 由（1）知：k1 且 k1 且 k2， k