高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式（一）学案 新人教a版必修4

1.3三角函数的诱导公式【学习要求】1了解三角函数的诱导公式的意义和作用2理解诱导公式的推导过程3能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题【学法指导】1本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题2这组诱导公式的推导思路是：首先确定角180、角的终边与角的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论3在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末为什么确定180角为第一研究对象，角为第二研究对象，正是化归思想的运用利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.1设为任意角，则，的终边与的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系与关于 对称与关于 对称与关于 对称2诱导公式一四(1)公式一：sin(2k) ，cos(2k) ，tan(2k) ，其中kZ.(2)公式二：sin() ，cos() ，tan() .(3)公式三：sin() ，cos() ，tan() .(4)公式四：sin() ，cos() ，tan() .探究点一诱导公式的作用和意义在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0360内的角的三角函数值，对于90360内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？请你完成下面的问题，并注意观察三角函数的符号规律(1)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以sin _，cos _，tan _；(2)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以sin _，cos _，tan _；(3)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以sin_，cos_，tan _；(4)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以sin _，cos _，tan _.探究点二诱导公式二(1)公式内容：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .(2)公式推导：如图，设角的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角的终边与单位圆的交点为P2(x，y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程，请你补充完整：由三角函数的定义得sin ，cos ，tan ，又sin() ，cos() ，tan() ，sin() ，cos() ，tan() .(3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：sin ，cos ，tan 240 .探究点三诱导公式三(1)公式内容：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .(2)公式推导：如图，设角的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，由于角的终边与角的终边关于x轴对称，因此角与单位圆的交点为P2 ，则sin y，cos x，tan ；sin()ysin ；cos() ，tan() .(3)公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数例如，sin(390) ，cos ，tan .探究点四诱导公式四(1)公式内容：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .(2)公式推导：请写出诱导公式四的推导过程方法一：如图，设角的终边与单位圆相交于P1(x，y)，由于角与的终边关于y轴对称，因此角的终边与单位圆相交于P2(x，y)，则sin y，cos x，tan ；sin() ，cos() ，tan() .方法二：由诱导公式二和诱导公式三可得：sin()sin()sin()sin ，cos() .tan() .即sin() ，cos() ，tan() .(3)公式作用：将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数例如，sin 480 ，cos 150 ，tan 135 .【典型例题】例1求下列三角函数的值(1)sin；(2)cos 960；(3)tan .解(1)sinsin sin(4)sin sinsin .(2)cos 960cos(2402360)cos 240cos(18060)cos 60.(3)tan tan(6)tan tan()tan tan()tan .小结利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2)内的角的三角函数，转化为0,2)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再用诱导公式转化到范围内的角的三角函数值跟踪训练1求下列三角函数值(1)sin；(2)cos ；(3)tan(855)例2化简：.解原式tan .小结利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值跟踪训练2化简：.例3已知cos，求cossin2的值解cossin2cossin2coscos2cos121.小结对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值跟踪训练3已知cos()，2，求sin(3)cos()的值1求下列三角函数的值(1)sin 690；(2)cos；(3)tan(1 845)2化简：.3证明：(1)ncos ，nZ.1明确各诱导公式的作用 诱导公式作用公式一将角转化为02之间的角求值公式二将02内的角转化为0之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将