第十篇 第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A3项 B4项 C5项 D6项解析Tr1C()24rrCx12，故当r0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项答案C2设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中x的系数为()A150 B150 C300 D300解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案B3(2013西安模拟)已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38 C1或38 D1或28解析由题意知C(a)41 120，解得a2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案C4(2012天津)在5的二项展开式中，x的系数为()A10 B10 C40 D40解析因为Tr1C(2x2)5rrC25r(1)rx103r，所以103r1，所以r3，所以x的系数为C253(1)340.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5(2011湖北)18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)解析Tr1Cx18rr(1)rCrx18r，令18r15，解得r2.所以所求系数为(1)2C217.答案176(2012浙江)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案10三、解答题(共25分)7(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项解(1)由题意，得CCCC256，即2n256，解得n8.(2)该二项展开式中的第r1项为Tr1C()8rrCx，令0，得r2，此时，常数项为T3C28.8(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论第0行1第1行 11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)CCC.(2)12222n2n11.(3)设CCC345，由，得，即3n7r30.由，得，即4n9r50.解联立方程组，得n62，r27，即CCC345.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1已知0a0)与y|logax|的大致图象如图所示，所以n2.故(x1)n(x1)11(x21)2(x21)11，所以a12C2119.答案B2(2012湖北)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(1341)2 012a被13整除余1a，结合选项可得a12时，512 012a能被13整除答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a11)_.解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.答案74(2011浙江)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_解析由Tr1Cx6rrC(a)rx6r，得BC(a)4，AC(a)2，B4A，a0，a2.答案2三、解答题(共25分)5(12分)已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解5的展开式的通项为Tr1C5rr5rCx，令205r0，得r4，故常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n16，得n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca454，解得a.6(13分)已知n， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，