第二章 2.4向量的应用（人教b版必修4）

2.4 向量的应用（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知O为ABC所在平面内的一点，| |2+ |2=| |2+| |2=| |2+| |2，则O为ABC的（ ）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心2. O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(-)(+)=(-)(+)=0，则O为ABC的（ ）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心3.已知在ABC中，=，则O为ABC的（ ）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心4.已知O为ABC内一点，且满足(+)(-),(+)(-),则O为 ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心二、填空题（每小题5分，共10分）5. 有下列四个关系式：|ab|=|a|b|;|ab|a|b|;|ab|a|b|;|ab|a|b|.其中正确的关系式是 .6. 设=(3，1)，=(-1，2)，,又+=，则的坐标是 .三、解答题(共70分)Q P B N CA M D7.（15分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形.8.（20分）已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F的作用下在动摩擦系数=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？来源:9. （15分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？来源:10. （20分）以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰RtOAB，OBA=90,求点B的坐标和向量.2.4 向量的应用（数学人教B版必修4） 答题纸 得分： 一、选择题题号1234答案二、填空题5 6 三、解答题来源:7.8.来源: 向量的应用（数学人教B版必修4） 答案一、选择题1. D 解析：由| |2+| |2=| |2+| |2，得2-2=2-2，即(-)(+)=(-)(+)，所以(+-+)=0，2=0，即O在AB的垂线上.同理，O在AC的垂线上.所以O为ABC的垂心.故应选D.2.B 解析：由(-)(+)=0知2=0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的中垂线上.同理，O在AC的中垂线上，故O为ABC的外心.3. C 解析：由=，知-=0.则(-)= =0.故,即OBCA.同理OCAB,OABC.故O为ABC的垂心. 4. A 解析：由(+)(-)得(+)(-)=0.故2-2=0，即|=|.同理，由(+)(-),可得|=|.故A、B、C三点分别与点O的距离相等，故O为ABC外接圆的圆心，即O为ABC的外心.故选A.二、填空题5. 解析：|ab|=|a|b|cos |a|b|,其中为a与b的夹角.6. (11，6) 解析：设=(x,y),由,得-x+2y=0.由=-=(x+1,y-2), ,得(x+1)-3(y-2)=0.由联立，解得x=14,y=7.故=-=(14，7)-(3，1)=(11，6).三、解答题7.证明：设=a，=b,由M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，|a|=|b|,得 =a-b, =a-b,故=，即NACM.又=a+b, =a+b,所以=，即BMND.从而四边形PMQN是平行四边形.来源:又由=(a+b)(a-b)=a2-b2=0,故，即BMNA.所以四边形PMQN为矩形.8.解：设木块位移为s,则Fs=|F|s|cos 30=5020=500.将力F分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为|F1|=|F|sin 30=25,所以|f|=|G-F1|=0.02(810-25)=1.1,fs=|f|s|cos 180=-22.故F和f做的功分别为5 00 J和-22 J.9.解：由题意知，原题可转化为在ABC内求一点P，使得AP2+BP2+CP2最小.设=a, =b, =t,则= -=t-a, = -=t-b,2+2+2=t2+(t-a)2+(t-b)2=3(t-)2+ (a2+b2)- ab,所以当=t=,即P为ABC的重心时，AP2+BP2+CP2最小.10.解：设B点坐标为(x,y),则=(x,y), =(x-4,y-2). OBA=90, ,即=0. x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2-4x-2y=0.设OA的中点为C，则点C(2，1)，=(2，1)，=(x-2,y-1