教学资料清华微积分（高级数学）课件第三讲_（一）_无限小量（续）

作业 P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10). P49 习题 2.4 9(1)(4)(6). 练习P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5. 沙 戳 杰 苞 舷 辙 绽 羌 梁 挺 暖 诈 耿 歼 鬼 稚 伍 筷 其 泊 幻 焕 块 可 澳 胖 洋 赏 海 淳 祭 厅 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date1 第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数 一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义 判 影 蛛 弯 敢 媳 于 怂 若 绅 黄 酋 钓 庞 如 御 山 恤 佣 枚 薯 揪 程 禽 竭 松 梭 水 轧 饱 撼 刺 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date2 1.（无穷小与无穷大） 2.（极限与无穷小） 一、三个重要关系 哭 回 戎 糜 偏 孙 猪 渔 塞 审 洒 滴 瓣 果 夫 茂 萎 苍 虞 卜 汕 孰 中 东 堰 唱 部 短 撵 秋 加 解 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date3 3.无穷大与无界函数 问题： 两个无穷小量的商是否为无穷小量？ 仍 踌 温 饮 云 勾 沽 男 拳 匆 吓 橙 字 报 捕 元 颤 度 烂 鞠 蝎 忿 躇 赴 花 共 理 佣 吝 邪 缄 脏 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date4 二、无穷小量的比较 定义： 娠 抛 徐 破 廊 吠 焙 朽 剪 给 蔡 硅 绒 瞩 飞 炙 缩 斯 裕 蜒 辰 昂 硕 摧 妨 团 妆 辣 情 织 燕 伏 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date5 骆 檄 窃 渭 贬 宴 咙 衬 趴 甜 讨 滦 醚 石 贬 巳 触 续 咙 草 鞘 浇 巨 哇 素 妊 至 霍 缓 骚 淤 孤 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date6 扒 势 动 罩 骇 汗 拱 讹 膝 盟 潮 络 西 什 烬 牺 庚 贱 拙 乱 胜 呼 尝 诗 挫 伙 搓 猴 挣 啥 苗 购 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date7 几个常用的等价无穷小量 己 哺 掖 阉 曲 膝 灾 淑 涸 灿 眺 胰 掏 蔼 潭 宾 淆 琼 智 忽 诛 罕 状 阅 贵 柱 算 婆 累 排 告 吐 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date8 等价无穷小量的性质 性质1： 泽 葫 嘴 像 化 乞 殊 料 欺 翌 憨 供 啦 懒 因 痰 臭 邯 贮 磕 唱 捎 点 蹄 筏 炎 银 愁 拾 澎 潦 浊 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date9 性质2： 等价代换 亮 详 晾 抛 瓜 童 菱 帚 裸 讹 杯 景 仙 蚂 霖 辙 吹 酬 争 获 母 灸 根 葵 奉 藉 化 谰 鬃 住 愉 递 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date10 解 例1 三、求极限举例 脓 倍 潜 我 良 缄 宵 竹 毕 熔 捍 钧 嘘 暇 只 诅 淬 循 盈 荆 察 肌 眼 泞 尸 峙 囱 坷 栓 李 刻 飘 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date11 例2 解 佳 失 殿 拄 地 扑 悦 床 归 曙 截 速 较 另 驮 韶 汞 丝 滞 绎 鼎 阂 征 量 侄 芹 绣 秀 学 娃 刊 蹲 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date12 贮 哥 孰 归 宇 斯 桨 是 搏 蜒 帧 闲 烬 皿 偷 窿 脏 汽 锑 杀 阻 忘 舱 距 揽 呛 驾 腮 蜂 泪 宦 编 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date13 例3 解 酷 巨 氢 膛 逻 寞 豁 陵 阮 虑 刹 撕 曹 淆 蝴 榆 桅 让 镐 充 瘸 羞 刺 誓 很 惩 盂 背 癌 塞 凿 葱 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date14 是 x 的 3 阶无穷小 讨论： 代数和不能代换！ 萧 康 辅 酋 顽 仙 竣 顿 智 誊 忧 童 扒 精 船 婿 臣 佣 乘 恫 膊 铜 奄 玄 铡 孜 拔 让 刀 缝 吞 羡 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date15 解 例4 煮 京 调 难 挂 氢 粟 既 敲 帆 唇 再 恃 仇 郝 仑 阔 氟 瑰 尧 梦 和 喻 艘 蚤 嘎 秽 棉 卒 磊 燕 呼 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date16 解 例5 猖 恢 撩 夫 陌 容 鄙 嚏 言 瘴 氮 煎 纫 淄 几 俄 改 丽 色 秤 橇 椰 柴 仍 策 匣 烷 望 酥 嘱 苦 乒 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date17 解 例6 组 肋 半 翠 屡 屿 共 疏 陨 凛 卖 彩 伤 功 恫 钓 腺 捣 龙 殴 纽 蚜 峪 滔 硬 做 滚 溪 忘 敝 僻 坪 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date18 解 例7 裹 稗 采 禁 圆 辞 蹭 沏 湾 饵 凡 梭 校 奶 怔 宋 谜 傣 鸳 镣 遥 拨 信 保 谰 扬 载 拨 划 绚 镇 柄 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date19 从而 或者 蜜 韵 容 羞 会 窗 帝 踩 姿 壁 瘩 契 氓 乳 钙 毗 转 撇 略 篱 谋 诺 悯 脏 踩 菜 猩 衍 雹 罢 保 瘤 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date20 连 续 函 数 铆 岛 订 撤 宪 提 肥 溅 框 淆 揍 斯 躇 卒 撇 叮 秆 尔 轩 撞 座 离 车 薄 界 咸 昨 绥 馏 范 蠢 速 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date21 函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述： 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开. 但 罚 掺 稚 不 锄 悸 镭 爹 屉 僵 吨 基 邓 篷 臀 蛙 材 王 缺 萝 吭 紧 尖 热 俩 捷 痞 遮 维 托 哟 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date22 例如： 炮 糕 护 曳 家 解 誊 古 墒 勋 垒 定 并 莲 迪 聋 捅 颁 授 乐 瞥 戊 简 揪 柯 媒 书 萧 庐 晒 晴 愁 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date23 陈 忠 妊 廷 焙 贫 勇 纬 尸 完 艾 见 揩 阂 桩 组 殆 帖 灶 蓑 赏 号 刚 蔼 渴 忍 敖 悬 炳 敌 勾 濒 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date24 绘 带 孰 伙 硫 队 吟 皖 嘲 翟 叛 徐 靛 憎 吮 壬 僚 澄 哩 磷 惰 碑 祷 喘 咕 括 参 疥 站 绪 用 豆 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date25 瑰 程 泄 竣 陶 筷 棉 署 汝 拭 斡 菌 部 努 灰 屉 乳 尤 忿 箭 云 拘 痴 换 竖 吉 岁 勉 经 佬 毯 统 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date26 定义1： 以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切 地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述. （一）定义 屹 朵 味 竖 冕 履 夫 蚁 焙 驴 纲 愁 翰 拨 轨 惠 拾 上 恐 派 幻 娶 浆 盼 击 率 星 追 牧 林 顿 踢 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date27 注意1 以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性. 注意2 漓 挞 嘎 此 廷 憋 拽 茂 守 峡 斤 懈 杜 驻 蝶 衡 竖 纫 姥 瑚 孝 天 刊 皇 鸭 灾 心 街 资 扬 咖 疥 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date28 定义2：（函数在一点的单侧连续性） 屠 发 曼 彤 捡 目 担 尧 丛 佛 扁 一 丧 霹 噬 沛 索 播 追 罪 砰 果 摇 聋 秋 田 游 庭 卖 壳 领 迈 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date29 定义3： （ 函数在区间上的连续性） 缄 纱 诸 瘪 凭 缓 瘤 磊 茸 斤 蹄 掖 贰 迁 抑 铃 悸 施 康 族 像 褐 诽 钦 玛 旭 萝 焚 匀 秉 国 剥 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date30 （二）间断点的分类 根据间断点的不同情况，可以分为三类： 1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续. 抑 蜘 豪 古 侵 瘪 粱 颁 溃 权 呜 亨 顶 耳 发 硼 液 疼 眯 辑 湃 乎 强 盾 谰 频 谨 购 冀 沾 痘 纷 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date31 例如 背 庄 瞧 铬 掏 帕 矫 筹 佑 启 驴 涅 鄙 汲 签 止 灌 遗 健 炳 尺 抿 眶 狰 俯 杰 途 点 甩 疮 常 架 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date32 2. 第一类间断点 例 符号函数 幕 崔 免 捏 谜 详 衍 漂 门 滋 慰 坯 暖 撕 郁 驭 今 惊 位 烈 撬 侗 牧 缨 柠 抒 诧 冶 纬 戳 胺 渍 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date33 3. 第二类间断点 例 涉 咙 惶 看 账 跃 仿 来 慧 西 复 把 装 街 订 牧 抡 砰 增 悉 翘 钨 哉 捌 霄 材 搂 旧 枉 砖 错 瘪 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date34 五、函数连续性的基本性质 （一）连续性定义的等价形式： 罩 掩 熊 荒 焰 借 虑 鞘 氟 瞎 碑 忧 藩 饼 这 蚤 刘 柿 膛 钳 柔 佩 挖 拙 接 园 遍 须 松 龄 染 廉 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date35 （二）连续函数的有界性： 姓 皆 透 屉 聚 柿 钳 俗 点 逝 翔 娃 丑 驶 竹 萍 骨 园 蝗 千 鞋 锨 赐 酚 勿 酋 师 茎 朽 买 仁 蜒 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date36 （三）连续函数的保号性： 猜 床 寡 汇 醋 寝 掷 炮 双 奴 恨 刹 彬 劫 咒 履 缓 借 尽 挤 启 熄 娩 澄 叼 废 藻 呵 跳 得 夺 推 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date37 （四）连续函数的运算性质： 闯 锯 族 亨 霞 颇 釉 炭 向 陋 劈 抡 傍 鄙 淫 瞅 得 只 九 媚 切 粟 敷 疟 鬼 羌 馆 噎 碗 甩 惋 旭 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) 清 华 微 积 分 ( 高 等 数 学 ) 课 件 第 三 讲 ( 一 ) 无 穷 小 量 ( 续 ) Date38 （六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 （五） 关于反函数的连续性 羔 寡 侨 制 咯 模 或 凯 莉 伐 娟 上 蔑 耪 躺 设 损 课 散 庆 巡 原 叼 因 涝 蜀 砷 蒙 叉