高二数学精品教案：2.3 1（选修2-2）

数学归纳法及其应用考纲要求1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题2掌握利用“观察归纳猜想证明”探索问题的方法重点、难点归纳1归纳法来源:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法2数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。学法探秘来源:数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。“观察归纳猜想证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。典型例析例1用数学归纳法证明证明：1当n=1时，左边=1-=，右边=，所以等式成立。2假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。说明：要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。例2(2002年湖南数学联赛试题)已知a1=1，a2=3，an+2=(n+3)an+1-(n+2)an，若当mn时，am的值都能被9整除，求n的最小值。解：因为a11，a23，an2(n3)an1(n2)an，所以a11，a23，a39，a433，a5153，a6873，。因为a5与a6都能被9整除，所以由递推关系式an2(n3)an1(n2)an可知a5后面的所有项都能被9整除。故n的最小值为5。另解：由an2(n3)an1(n2)an可得an2an1(n2)an1(n2)an(n2)(an1an)(n2) (n1)(anan1) (n2) (n1)n(n1) 432(a2a1) (n2)!。所以ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)1!2!3!n!（n1）。由于a11，a23，a39，a433，a5153，并且n6时n!能被9整除，所以n的最小值为5。来源:例3求证：2-(nN，且n2)证明：1当n=2时，左边=1+=2-=右边，不等式成立。2假设当n=k(kN，且k2)时不等式成立，即2-。那么+0所以故+2-这就是说，当n=k+1时，不等式也是成立的。综上所述，不等式2-(nN，且n2)成立。说明：求解本题的关键在于证明：(nN)。w