第一章 第2讲

第2讲简谐运动的描述目标定位1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义.2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义.3.了解简谐运动位移方程中各量的物理意义，能依据振动方程描绘振动图象一、描述简谐运动的物理量1振幅振动物体离开平衡位置的最大距离振幅的两倍表示的是振动物体运动范围的大小2周期和频率(1)全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动振动物体完成一次全振动的时间总是相同的(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T表示单位：在国际单位制中，周期的单位是秒(s)(3)频率：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用f表示单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz.(4)周期和频率的关系：f(5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快3相位在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态想一想振幅就是振动物体离开平衡位置的最大位移吗？为什么？答案不是振幅是一个标量，它是指物体离开平衡位置的最大距离，它既没有负值，也无方向而最大位移既有大小，也有方向，所以振幅不同于最大位移二、简谐运动的表达式简谐运动的表达式为xAsin (t)1A表示简谐运动的振幅2是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的圆频率它也表示简谐运动的快慢，2f.3t代表简谐运动的相位，是t0时的相位，称做初相位，或初相4相位差如果两个简谐运动的频率相等，其初相分别是1和2，当21时，它们的相位差是(t2)(t1)21.想一想简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？答案不一定，还可以用余弦函数表示一、描述简谐运动的物理量1对全振动的理解正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征(1)振动特征：一个完整的振动过程(2)物理量特征：位移(x)、速度(v)第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点(3)时间特征：历时一个周期(4)路程特征：振幅的4倍(5)相位特征：增加2.2振幅与路程的关系振动物体在一个周期内的路程为四个振幅振动物体在半个周期内的路程为两个振幅振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅3周期(T)和频率(f)(1)周期是振动物体完成一次全振动所需的时间频率是单位时间内完成全振动的次数所以周期(T)与频率(f)的关系为：T.(2)物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关例1如图1所示，弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，AB间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则()图1A从OBO振子做了一次全振动B振动周期为2 s，振幅是10 cmC从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD从O开始经过3 s，振子处在平衡位置解析振子从OBO只完成半个全振动，A错误；从AB振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；t6 s1T，所以振子经过的路程为4A2A6A60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处A或B，D错误答案C例2一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图2所示，由图可知()图2A质点振动的频率是4 HzB质点振动的振幅是2 cmCt3 s时，质点的速度最大Dt3 s时，质点的振幅为零解析由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误，B正确；t3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以D错误答案BC二、简谐运动的表达式做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：xAsin (t)1由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A、圆频率和初相.据或2f可求周期T或频率f，可以求某一时刻物体的位移x.2关于两个相同频率的简谐运动的相位差21的理解(1)取值范围：.(2)0，表明两振动步调完全相同，称为同相，表明两振动步调完全相反，称为反相(3)0，表示振动2比振动1超前0，表示振动2比振动1滞后例3一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y0.1sin 2.5t，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则()A弹簧振子的振幅为0.2 mB弹簧振子的周期为1.25 sC在t0.2 s时，振子的运动速度为零D若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y0.2sin ，则A滞后B解析由振动方程为y0.1sin 2.5t，可读出振幅为0.1 m，圆频率2.5，故周期T0.8 s，故A、B错误；在t0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差212.5t2.5t，即B超前A，或者说A滞后B，D正确答案CD借题发挥应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T，f，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系三、简谐运动的周期性和对称性1周期性做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态2对称性如图3所示，物体在A和B之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：图3(1)时间的对称物体来回通过相同的两点间的时间相等如tDBtBD.物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOBtBOtOAtAO，tODtDOtOCtCO.(2)速度的对称物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反例4一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？解析将物理过程模型化，画出具体化的图景如图甲所示设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O到M运动时为0.13 s，再由M经最右端A返回M历时0.1 s，如图乙所示甲乙丙另一种可能就是M点在O点左方，如图丙所示，质点由O点经最右端A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M点向左经最左端A点返回M点历时0.1 s.根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性如图乙所示，可以看出OMA历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T140.18 s0.72 s.另一种可能如图丙所示，由OAM历时t10.13 s，由MA历时t20.05 s则T2t1t2，解得T20.24 s.所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s.答案0.72 s和0.24 s描述简谐运动的物理量1如图4所示是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是()图4A振动周期是2102 sB第2个102 s内物体的位移是10 cmC物体的振动频率为25 HzD物体的振幅是10 cm解析振动周期是完成一次全振动所用的时间，所以周期是4102 s又f，所以f25 Hz，则A项错误，C项正确；由题图可读出振幅A10 cm，则D项正确；第2个102 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x10 cm，则B项正确答案BCD简谐运动的周期性和对称性2如图5所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab1 s，过b点后再经t1 s质点第一次反向通过b点若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅图5解析简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tbatab1 s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tadatbcbt1 s.综上所述，质点的振动周期为Ttabtbcbtbatada4 s由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s2222(2)28 cm16 cm.所以质点的振幅为A4 cm.答案4 s4 cm简谐运动的表达式及其振动图象3.如图6所示为A、B两个简谐运动的位移时间图象请根据图象回答：图6(1)A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s.(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在t0.05 s时两质点的位移分别是多少？解析(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.(2)t0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，由T0.4 s，得5.则简谐运动的表达式为xA0.5sin (5t) cm.t0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，由T0.8 s得2.5，则简谐运动的表达式为xB0.2sin cm.(3)将t0.05 s分别代入两个表达式中得：xA0.5sin (50.05) cm0.5 cm cm，xB0.2sin cm0.2sin cm.答案(1)0.50.40.20.8(2)xA0.5sin (5t) cm，xB0.2sin cm(3)xA cm，xB0.2sin cm.4弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t0.2 s时，振子速度第一次变为v；在t0.5 s时，振子速度第二次变为v.(1)求弹簧振子振动周期T；(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程；(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象解析(1)弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示由对称性可得：T0.52 s1 s.甲(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅A25 cm12.5 cm.振子4 s内通过的路程为：s4412.5 cm200 cm.(3)根据xAsin (t)，A12.5 cm，2，0.得x12.5sin 2t cm.振动图象如图乙所示乙答案见解析(时间：60分钟)题组一描述简谐运动的物理量1振动周期指的是振动物体()A从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间B从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间C从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间D经历了四个振幅的时间答案CD2周期为2 s的简谐运动，在半分钟内振子通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为()A15次，2 cm B30次，1 cmC15次，1 cm D60次，2 cm解析振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处)，而每次全振动振子通过的路程为4个振幅答案B3如图1所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A点，OA2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为()A0.2 s B0.4 s C0.1 s D0.3 s图1解析简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，它们相等答案A4一质点做简谐运动的图象如图2所示，下列说法正确的是()图2A质点的振动频率是4 HzB在10 s内质点通过的路程是20 cmC第4 s末质点的速度是零D在t1 s和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同解析根据振动图象可知，该简谐运动的周期T4 s，所以频率f0.25 Hz，A错；10 s内质点通过的路程s4A10A102 cm20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在t1 s和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错答案B5水平放置的弹簧振子先后以振幅A和2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程中的平均速度分别为v1和v2，则()Av12v2 B2v1v2C.v1v2 Dv1v2解析弹簧振子做简谐运动，周期与振幅无关，设为T，则从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程的时间为均；第一次位移为2A，第二次位移为4A，即位移之比为12，根据平均速度的定义式，平均速度之比为12.答案B6在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图3甲所示是一种常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与小球振动方向垂直)，P就会在纸带上画出一条曲线如图乙所示为某次记录的一条曲线，若匀速拉动纸带的速度为0.5 m/s，则由图中数据可得该弹簧振子的振动周期为 s；若将小球的振幅减小为4 cm，其它条件不变，则其振动周期将 (选填“变大”、“不变”或“变小”)图3解析该弹簧振子的振动周期为T s0.4 s若将小球的振幅减小为4 cm，其振动周期不变答案0.4不变题组二简谐运动的周期性与对称性7如图4所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则()图4A振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期B振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期C振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期D振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期解析从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错；振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错答案B8质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O.质点经过a点(xa5 cm)和b点(xb5 cm)时速度相同，所用时间tab0.2 s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba0.4 s则该质点做简谐运动的频率为()A1 Hz B1.25 Hz C2 Hz D2.5 Hz解析由题意可知：a、b点在O点的两侧，关于O点对称，质点由a点到b点所用时间tab0.2 s，由b点回到a点所用最短时间tba0.4 s，表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于5 cm，设周期为T，由简谐运动的对称性可知，质点由b点回到a点的时间为，即0.4 s，T0.8 s，频率f Hz1.25 Hz.答案B9一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图5所示)过B点后再经过t0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是()图5A0.5 s B1.0 s C2.0 s D4.0 s解析根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB0.5 s0.25 s质点从B向右到达右方最远位置(设为D)的时间tBD0.5 s0.25 s所以，质点从O到D的时间：tODT0.25 s0.25 s0.5 s所以T2.0 s.答案C题组三简谐运动的表达式10某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 xAsin t，则质点()A第1 s末与第3 s末的位移相同B第1 s末与第3 s末的速度相同C第3 s末与第5 s末的位移方向相同D第3 s末与第5 s末的速度方向相同解析根据xAsin t可求得该质点振动周期为T 8 s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确答案AD11物体A做简谐运动的振动方程是xA3sin m，物体B做简谐运动的振