第一章综合素质检测

第一章综合素质检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c，b，B120，则a等于()A.B2C. D.答案D解析在ABC中，由正弦定理，得sinC，又B120，C为锐角，C30，A30，ac.2在ABC中，若AB1，BC1，AC，则B等于()A30 B45C60 D120来源:答案C解析cosB，B60.3在ABC中，A45，AC4，AB，那么cosB()A. BC. D答案D解析BC2AC2AB22ACABcosA1628cos4510，BC，cosB.4等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是()A30或150 B15或75C30 D15答案A解析由题意：sinBcosB.两边平方得sin2B，设顶角为A，则A1802B.sinAsin(1802B)sin2B，A30或150.5从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的关系为()A BC90 D180答案B解析仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故.6(2012天津理，6)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知8b5c，C2B，则cosC()A. BC D.答案A解析由及8b5c，C2B得，5csin2B8csinB，cosB，cosCcos2B2cos2B1.来源:数理化网7ABC的三边分别为2m3，m22m，m23m3(m0)，则最大内角度数为()A150 B120C90 D135答案B解析解法一：m0，m23m32m3，m23m3m22m.故边m23m3对的角为最大角，由余弦定理，cos，120.解法二：特值法取m1，则三边长为5,3,7cos，120.8在ABC中，关于x的方程(1x2)sinA2xsinB(1x2)sinC0有两个不等的实数根，则A为()A锐角 B直角C钝角 D不存在答案A解析把已知方程整理得(sinAsinC)x22sinBx(sinAsinC)0，4sin2B4(sinAsinC)(sinAsinC)0，即sin2Bsin2Csin2A0.b2c2a20，cosA0，可知A为锐角9ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asinAsinBbcos2Aa，则()A2 B2C. D.答案D解析asinAsinBbcos2Aa，由正弦定理，得sin2AsinBsinBcos2AsinA，sinB(sin2Acos2A)sinA，sinBsinA，.由正弦定理，得.10在ABC中，a2b2abc22SABC，则ABC一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案B解析由a2b2abc2得：cosC，C60，又2SABCa2b2ab，2absin60a2b2ab，得2a22b25ab0，即a2b或b2a.当a2b时，代入a2b2abc2得a2b2c2；当b2a时，代入a2b2abc2得b2a2c2.故ABC为直角三角形11在ABC中，若|2，|5，5，则SABC()A.B. C.D5答案A解析|cosA10cosA5，cosA，sinA，SABC|sinA.12如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形答案D解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾，故假设不成立，即A2B2C2是钝角三角形，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为85，则此三角形面积为_答案40解析设另两边长为8x和5x，则cos60得x2，另两边长为16和10，此三角形面积为S1610sin6040.14在ABC中，若tanA，C150，BC1，则AB_.答案解析tanA，sinA，由正弦定理，得AB.15.如图，已知梯形ABCD中，CD2，AC，BAD60，则梯形的高为_答案解析解法一：BAD60，ADC180BAD120.CD2，AC，sinCAD.sinACDsin(60CAD).AD3.hADsin60.解法二：在ACD中，AC2AD2CD22ADCDcos120，AD22AD150.AD3(AD5舍去)hADsin60.16在ABC中，cos2，则ABC的形状为_答案直角三角形来源:解析cos2，cosA.由余弦定理，得cosA，a2b2c2.ABC为直角三角形三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tanA3，cosC.(1)求角B的大小；(2)若c4，求ABC面积解析(1)cosC，sinC，tanC2.tanBtan(AC)1，又0B，B.(2)由正弦定理，得，b.B，AC.sinAsin(C)sincosCcossinC().SABCbcsinA46.18(本题满分12分)在ABC中，已知a，A60，bc1，求b、c和B、C.解析由余弦定理，得6b2c22bccos60，b2c2bc6由bc1平方得：b2c22bc42、两式相减得bc22.由，解得 ，由正弦定理，得sinB.b2，B为锐角，B75，从而可知C45.点评求角B时，若先求得sinC，ac，C45，从而得B75.若用余弦定理cosB，B75.19(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40min后到达点B，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再航行80min到达C点，求P、C间的距离解析AB3020，BC3040.来源:在ABP中，A120，ABP30，APB30，BPsinBAPsin12020.在RtBCP中，PC20.P、C间的距离为20n mile.20(本题满分12分)在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解析(1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA，故cosA，A120.(2)由a2b2c2bc，得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1，故sinBsinC.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形21(本题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC，求b及c的长解析(1)cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或.22(本题满分14分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos(BC)16cosBcosC.(1)求cosA的值；(2)若a3，ABC的面积为2，求b、c.解析(1)由3co