中考数学 考点达标训练16 特殊三角形

1 考点达标训练考点达标训练 1616 特殊三角形特殊三角形 训练一训练一 等腰三角形和等边三角形等腰三角形和等边三角形 等腰三角形的边和角 1. (2014江苏盐城)若等腰三角形的顶角为 40，则它的底角的度数为( ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 2. 若等腰三角形的两条边长分别为 7 cm 和 14 cm，则它的周长为_cm. 等腰三角形的性质与判定 3. (2014江苏苏州)如图，在ABC中，点D在BC上，ABADDC，B80，则 C的度数为( ) A. 30 B. 40 C. 45 D. 60 ,(第 3 题) ,(第 4 题) 4. 如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，CDAD，ABBD，则B的度数为( ) A. 30 B. 36 C. 40 D. 45 5. (2014浙江衢州)如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D.若AB6，CD4， 则ABC的周长是_ ,(第 5 题) ,(第 6 题) 6. (2015浙江嘉兴)如图，有一张三角形纸片ABC，ABAC5.折叠该纸片使点A落 在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为_ 7. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DECF. 求证：GAB是等腰三角形 (第 7 题) 2 等边三角形的性质与判定 8. 下列说法中，错误的是( ) A. 有两个内角分别是 70和 40的三角形是等腰三角形 B. 有两个内角相等的三角形是等边三角形 C. 有两个角是 60的三角形是等边三角形 D. 等边三角形一定是等腰三角形 9. 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点， DEAC，EFAB，FDBC，则DEF的面积与ABC的面积之比等于( ) A. 13 B. 23 C. 2 D. 3 33 ,(第 9 题) ,(第 10 题) 10. (2015浙江绍兴)由于木质衣架没有柔韧性，在挂衣服的时候不太方便操作小 敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆 OAOB18 cm，若衣架收拢时，AOB60，如图，则此时A，B两点间的距离是 _cm. 11. 在ABC中，已知A60.给出下列条件：ABAC；BC；D是BC 的中点，且ADBC；边AB，AC上的高线相等若要选出一个条件判定ABC是等边三角 形，则符合的条件有_(填序号) 12. 如图，ABC为等边三角形，点F在AD上，点E在CF上，点D在BE上， 123.求证：DEF是等边三角形 (第 12 题) (第 13 题) 13. 如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线 3 段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF2，则PE的长为( ) A. 2 B. 2 2 C. D. 3 3 14. 已知等腰三角形ABC中，ADBC于点D，且ADBC，则ABC底角的度数为 1 2 _ (第 15 题) 15. 如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE. 若ABE是等边三角形，则_ SDCE SABE 16. (2015江苏南京)如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点， 另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为 3 的所有大小不同的等腰三角形(要求： 只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3) ,(第 16 题) 17. 如图，已知ABC是等边三角形，D是边BC上的一点，以AD为边作等边三角形 ADE，过点C作CFDE交AB于点F. ,(第 17 题) (1)若D是边BC的中点(如图)，求证：EFCD. (2)在(1)的条件下直接写出AEF和ABC的面积比 (3)若D是边BC上的任意一点(除点B，C外，如图)，那么(1)中的结论是否仍然成 立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 4 训练二训练二 直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 考考点点精精讲讲本本P P5 50 0 直角三角形的性质与判定 1. 在ABC中，已知ABC527，则这个三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 2. (2015北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开， 若测得AM的长为 1.2 km，则M，C两点间的距离为( ) A. 0.5 km B. 0.6 km C. 0.9 km D. 1.2 km ,(第 2 题) ,(第 3 题) 3. 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线，DEBC于点E，则图中等腰直 角三角形的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第 4 题) 4. 如图，在 RtABC中，CD是斜边AB上的中线，CDA70，则 A_，B_ 5. 如图，在ABC中，点A在DE上，CDDE，BEDE，垂足分别是D，E，且 ADBE，CDAE.求证：ABC是等腰直角三角形 (第 5 题) 6. 如图，ABCD，E是AD的中点，CEEF.求证：CFAB. (第 6 题) 5 直角三角形的面积与勾股定理 7. (2014山东滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1， ，3 2 8. (2015浙江台州)如果将长为 6 cm，宽为 5 cm 的矩形纸片折叠一次，那么这条折 痕的长不可能是( ) A. 8 cm B. 5 cm C. 5.5 cm D. 1 cm 2 9. 如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB90，AE6，BE8，则阴影部分的面 积是( ) A. 48 B. 60 C. 76 D. 80 ,(第 9 题) ,(第 10 题) 10. 如图所示为一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形E的面积 是( ) A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 (第 11 题) 11. (2014江苏无锡)如图，在ABC中，CDAB于点D，E是AC的中点若 AD6，DE5，则CD的长等于_ 12. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形 围成的在 RtABC中，若直角边AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边 分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车” ，则这个风车的外围周长(图中的实线) 是_ ,(第 12 题) 13. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕与CD边交于点 E.已知AB8 cm，BC10 cm，求CE的长 6 (第 13 题) 14. (2015四川眉山)如图，在 RtABC中，B90，A30，DE垂直平分斜 边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD.若BD1，则AC的长是( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 33 ,(第 14 题) ,(第 15 题) 15. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图所示为由 7 个形状、大小完全相同的正六边形 组成的网格，正六边形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示， 则能使ABC是直角三角形的点C的个数为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 (第 16 题) 16. 如图，在 RtABC中，ACB90，B30，BC3.D是BC边上一动点(不 与点B，C重合)，过点D作DEBC交AB于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC 上的点F处当AEF为直角三角形时，BD的长为_ 17. 一个等腰三角形花圃的面积为 30 m2，其中一边长为 10 m，求该等腰三角形花圃 的另两边长 18. 在ABC中，ABC90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且 M为EC的中点，连结BM，DM. (1)如图，点E在线段AB上，探究线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系， 7 请你写出所得结论并给予证明 ,(第 18 题) (2)如图，若点E在BA的延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化？ (3)若点E在AB的延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与 DM及BMD与BCD所满足的数量关系 8 参考答案 训练一 等腰三角形和等边三角形 1D 235 3B 4B 520 625 7提示：证ADEBCF(SAS)，得 AEDBFC，再得GEFGFE，再证GABGBA 8B 9A 1018 11 12略 13CABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点， EBPQBF30又BF2，FQBP，BQBFcos 30FQ是BP的垂 3 直平分线，BP2BQ2在 RtBEP中，EBP30，PEBP 3 1 23 1415或 45或 75分三种情况：如解图 ，ABAC，ADBC，BDCDADBC，ABC是等腰直角三角形，底角为 1 2 45 (第 14 题解) 如解图，ABBC，ADBC，ADABADBC，ABD30， 1 2 1 2 BACC15，即底角为 15如解图 ，ABBC，ADBC，ADABADBC，B30，BACC75，即 1 2 1 2 底角为 75综上所述，底角为 15或 45或 75 15 过点E作EMAB于点 1 3 M，交DC于点N四边形ABCD是矩形，ABCBCD90，ABDC，ABDC又 MNAB，NMBMNC90，四边形MNCB也是矩形MNBC，ENDC ABE是等边三角形，点B和点E关于直线AC对称，EACBAC30设 ABAEBE2a，则BC2atan 30 a，MN aABE是等边三角形， 2 33 2 33 EMAB，AMABa在 RtAEM中，由勾股定理，得 1 2 EMaENEMMNaDCE的底DC和ABE的底AB相等， （2a）2a23 3 3 16满足条件的所有等腰三角形如解图所示 SDCE SABE EN EM 3 3 a 3a 1 3 (第 16 题解) 17(1)D是等边三角形ABC的边BC上的中点，ADBC，BADDAC30又 AED是等边三角形，EABBAD30，ABEDEDFC，CFABAD 和CF都是等边三角形ABC的高，ADCFEDADCF又CFDE，四边形EFCD 是平行四边形，EFCD 9 (2)SAEFEFADBCADSABC，SAEFSABC14 (3)仍然成立证明 1 2 1 2 1 8 1 4 如下：连结BEABC与ADE均为等边三角形， AEAD，ABAC，EADBAC60EABDACAEBADC(SAS)， BECD，ABEACD60ADECFDE，FCBEDB，180 FCB60180EDB60，即BFCCDA又 BCCA，FBCACD，BFCCDA(AAS)BFCDBEEBF是等边三角 形EFBECD 训练二 直角三角形与勾股定理 1C 2D 3C 455 35 5提示：证ACDBAE(SAS) 6提示：延长 CE交BA的延长线于点G，证CDEGAE(AAS) 7B 8A 9C 10C 118 1276 13 3 cm 14A在 RtABC中，B90，A30， ACB60DE垂直平分斜边AC，ADCDACDA30，DCB60 3030CD2BD2BC又A30，AC2BC2 221233 (第 15 题解) 15D如解图当AB是直角边时，满足题意的点C有 6 个；当AB是斜边时，满足题意的 点C有 4 个综上所述，满足题意的点C的个数为 6410 161 或 2分情况讨论： 当点F在线段BC上时，要使AEF为直角三角形，则必有AFE90由折叠的性质， 得BEEF，BFEB30，AEF60，EAF30， AE2EF2BE，AB3BE在 RtABC中，ACB90，B30， BC3，AB2，BE DEBC，B30，BDBE1当点F在线 3 2 33 3 2 段BC的延长线上时，要使AEF为直角三角形，则必有EAF90，同理可得BD2 17(1)当底为 10 时，面积30，高为 6，腰(2)当腰为 10 时， 625261 面积30，腰上的高为 6当为锐角三角形时，8，则腰被分成 8 与 2 的 10262 两段，底边2；当为钝角三角形时，8，底边 62221010262 6综上所述，另两边长为 m， m 或 10 m，2 m 或 10 62（108）210616110 m，6 m 18(1)结论：BMDM，BMD2BCD证明如下：M是 RtEBC，Rt 10 EDC的斜边