1.2 应用举例(二) 学案（人教b版必修5）

1.2应用举例(二)自主学习 知识梳理1在ABC中，有以下常用结论：(1)abc，bca，cab；(2)ab_；(3)ABC，；(4)sin(AB)_，cos(AB)_，sin _，cos _.2在锐角ABC中，ABABsin A_cos Bcos A_sin B.3三角形常用面积公式(1)S_(ha表示a边上的高)；(2)Sabsin C_；(3)S(可由正弦定理推得)；(4)S2R2sin Asin Bsin C(R是三角形外接圆半径)；(5)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径) 自主探究在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两条对角线长的平方和你能利用余弦定理加以证明吗？对点讲练知识点一证明平面几何有关定理例1一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设APC，BPC.求证：.总结面积法是证明平面几何问题的常用方法之一面积等式SABPSAPCSBPC是证明本题的关键变式训练1在ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：.知识点二计算平面图形中线段的长度例2如图所示，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长总结在解三角形时，有些复杂的问题常常需要将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的，本例先求BD就起到了这样的作用变式训练2已知ABC，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，求证：ABC中，a边上的中线MA.知识点三计算平面图形的面积例3如图所示，在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD，而BCD是正三角形(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值总结本题将四边形面积转化为三角形面积问题，将实际问题转化为数学问题，是转化与化归思想的应用变式训练3已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积1掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解有关三角形中的三角函数问题2利用正弦定理、余弦定理解决几何问题时，关键在于找出图形中的边角的关系式，即将有关几何关系转化为三角形中的边角关系，再利用正弦定理、余弦定理求出有关量. 课时作业一、选择题1ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为()A. B.C. D92在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A. B. C. D.3在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，如果2bac，B30，ABC的面积为，那么b等于()A. B1 C. D24平行四边形中，AC，BD，周长为18，则平行四边形面积是()A16 B17 C18 D18.535在ABC中，已知b2bc2c20，a，cos A，则ABC的面积S为()A. B.C. D6二、填空题6ABC中，已知A60，ABAC85，面积为10，则其周长为_7钝角三角形的三边为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是_8已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为_三、解答题9.已知四边形ABCD中，AB2，BCCD4，DA6，且D60，试求四边形ABCD的面积10设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B3，bsin A4.(1)求边长a；(2)若ABC的面积S10，求ABC的周长l.1.2应用举例(二)知识梳理1(2)ABsin Asin B(4)sin Ccos Ccos sin 23(1)aha(2)acsin Bbcsin A自主探究证明在BAD内：BD2AB2AD22ABADcos BAD在ABC内：AC2AB2BC22ABBCcosABCABCBAD180，cosABCcosBAD0.BD2AC22AB2AD2BC2，即：AC2BD2AB2BC2CD2DA2.对点讲练例1证明SABPSAPCSBPCPAPBsin()PAPCsin PBPCsin 两边同除以PAPBPC，得.变式训练1证明如图所示，在ABD中，利用正弦定理，.在CBD中，利用正弦定理， BD是角B的平分线，ABDCBD，又ADBCDB180，sinADBsinCDB，所以，得.即成立. 例2解设BDx，在ABD中，由余弦定理有AB2BD2AD22ADBDcosADB，即142x210220xcos 60，x210x960，x16(x6舍去)，即BD16.在BCD中，由正弦定理，BC8.变式训练2证明如图所示：BMMC.在ABM中，由余弦定理得：c2MA222MAcosAMB.在ACM中，由余弦定理得：b2MA222MAcosAMCcosAMBcosAMC0，以上两式相加，得：b2c22MA2.即MA2b2c2a2，MA.例3解(1)ABD的面积S111sin sin ，由于BDC是正三角形，则BDC的面积S2BD2.而在ABD中，由余弦定理可知：BD21212211cos 22cos .于是四边形ABCD的面积Ssin (22cos )，Ssin，0.(2)由Ssin及0，得0，则SABACsin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：BC2AB2AC22ABACcos A825228549.BC7，周长为ABBCCA20.7.a3解析由.解得a3.8.解析不妨设a6，bc12，由余弦定理得：cos A，sin A .由(abc)rbcsin A得r.S内切圆r2.9解连结AC，在ACD中，由AD6，CD4，D60，可得AC2AD2DC22ADDCcosD6242246cos 6028，在ABC中，由AB2，BC4，AC228，可得c