【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-2课件：1.4 数学归纳法

-1- 4 数学归纳法 -2- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.理解数学归纳法的原理. 2.掌握数学归纳法在证明与正整数有关的不等式问题、整除问题、几何问题 中的应用. 3.掌握归纳、猜想、证明等探求数学问题的方法. -3- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法. 2.数学归纳法的证明步骤 (1)基本步骤: 验证:当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立; 在假设当n=k(k1)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立. 根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据,验证了当n=1时 命题成立;根据可知,当n=1+1=2时命题成立.由于n=2时命题成立,再根据可 知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,时命题成立,即 命题对任意正整数n都成立. 1-2 -4- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1-2 -5- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 【做一做1-2】 用数学归纳法证明:1+5+9+13+(4n-3)=2n2-n. 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立. (2)假设当n=k(k1)时,命题成立, 即1+5+9+13+(4k-3)=2k2-k. 则当n=k+1时, 1+5+9+13+(4k-3)+(4k+1) =2k2-k+(4k+1) =2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1). 故当n=k+1时,命题成立.综上所述,原命题成立. 1-2 -6- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 数学归纳法的各步骤之间的关系如何? 剖析:数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即 通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是 命题具有后继传递的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继 正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.这两步缺一不可. 特别指出的是,第二步不是判断命题的真假,而是证明命题是否具有传递性.如果没 有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题. -7- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -8- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -9- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -10- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -11- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -12- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -13- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 【变式训练1】 用数学归纳法证明对于任意非负整数n,An=11n+2+122n+1能被 133整除. 分析:由题意,第一步应从n=0开始验证. 证明:(1)当n=0时,A0=112+12=133,能被133整除. (2)假设当n=k(k0)时,Ak=11k+2+122k+1能被133整除,则当n=k+1时, Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1 =1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1 =11(11k+2+122k+1)+133122k+1,能被133整除. 即当n=k+1时命题成立. 根据(1)和(2),可知对于任意非负整数n命题都成立. 题型一题型二题型三题型四 -14- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -15- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一题型二题型三题型四 -16- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 【变式训练2】 平面上有n条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且任意三条 都不相交于同一点.求证:这n条抛物线把平面分成f(n)=n2+1部分. 证明:(1)当n=1时,即有一条抛物线,把平面分成两部分,因为f(1)=12+1=2,所以 n=1时命题成立. (2)假设n=k(kN+)时,命题成立,即k条抛物线把平面分成k2+1部分. 则当n=k+1时,在k条抛物线的基础上增加了1条,按题目条件,新增加的这条抛物 线与原来k条抛物线有2k个交点,2k个交点把新增抛物线分成2k+1段,各段把平面 一分为二,所以平面增加了2k+1部分. 故f(k+1)=f(k)+2k+1=(k+1)2+1,即n=k+1时,命题成立. 根据(1)和(2),可知命题对任意nN+都成立. 题型一题型二题型三题型四 -17- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2也成立,且P(n)对n=2时成立,则下列结 论中正确的是( ) A.P(n)对所有的自然数n成立 B.P(n)对所有的正偶数n成立 C.P(n)对所有的正奇数n成立 D.P(n)对所有大于1的自然数成立 答案:B 1 2 3 4 5 -18- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 5 -19- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 SUITANGYANLIAN 随堂演练 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 5 -20- 4 数学归纳法ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN