2015-2016学年高中数学 2.2.2反证法课后习题 新人教a版选修2-2

2.2.2反证法课时演练促提升A组1.实数a,b,c不全为0等价于()A.a,b,c全不为0B.a,b,c中最多只有一个为0C.a,b,c中只有一个不为0D.a,b,c中至少有一个不为0答案:D2.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多一个是偶数D.至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为“a,b,c都不是偶数”.选B.答案:B3.已知x10,x11,且xn+1=(n=1,2,),试证“数列xn对任意的正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时应为()A.对任意的正整数n,有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xnxn+1D.存在正整数n,使xnxn+1解析:全称命题的否定是特称命题.答案:D4.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于解析:假设a,b,c均小于,则a+2b+cb,那么,假设的内容应是.答案:7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,a7是1,2,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=0.但0奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析:据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+a7)-(1+2+7)为奇数.又因为a1,a2,a7是1,2,7的一个排列,所以a1+a2+a7=1+2+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)(a1+a2+a7)-(1+2+7)8.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:不成等差数列.证明:假设成等差数列,则=2,即a+c+2=4b,而b2=ac,即b=,所以a+c+2=4,所以()2=0,即.从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故不成等差数列.9.已知f(x)是R上的增函数,a,bR.证明:(1)若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.证明:(1)因为a+b0,所以a-b,b-a,又f(x)是R上的增函数,所以f(a)f(-b),f(b)f(-a),由不等式的性质可知f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)假设a+b0,则a-b,b-a,因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)f(-b),f(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与已知f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立.B组1.两条相交直线l,m都在平面内且都不在平面内.命题甲:l和m中至少有一条与平面相交,命题乙:平面与相交,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知与相交,设交线为a,假设l,m都与平面平行,则al,am,所以lm,这与已知l与m相交矛盾,所以乙甲.若已知l,m中至少有一条与平面相交,不妨设l=A,则点A,且点A,所以与必有一条过点A的交线,即甲乙.故选C.答案:C2.已知数列an,bn的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且ab,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为()A.0B.1C.2D.无穷多解析:假设两个数列中的第n项相同,则由an=bn,得an+2=bn+1,即(a-b)n=-1.ab,a-b0.又nN*,(a-b)n0.这与(a-b)n=-10矛盾,两个数列中没有序号与数均相同的项.答案:A3.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有解得a|-2a,(1-b)c,(1-c)a.a,b,c都是小于1的正数,从而.但是=,与上式矛盾.假设不成立,即原命题成立.6.已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.解:不存在.理由如下:假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则OPOQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=-1,所以(ax1-1)(ax2-1)=-x1x2,即(1+a2)x1x2-a(x1+x2