高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：导数学习中几个易错点

导数学习中几个易错点一、定义的理解与应用例1.已知函数f（x）=2x3+5，求。分析：本题很容易这样做：=6x2，=24，或者=3=3=72。这两种做法都是错误的，错误的原因皆在于对导数的定义理解不深。解：=6x2，=3=3=72。评注：当是x在x0处的增量时，3也是x在x0处的增量。本题的正确做法是视3为增量，套用导数定义求得极限。二、单调递增就是导数大于零例2.已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。错解：依定义，。若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0。的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是t5。剖析：若0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增，但0所以0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则0，反之不成立。因为0，即0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.正解：依定义，。若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0。的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是t5。三、极值的存在条件例3.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a，b。分析：抓住条件“在x=1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得a，b。a，b有两组值，是否都合题意需检验。解：=3x2+2ax+b，根据题意可得，即，易得此时，在x=1两侧附近符号相同，不合题意。当时，=（3x+11）（x1），此时，在x=1两侧附近符号相异，符合题意。所以。评注：极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。四、“过某点”和“在某点处“的关系例4.过点（-1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）A 2x+y+2=0 B 3x-y+3=0 C x+y+1=0 D x-y+1=0错解：=2x+1 所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0 点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1因为切线过点（-1，0）所以即所以所以切点坐标为（0，1）或(-2,3)故切线方程为xy+1=0或3x+y12=0所以应选D五、极值与最值的关系例5.求函数f(x)=sin2xx在上的最大值和最小值。错解：=，令，得=0。解得或当时，0,所以f(x)在是减函数；当时0，所以f(x)是增函数；当时0，所以f(x)是减函数。所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间上的连续函数，如果在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比