合肥工业大学 双控考研内部培训 课件 第7章

第7章 线性离散控制系统 7.1 引言 连续时间系统：简称连续系统。是指控制系统中所有的信 号都是时间变量t的连续函数。这种在时间上连续，在幅 值上也连续的信号称为模拟信号。在连续系统中，使用的 控制器是由模拟电子器件实现的。 离散时间系统: 简称离散系统。是指系统中有一处或几处 信号是脉冲序列形式或数字序列形式，这些信号只在离散 的时刻上有值。现在，使用计算机或数字元件实现的数字 控制器在越来越多的场合取代模拟控制器，形成了各种离 散时间系统。 7.2.2 采样信号的拉氏变换 对采样信号 进行拉氏变换，变换后的象函数记为 ，即 根据 的两种表达式，可以得到 的两种表达形式： （1） （2） 表示了 与 之间 的关系 表示了 与 之间 的关系 香农(Shannon)采样定理 如果 ，则经采样得到的脉冲序列能够无失真地恢复到原连 续信号。 是采样角频率， 为连续信号频谱的最高角频率。 采样定理的条件也可表示为： 香农采样定理的物理意义是： 对于连续信号所含的最高频率分量来说，如果能做到在它的一个周期内 采样两次或两次以上，那么经采样所获得的脉冲序列中，就包含了连续 信号的全部信息。如果一个周期内采样次数少于两次，就做不到无失真 地再现原连续信号。 7.2.4 采样定理 7.3 Z变换与Z反变换 7.3.1 Z变换的定义 Z变换是由采样函数的拉氏变换演变而来的。采样信号的数学表达式 进行拉氏变换： 在E*(s)中含有eTs因子，由于它是s的超越函数，而不是有理函数， 因此引入新的变量z,令 称E(z)为e*(t)的Z变换，记作 ，也可简记为 7.3.2 Z变换的计算 计算采样信号e*(t)的Z变换主要有三种方法： r 级数求和法r 部分分式法r 留数法 1级数求和法 就是直接利用Z变换定义的计算方法。 例7-4 求单位脉冲信号的Z变换 设e(t)=(t)，其采样信号e*(t)=(t)。 由Z变换定义有 解： 求采样序列 ： 这是一个公比为z-1的等比级数，当z-1 1时，级数 收敛，可写成闭合形式： 例7-5 求单位阶跃信号的Z变换 设e(t)=1(t)，其采样信号为 由Z变换定义 解： 在所有采样时刻有： 取采样周期为T，解： 例7-6 求单位理想脉冲序列 的Z变换 不同的e(t)，采样后e*(t)有可能是相同的，可以得到相同的E(z)。所 以，Z变换只是对采样点上的信息有效，只要e*(t)相同，E(z)就相同， 但采样前的e(t)可以是不同的。 结论 2部分分式法 在控制系统中，连续函数 常常是以拉氏变换形式 给出的， 已知 求 的Z变换，采用部分分式法较为方便。 计算步骤： 例7-9 设 ,求E(s)的Z变换。 解： 注意： 是表示与E(s)对应的e(t)的采样函数e*(t)的Z变换。 3留数法 已知连续函数e(t)的拉氏变换E(s)及其全部极点 ，则e(t)对 应的Z变换可通过下面的留数计算公式求得，即 式中， 为彼此不相等的极点个数。且 为 阶重极点。 例7-10 已知 ，求Z变换E(z)。 解： 的拉氏变换为 E(s)的极点 为二重极点，所以 ， 。由留数计算公式得到 1.线性定理 证明： Z变换的基本定理 若已知 的Z变换分别为 ，且 为常数 ，则有： 设正弦信号 e(t)= sint (t0),求z变换E(z)。 例7-11 解： 若e(t)的Z变换为E(z), 则有 2. 实数位移定理 证明： (j=k-n) 由于j0时，e(jT)=0,所以有 例 已知e(t)=1(t-T),求它的Z变换函数E(z)。 解: 已知e(t)=tT,试用实数位移定理求e(t)的Z变换E(z)。 解 ： 例 若已知e(t)的Z变换为E(z),则有 式中 为常数 3.复数位移定理 证明： 根据Z变换定义 例已知e(t)=te-at,求Z变换E(z)。 解： 4. z域微分定理： 证明：两边对z求导数 若e(t)的Z变换为E(z)则 同理可推出： 若已知e(t) 的Z变换为E(z),则 (其中 为常数) 5.z域尺度定理 证明： 例7-15试求kcost的Z变换. 解： 6.终值定理 证明: 两边取极限,并由Z变换定义有 若e(t)的Z变换为E(z)，且E(z)在z平面的单位圆上没有二重以上极点， 在单位圆外解析.则 终值定理可以用来计算离 散系统的稳态误差。 证明： 若e(t)的Z变换为E(z)，并有极限 存在，则 7. 初值定理 例 求 的初值和终值。 解： 8.卷积定理 设 和 为两个采样序列，当 时， 。其 离散卷积定义为 则有卷积定理 卷积定理说明：两个采样函数卷积的Z变换，就等于这两个采样函 数的Z变换的乘积。在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域和z域 的桥梁。 从z域函数E(z),求时域函数e*(t), 叫做Z反变换。记作 7.3.4 Z反变换的计算 Z反变换只能给出采样序列 或采样函数 , 而不能提供连续 函数 。也就是说，通过Z反变换得到的仅是连续函数在各采样时刻 上的值。 注意： 或 同样，可使用三种方法求E(z)的Z反变换： r 幂级数法（长除法）r 部分分式法 r 留数法 1.幂级数法（长除法） 通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比 用分母去除分子，并将商按z-1的升幂排列 比较Z变换的定义 此法在实际中应用较为方便，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难 。 例7-16 试求其反变换。 解 ： 2.部分分式法 部分分式展开法是将E(z)展成若干个分式和的形式，而每一个分式可通 过查表得出所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样信号e*(t)。 在Z变换表中，许多Z变换函数分子上都有因子z, 所以需要先把E(z)/z展 开成部分分式，然后将展开的每一项都乘以z, 即得E(z)的展开式。 注意： 查表 离散化 例7-17已知Z变换函数 ，试求其Z反变换。 解： 首先将E(z)/z展开成部分分式 查表有 e(kT) 的一 般表 达式 例 已知Z变换函数 ，试求其Z反变换。 解： 查表得 离散化得 3. 留数法 根据复变函数中的留数定理 所有极点处的留数之和） 其中，极点 处的留数计算公式为： -为重极点 的阶数 例 试用留数法求e*(t)。 解： 结果 相同 7.4 离散系统的数学模型 为了便于对离散系统进行分析和校正，首先需要建立离散系 统的数学模型。 描述连续系统的动态过程 微分方程 传递函数 结构图 描述离散系统的动态过程 差分方程 脉冲传递函数 结构图 7.4.2 脉冲传递函数 线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下系统输出采 样信 号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。 也可记为 脉冲传递函数为 已知系统的脉冲传递函数G(z)和输入采样信号的Z变换 R(z)，在初始条 件为零时的输出采样信号为 1. 脉冲传递函数定义 对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号 C*(t)。这时，无法求脉冲传递函数。 在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样 开关一样，以周期T同步工作。 如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小， 那么我们就可以用c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。可见，用脉 冲传递函数分析系统，只能给出实际输出c(t)在采样时刻的值。 说明： 2. 采样函数拉氏变换的两个重要性质 性质1 采样函数的拉氏变换具有周期性，即 其中， 为采样角频率。 有 令 由采样函数的拉氏变换 证明： 性质2 采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘后 再离散化，有下式成立 由性质1 证明：由采样函数的拉氏变换 3. 关于脉冲传递函数的几点讨论 q 和 之间的关系 q 和单位脉冲响应 之间的关系 q 与离散系统的差分方程之间的关系 差分方程为 4. 求脉冲传递函数的方法 （1）已知连续系统的单位脉冲响应 ，利用 ， 求出 。 （2）已知连续系统的传递函数 ，化成部分分式并查表求出 （3）已知系统的差分方程，在初始条件为零的情况下进行Z变换求 例 系统结构如图，其中连续部分传递函数 ， 试求该开环系统的脉冲传递函数 。 解：将 用部分分式表示 也可由 直接查表得到，结果相同。 离散序列 7.4.3 离散系统的结构图化简 根据离散系统结构图可以求系统的脉冲传递函数或系统的输出。与连续系 统的结构图相比较，离散系统的结构图需要考虑采样开关的位置。由于采 样开关所处的位置不同，连续系统的结构图等效变换规则不能直接使用。 1. 开环离散系统的脉冲传递函数 (1) 串联环节之间有采样器的情况 结论可以推广到n个环节串联，且环节间均有同步采样器分隔的情况 。 (2)串联环节之间无采样器的情况 式中， 表示G1(s)和G2(s) 相乘后进行Z变换。显然 结论可以推广到n个环节串联，且环节间没有采样器分隔的情况。 (3) 有零阶保持器时的情况 系统连续部分的传递函数为 零阶保持器 可以采用部分分式法求出。 (4) 输入信号直接进入连续环节时的情况 连续信号直接进入连续环节的情况下，出现 故只能求得输出采样信号的Z变换表达式 而得不到 ， 因而无法求得脉冲传递函数 。 2. 闭环离散系统的脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的 关系，所以可用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中 ，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式。 下面是一种比较常见的离散系统结构图： 单回路离散系统比较简单，掌握基本规律后，可以通过观察，直接 写出C(z)的表达式。方法是： （2）在前向通路中，输入信号以及前向通路各环节相互之间没有采样开 关的，将它们相乘后进行Z变换；输入信号以及前向通路各环节相互之间 有采样开关的，各自进行Z变换；将得到的变换函数相乘，即可得到C(z) 的分子多项式。 （1）在反馈回路中，对于中间无采样开关隔开的环节，将它们的传递函 数相乘后取Z变换；中间有采样开关隔开的环节，分别进行Z变换；将得 到各个变换函数相乘，就是开环脉冲传递函数。开环脉冲传递函数加1即 可得到C(z)的分母多项式。 例 3. 多回路离散系统结构图计算 对于比较复杂的多回路离散系统，通常需要根据结构图列写方程来求解系 统总的脉冲传递函数。可以利用系统中离散变量的Z变换函数列写方程； 也可以根据系统中各变量的拉氏变换之间的关系列写方程，再进行离散化 。对所列方程组消去中间变量，即可求出闭环脉冲传递函数或输出C(z)。 闭环离散系统的结构图如图所示，图中所有采样开关同步工作 。试计算输出采样信号与输入采样信号之间的脉冲传递函数 例7-26 解：采用两种方法列写方程计算脉冲传递函数。 方法1 将图中的所有信号用其拉氏变换函数表示，再根据变量之间的 传递关系列写方程： 离散化： 消去中间变量 ，得到 作变量代换 ，求得脉冲传递函数为 方法2 将图中每个采样开关后面的采样信号用其Z变换函数表示，直接 列写各采样信号的Z变换函数之间的关系方程。要注意正确列写两个采 样开关之间的脉冲传递函数。 经整理，求得脉冲传递函数 消去中间变量 ，得到 7.5 离散控制系统的稳定性分析 线性连续系统的稳定性分析是基于闭环特征根在s平面中的位置，若闭环特 征根全部位于虚轴以左，则系统稳定。那么，如何根据线性离散系统的闭 环特征根在z平面上的位置来分析系统的稳定性呢？ 7.5.1 从s平面到z平面的映射 将复变量 代入得： s平面z平面 s平面z平面 辅频区 辅频区 主频区 7.5.2 线性定常离散系统稳定的充分必要条件 考虑线性定常离散系统 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该 离散系统是稳定的。线性定常离散系统的稳定性是由系统的结构和参数 决定的，与输入信号无关，因此，若系统稳定，则该系统在零初始条件 下的单位脉冲响应将能够收敛到零。 求单位脉冲响应： 是离散系统的闭环极点 经Z反变换： 可见，要使，必须满足条件： 线性定常离散系统稳定的充要条件为： 或者说，用复变量s表示的闭环特征方程 的所有特征根 均分布在s左半开平面上。 闭环特征方程 的所有特征根 均分布在z平 面上以原点为中心的单位圆内。 例7-28试分析图示闭环系统的稳定性。 解： 当T=1s时，有 故闭环系统稳定。 7.5.3 线性定常离散系统的稳定判据 思路：连续系统中的劳斯稳定判据是判别系统特征根是否全部在s左半开 平面，而在z平面内，稳定性取决于特征根是否全部在单位圆内，因此劳 斯判据不能直接应用。所以需要再寻找一种新的变换，使z平面的单位圆 内部映射到一个新的平面的左半部分而又不至于出现超越函数，在这样的 平面上就可直接应用劳斯判据了。 问题：对于高阶离散系统，直接求解系统的特征根一般很困难。能否找 到与s平面中的劳斯判据、赫尔维茨判据类似的代数判据？ （1）w平面的劳斯稳定判据 z平面到w平面的映射 w变换 （或称双线性变换）： 即 W的实部为 z平面 w平面 1)求出离散系统的特征方程 D(z)=0;W域判稳的步骤： 2)对D(z)=0 进行w变换，整理后得D(w)=0； 3)应用劳斯判据判断离散系统的稳定性。 例7-29 设离散系统的特征方程为 试判断系统稳定性。 解： 将 代入特征方程 两边同乘(w-1)3,化简后得 计算劳斯表 第一列有两次符号改变，说明有两个根 在W平面的右半平面，或者说有两个根 在Z平面的单位圆之外，系统不稳定。 7.7 离散控制系统的稳态性能分析 对于离散系统来说，影响稳态误差的因素除了系统连续部分的结构、参数 和外部输入信号外，稳态误差还与采样开关的位置、采样周期的大小有关 。 7.7.1 利用终值定理求稳态误差 稳态误差定义为： 若E(z)的全部极点在z平面的单位圆内（或在z=1处)。则由终值定理求得 7.7.2 离散系统的型别与静态误差系数 为了分析典型输入信号作用下的稳态误差与系统结构、参数的关系，令扰 动d(t)=0 。将开环脉冲传递函数G(z)中包含的z=1极点个数定义为系统 的型别。 1.当输入信号为单位阶跃函数时的稳态误差 定义静态位置误差系数 可见，当 时，有 ， 则 2. 当输入信号为单位斜坡函数时的稳态误差 定义静态速度误差系数 可见，当 时，有 ， 则 3. 当输入信号为单位加速度函数时的稳态误差 定义静态加速度误差系数 可见，当 时，有 ， 则 系统 型别 静态误差系数稳态误 差 0 非零有 限值 0 0 非零有 限值 0 0 非零有 限值 0 0 0 0 0 系统静态误差系数、稳态误差与典型输入、系统型别之间的关系 已知采样系统结构如图所示。采样周期T=0.2秒，输入信号 试用静态误差系数法，求该系统的稳态误差。 解： 型系统 例7-36 为应用终值定理，须判别系统的特征根是否在单位圆内。特征方程： 两个闭环极点 ，系统是稳定的。 整理得到 7.9 线性定常离散系统的数字校正 线性定常离散系统设计中，常用的性能指标有两类： 第一类指标与连续系统的大致相同，包括瞬态性能指标、稳定裕量、 静态误差系数、频域性能指标等。瞬态性能指标有时也通过闭环主导 极点的位置或阻尼比的形式给出。 第二类指标是离散系统特有的，要求系统在典型输入信号作用下，具 有零稳态误差和最小时间响应。 与连续系统一样，离散系统也可以采用串联校正、局部反馈校正和复合 校正几种方式。本节介绍串联数字控制器的设计。 7.9.1 数字控制器的模拟化和离散化设计方法 1. 数字控制器的模拟化设计方法 数字控制器 由于连续信号经采样后 再经过保持器可恢复连 续信号，因此，采样器 与相邻保持器的作用可 忽略，这时离散系统可 以等效为连续系统。只 要按照连续系统的校正 方法求出连续校正装置 的传递函数Gc(s)，然后 进行离散化。 若采样周期T取的很小，也可以近似为 2数字控制器的离散化设计方法 用离散化方法设计数字控制器，首先需要对系统中的连续部分离散化，求 出未校正系统的开环脉冲传递函数 ，然后选择合适的D(z)使 校正后的系统满足设计要求。离散化设计方法可以有以下三种： n z域的根轨迹设计法 n w域的频率特性设计法 n z域的直接设计方法 连续系统校正方法在 离散系统中的推广 根据离散系统性 能指标的要求， 确定(z)或 e(z),然后利用 公式求出D(z)。 或者 7.9.2 最少拍无差系统的设计 称一个采样周期为一拍。所谓最少拍无差系统是指在典型输入信号作用下 ，能够以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。 常见的典型输入信号及其它们的Z变换分别为： 具有的一 般形式： 最少拍无差系统的设计方法：首先选择闭环脉冲传递函数(z)或e(z)，使系 统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误 差为零。然后根据(z) 、 e(z)确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z) 。 是不含 因子 的 多项式。 使稳态误差为零的条件是e(z)中包含有 的因子，即 F(z)为不含 因子的多项式。为满足瞬态过程在最少拍结束的要求， 需要选择合适的F(z)，使e(z)的全部极点均位于Z平面的原点，且所含z-1 项数最少。如果G(z)不含延迟环节z-1及Z平面单位圆上或单位圆外的零极 点，则可以取F(z)=1。 这时就有 说明瞬态响应只经过m拍就进入稳态且误差为零。 下面讨论最少拍系统在不同典型输入