高二数学精品教案：1.4 2（选修2-2）

导数及均值不等式在生活中的优化问题中的应用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。导数是解决最值问题有力的工具之一，我们常用求函数的导数来确定最优解。但是除此之外，均值不等式在解决此类问题时也有其自身的特点，下面我将通过一些具体的例子来作简单的说明。【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1-1所示的竖向的海报，要求版心面积为128，上、下两边各空2，左右两边各空1，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？解：设版心的高为，则版心的宽为，此时四周空白的面积为图1-1 解法一：（导数法）求函数的导数得：；令，解得：，于是宽为。当时，当时，因此，是函数的极小值点，也是最小值点，所以，当版心高为16，宽为8时，能使四周空白面积最小。解法二：（均值不等式法）（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）当且仅当，即时取等号，此时宽为，所以，当版心高为16，宽为8时，能使四周空白面积最小。来源:【例2】以长为10的线段为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值。解：如图2-1所示，设，面积 （）AB图2-1解法一：（导数法）求函数的导数得：，令，解得：（舍去）当时，当时，；在时，取得极大值，也是最大值；因此当时，它的内接矩形面积最大，最大值为25。解法二：（均值不等式法），（）当且仅当，即时取等号。（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）【例3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：（），已知甲乙两地相距100千米，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升。，（）解法一：（导数法）求函数的导数得：来源:， 令，解得：，当时，当时，；在时，取得极小值，也是最小值。解法二：（均值不等式法）当且仅当，即时取等号。（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）【例4】用长为18m的钢条围成一个长方体形状框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为m，则长为m，高为（m），来源:故长方体的体积为：（）解法一：（导数法）求函数的导数得：令：，解得：（），当时，当时，；故时，取得极大值，并且这个极大值就是最大值，从而（）。所以长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大值为3解法二：（均值不等式法），当且仅当，即时取等号，此时（）。所以长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大值为3通过上述的几例可以发现，通过求导数进行求解最值具有普遍性，对很多最值问题都可以求解，但有些题目用导数知识解题过程较为繁琐，极值点求出后，极值情况有的还要与区间断点值比较；而使用均值不等式进行求解时，过程较为简练，但均值不等式只能解决最值问题中的一类问题，有其自身的局限性，并且有的还要注意有陷阱的问题。例如：求函数的最小值时，要是直接使用均值不等式就会出现问题。，取等号时，此时。用均值不等式解题时，要注意找到能消去自变量的最佳组合，这一点就不好做到，所以新教材改革中淡化了对均值不等式的应用，而导数弥补了均值不等式的不足，其方法思路清晰，条理明确。在解决优化问题时，两种方法各有千秋，如果我们能对两种方法都有所理解，针对具体问题具体分析，有选择地运用，就能使思路开阔，方法简捷，有利于学生解决问题能力的提高。电子邮箱：www.shulihua.n