三次样条函数的优缺点及双圆弧样条函数课件

一、三次样条函数的几点说明 1、三次样条函数建立的条件 在建立三次样条函数时，小挠度是必要的前提条件。导 出前述样条函数时，都是以满足小挠度条件为前提的。 则 故可以将略去不计 故： 于是就有： 2、样条函数的含义 在前面讨论的拉格朗日插值等方法中，为了提高插值 的准确性，要不断提高插值的次数，这样不仅大大增 加了计算的难度，同时当次数太高时还会出现“龙格现 象”。 放弃采用多次插值的方法而是采用分段低次插值，这 样将插值区间分为若干个分区间，这样就有效地降低了插 值的次数，也降低了插值计算的难度。 采用的三次样条函数就是对每一个分段区间采用最高 次数是三次的函数进行模拟。 3、三次样条函数的物理意义 （1）三次样条函数y其实就是样条的位移函数。即在不同 点处的样条的位移量。 （2）样条函数的一阶导数表示的是样条在该处的转角。所 有点处的转角就可以形成一转角函数，即一阶导数函数。 为了保证样条函数的光滑我们必须保证在各型值点处的转 角要唯一。 （3）样条函数的二阶导数表示的是样条在该处的弯矩。所 有点处的弯矩就可以形成一弯矩函数，即二阶导数函数。 为了保证样条函数的光顺我们还必须保证在各型值点处的 弯矩唯一。 4、三次样条函数的优势 (1) 采用了分段插值，有效地降低了插值的次数； (2) 次数不高（仅为三次）且固定，可以比较方便的采用 待定系数法进行求解； (3) 函数自身保证了函数、一阶导数、甚至二阶导数的连 续，可以比较方便的描述大部分光顺曲线。 5、三次样条函数的缺点 (1) 略去了 ，这样使得无法直接描述大挠度曲线； (2) 任何局部的修改都将影响到整条样条函数； (3) 当曲线中有直线时，拟合效果不好； (4) 不能解决具有垂直切线的问题； (5) 二阶导数不连续时，将产生大波动。 二、双圆弧样条函数 所谓圆弧样条，就是使用圆弧这一最简单的二次曲线， 以样条的思想产生的圆样条。 1、何谓圆弧样条 圆弧样条得到了广泛的应用，究 其原因是因为它有如下特点： (1) 圆弧样条采用了局部坐标系，每一段圆弧都是以节 点、圆心和半径表示的，故其图形具有几何不变性 (2) 圆弧样条是通过每两相邻型值点建立局部坐标系来拟 合曲线的，可以它可以拟合大挠度曲线。 (3) 现有的数控机床的控制装置，广泛采用圆弧插补器 ，采用圆弧样条拟合曲线，便于进行计算机编程。 (4) 圆弧样条与直线、圆和同类曲线求交点是解析的，比 其它样条函数简单、准确。 2、何谓双圆弧样条 而双圆弧样条就是在两型值点间用一对（2个）相切的 圆弧构造的样条。 两圆弧 的接点 圆弧1 圆弧2 请大家思考，两节点间 的曲线是否为圆弧曲线？ 事实上，两段相切的圆弧连 接而成的曲线也是一三次样条曲 线，我们称为局部三次样条曲线 。 3、双圆弧样条的求得 根据圆弧样条的特点（1），圆弧样条是在局部坐标系 下面建立的，故我们通过任意两相邻型值点建立局部坐标 系。 A 设通过 两点的三次 样条函数为： L 例题1 已知三次样条函数在三型值点的值为 在区间 上，求 在自然边界条件下的三次样条函数表达式。 解：这里有三个插值点，将插值区间分成了两个： 设三次样条函数的插值多项式为： 由曲线插值及函数连续条件： 2n-24个 方程 由内节点处一阶导数连续得： n-21个方程 由内节点处二阶导数连续得： n-21个方程 由自然边界条件得：