高中数学选修1-1智能演练（苏教版）第2章2.3.1

已知双曲线的焦点在x轴上，且ac9，b3，则它的标准方程是_解析：因为b3，所以c2a2(ca)(ca)9，所以ca1，a4，此双曲线的标准方程是1.答案：1双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0，3)，那么k的值是_解析：焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是1，k0，b0)由题意，得B(2，0)，C(2，3)来源:，解得，双曲线的标准方程为x21.答案：x21与x21有相同的焦点，且过点(2，)的双曲线方程为_解析：设方程为1(4k0，1k0)，将点(2，)代入方程得k2.所以方程为1.来源:答案：1已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且0，|2，则该双曲线的方程是_解析：由于三角形PF1F2为直角三角形，故PFPF4c240(PF1PF2)22PF1PF240，由双曲线定义得(2a)2440a29，故b21，双曲线方程为y21.答案：y21设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1PF232，则PF1F2的面积为_解析：双曲线的a1，b2，c.设PF13r，PF22r.PF1PF22a2，r2.于是PF16，PF24.PFPF52F1F，故知PF1F2是直角三角形，F1PF290.SPF1F2PF1PF26412.答案：12已知双曲线经过点A，且a4，求双曲线的标准方程解：若设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则将a4代入，得1.又点A(1，)在双曲线上，1.由此得b20，b0)，则将a4代入得1，代入点A(1，)，得b29，双曲线的标准方程为1.来源:设双曲线与椭圆1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A位于y轴右侧且纵坐标为4，求此双曲线的方程解：法一：设双曲线的方程为1(a0，b0)，由题意知c236279，c3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得所以双曲线方程为1.法二：设双曲线的方程为1(a0，b0)，将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0，3)，F2(0，3)，所以2a 844，a2，b2c2a2945，所以双曲线方程为1.B级能力提升若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是_解析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF1PF2的值PF1PF22，|PF1PF2|2a，所以PFPF2PF1PF24m，PF2PF1PF2PF4a2，两式相减得：4PF1PF24m4a2，PF1PF2ma2.答案：ma2已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小(O为坐标原点)为_解析：连接ON，ON是三角形PF1F2的中位线，所以ONPF2，因为|PF1PF2|8，PF110，所以PF22或18，ONPF21或9.答案：1或9已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1(，0)，过右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求该双曲线的标准方程解：由题意在RtPF1F2中PF2F190，又PF1F230，则设PF2m，得F1F2m，PF12m，又F1F22，则解得m2，所以2aPF1PF22，所以b2c2a22，则所求双曲线的标准方程为x21.(创新题)在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA100 km，PB150 km，BC60 km，APB60，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹设M为界线上的任意一点，则有PAMAPBMB，即MAMBPBPA50(定值)界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示来源:以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，a25，2cAB50，c25，b2c2a23750，双曲线方程为1，因为C的坐标为(25