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1. 1. 若若在在 解析解析, , 复习复习留数的留数的 算法算法 特别特别 2. 2.若若 在在解析解析, ,为为 的的一级一级零点零点, , 则则 22应用留数计算实积分应用留数计算实积分 1 其中其中的的有理有理函数函数, ,与与是关于是关于 1. 1. 计算定积分计算定积分 令令则则 在在内的内的孤立孤立奇点为奇点为 设设 z z 1 1 , , z z 2 2 , , , z zn n 2 例例1. 1. 计算定积分计算定积分 解解令令 则则 在在内的奇点为内的奇点为 或或 原式原式= = 3 例例2. 2. 计算计算 解解 令令则则 在在 内内 的奇点为的奇点为 原式原式= = 4 2. 2. z z 1 1 , , z z 2 2 , , , z zn n 设设与与为为 互质互质 多项式，多项式， 的次数的次数 比比 的次数的次数 至少至少高二次高二次 在实轴上在实轴上 没有没有零点。零点。 在在上上半平面内半平面内 的所有的所有零点零点为为 广义积分广义积分 证明证明设设C C R R 是是 C CR R 等式右边等式右边半径半径R R 等式左边等式左边 上半圆周：上半圆周： 两部分之和两部分之和 不变不变 是常数是常数, , 增加后增加后, , 且且C C R R 包含包含 z z 1 1 , , z z 2 2 , , , z zn n 结论正确结论正确 记记 5 例例3. 3. 计算计算 解解 在在上半上半平面内平面内 的奇点 的奇点 原式原式= = 6 例例4 4 解解 原式原式= = 二级二级极点极点 在上半平面内在上半平面内 的奇点的奇点 练习练习 二级二级极点极点 在上半平面内在上半平面内 的奇点的奇点 7 例例5. 5. 计算计算 解解 在上半平面内在上半平面内 的所有的所有孤立孤立奇点为奇点为 8 3. 3. z z 1 1 , , z z 2 2 , , , z zn n 设设与与为为 互质互质 多项式，多项式， 的次数的次数 比比 的次数的次数 至少至少高一次高一次 在实轴上在实轴上 没有没有零点。零点。 在在上上半平面内半平面内 的所有的所有零点零点为为 广义积分广义积分 上式左边上式左边= = 是奇函数是奇函数 是偶函数是偶函数 记记 9 例例5.12.5.12. 解解 原式原式= = 即即 故故 10 例例6. 6.计算计算 在上半平面内在上半平面内 解解 的的孤立孤立奇点为奇点为 特别若特别若则可以得到则可以得到 11 例例7 7计算 计算 解解 在上半平面内在上半平面内的的孤立孤立奇点为奇点为 12 练习练习计算计算 解解 在上半平面内在
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