课时训练16 空间向量的正交分解及其坐标表示

课时训练16空间向量的正交分解及其坐标表示一、综合题1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c,其中可以作为空间的基底的向量组有().A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C解析:如图所示,设a=,b=,c=,则来源:x=,y=,z=,a+b+c=,由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理可知b,c,z和x,y,a+b+c也不共面.2.点M(-1,3,-4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是().A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)答案:A3.若向量的起点与终点互不重合且无三点共线,则下列关系(O是空间任一点)中,能使向量成为空间的一个基底的是().A.B.C.来源:D.=2答案:C解析:A中点M,A,B,C共面;B,D中可能共面,故选C.4.设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为().A.B.C.D.答案:A来源:解析:如图,由已知=)=()+()=,从而x=y=z=.来源:5.已知向量p在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底i,j,k下的坐标是().A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)答案:A解析:依题意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基底i,j,k下的坐标是(12,14,10).6.设命题p:a,b,c为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则p是q的条件.答案:充分不必要解析:若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面,故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.7.在空间中平移ABC到A1B1C1(使A1B1C1与ABC不共面),连结对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底a,b,c表示向量的结果是.答案:a+b+c解析:如图,来源:=)+)=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c.8.四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO平面OABC,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示:.解:连结BO,则=)=)=(c-b-a)=-a-b+c.=-a+=-a+)=-a-b+c.)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c.a.9.如图,已知正方体ABCD-ABCD,点E是上底面ABCD的中心,求下列各式中x,y,z的值. (1)=x+y+z;(2)=x+y+z.解:(1)=-,又=x+y+z,x=1,y=-1,z=1.(2)=,又=x+y+z,x=,y=,z=1.10.已知e1,e2,e3为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断P,A,B,C四点是否共面;(2)能否以作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数x,y,z使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得与x+y+z=1矛盾,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数m,n使=m+n,同(1)可证,