2015-2016学年高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课后习题 新人教a版选修2-2

1.7.1定积分在几何中的应用课时演练促提升A组1.如图,阴影部分的面积为()A.9B.C.D.解析:由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部分的面积为S=-x2-(x-2)dx=(-x2-x+2)dx=.答案:B2.若y=f(x)与y=g(x)是a,b上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积为()A.f(x)-g(x)dxB.g(x)-f(x)dxC.|f(x)-g(x)|dxD.解析:因为f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选C.答案:C3.已知函数y=x2与y=kx(k0)的图象所围成的封闭区域的面积为,则k=()A.3B.2C.1D.解析:由消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为S=(kx-x2)dx=,则k3=27,解得k=3.答案:A4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为()A.B.C.D.解析:作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积.解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)dx=.答案:A5.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0所围成的平面图形的面积为()A.4B.3C.2D.1解析:如图,由x2+2=3x,得x=1,或x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6),所求的面积为S=(x2+2-3x)dx+(3x-x2-2)dx=1.答案:D6.曲线y=ex,y=e-x及x=1所围成的图形的面积为.解析:作出图形,如图所示.S=(ex-e-x)dx=(ex+e-x)=e+-(1+1)=e+-2.答案:e+-27.由正弦曲线y=sin x,x和直线x=及x轴所围成的平面图形的面积等于.解析:如图,所围成的平面图形(阴影部分)的面积S=|sin x|dx=sin xdx-sin xdx=-cos x+cos x=2+1=3.答案:38.计算由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积.解法一:由得抛物线与直线的交点为P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),所以S=-(-)dx+dx=2dx+dx=10.解法二:抛物线和直线方程可改写为x=y2,x=2y+3,则S=(2y+3-y2)dy=10.9.计算由曲线y=x2+1,直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解:画出两函数的图象,如图所示:由又直线x+y=3与x轴交于点(3,0),S=(x2+1)dx+(3-x)dx=+1+.B组1.曲线y=sin x(0x)与直线y=围成的封闭图形的面积为()A.B.2-C.2-D.解析:因为曲线y=sin x(0x)与直线y=的交点的横坐标分别为x=及x=,所以所求图形的面积为dx=.答案:D2.由y=x2,y=,y=1所围成的图形的面积为()A.B.C.2D.1解析:如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2.答案:A3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.解析:f(x)=3x2+2ax+bf(0)=bb=0,令f(x)=0x=-a(asin x,在上,sin xcos x.面积S=(cos x-sin x)dx+(sin x-cos x)dx=2(sin x-cos x)dx=-2(sin x+cos x)=4.6.求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.解:由定积分的性质与微积分基本定理,得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t(0,1),所以S=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).当t变化时,S,S变化情况如下表:tS-0+S极小值所以当t=时,S最小,且Smin=.7.过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36,求l的方程.解:由题意可知直线的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx,则由(1)当k+40,即k-4时,面积S=(kx-x2+4x)dx=k(k+4)2-(k+4)3+2(k+4)2=(k+4)3=36,k=2,故直线l