2017年全国高考考前数学复习大串讲专题5.4高考预测卷(五)理(含答案

第 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 （ 是虚数单位），则复数 的实部是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】 A 2. 已知集合 ， ，若全集为实数集 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】， 故选 D. 3. 不等式组 表示的平面区域的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 A 【解析】 作出不等式组 表示的区域是两直角边分别为 的直角三角形，面积,故选 A. 4. 执行如图程序框图，输出的 等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】 A 【解析】 ,故选 A. 5. 在公差不为零的等差数列 中， ，数列 是各项为正的等比数列，且则 的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 8 【答案】 D 6. 在矩形 中， , ，点 为 的中点，点 在 边上，若 ，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 B 【解析】 以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立直角坐标系，则 ，设，由 ，则 ，所以，故选 B. 7. 已知点 及圆 ： ，则 “ 点 在圆 内 ” 是 “ 直线 ： 与圆 相离 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 点 在圆 ： 内 ，故选 C. 8. 已知函数 ，若 ，则 等于（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】 C 【解析】 ,所以 ，故选 C. 9. 一个三棱锥的三视图如图（图中小正方形的边长为 1），若这个三角棱锥的顶点都在同一个球的球面上，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 10. 函数 （ 或 ）的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由函数 是偶函数，排除 D，当 时， ，排除 A,C，所以选 B. 11. 如图，直三棱柱 中， ， ， ，外接球的球心为 ，点 是侧棱 上的一个动点 直线 与直线 是异面直线； 一定不垂直 ； 三棱锥 的体积为定值； 的最小值为 . 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 12. 已知 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 上有一点（ ），点 在 轴上的射影恰好是双曲线 的右焦点，过点 作双曲线 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 ， ，若平行四边形 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 设平行线方程为 ，由 ，解得 ，则 ，又点 到直线 的距离，化简得： ，又，又 ，解得 ，所以方程是，故选 A. 第 卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个考生必须作答 2 题 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 计算 得 _ 【答案】 【解析】 根据定积分的几何意义及定义，可知，故答案为 . 14. 设 ，则 等于 _ 【答案】 30 【解析】 ，则，故答案为 . 15. 我国古代， 9 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9 相关的设计。例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有 9 块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块，共有 9 圈，则前 9 圈的石板总数是 _ 【答案】 405 16. 已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点（ 为自然对数的底），则线段 的长度的最小值为 _ 【答案】 【解析】 圆心 ，先求 的最小值，设 ，所以以点 为切点的切线方程为 ，当 垂直切线时， ，此时点 ，函数图象上任意点到点 的距离大于点 到切线的距离即 ，所以 的最小值是，故答案为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知函数 ，在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， . （ 1）当 时，求函数 的取值范围； （ 2）若对任意的 都有 ， ， ，点 是边 的中点，求 的值 . 【答案】 （ 1） （ 2） 18. 为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了 20 名男生、 20 名女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于 80 分的同学为 “ 空间想象能力突出 ” ，低于 80 分的同学为 “ 空间想象能力正常 ”. （ 1）完成下面 列联表，并判断是否有 的把握认为 “ 空间想象能力突出 ” 与性别有关； 空间想象能力突出 空间想象能力正常 合计 男生 女生 合计 （ 2）从 “ 空间想象能力突出 ” 的同学中随机选取男生 2 名、女生 2 名，记其中成绩超过 90 分的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 . 下面公式及临界值表仅供参考： 答案】 （ 1）没有 的把握（ 2） 试题解析：（ 1） 列联表如下： 由公式 ，计算得 ， 因为 ，所以没有 的把握认为 “ 空间想象能力突出 ” 与性别有关； （ 2） ， ， ， ， ， 所以 的分布列是： 数学期望是： . 19. 如图，四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ，, ， ，点 在棱 上，且 ，点 在棱 上，且平面 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 【答案】 （ 1）详见解析（ 2） 试题解析：（ 1）如图连接 交 于点 ，因为 平面 ，所以 ，由 ，所以 ，又 ，所以 ， 所以 ， ， 又因为 ，所以 是直角三角形， 又 ，所以 ， 又因为侧面 底面 ，所以 平面 . 20. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）过点 且斜率大于 0 的直线 与椭圆 相交于点 ， ，直线 ， 与 轴相交于 ， 两点，求的取值范围 . 【答案】 （ 1） （ 2） （ 2）设直线 的方程为 ， ， ， 直线 的方程为 ，可得 ，即 ， 直线 的方程为 ，可得 ，即 . 联立 ，消去 ，整理得 . 由 ，可得 ， ， ， ， ， ， 因为 ， ，所以 ，因此 ，即 ， 的取值范围是 . 21. 已知函数 （ ， 为常数），函数 （ 为自然对数的底） . （ 1）讨论函数 的极值点的个数； （ 2）若不等式 对 恒成立，求实数的 取值范围 . 【答案】 （ 1）详见解析（ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）求得 ，分三种情况讨论，分别研究函数的单调性进而可得函数极值点的个数；（ 2）不等式 对 恒成立，等价于 只需研究函数 的最小值不小于零即可 . 试题解析：（ 1） ， 由 得： ，记 ，则 ， 由 得 ，且 时， ， 时， ， 所以当 时， 取得最大值 ，又 ， （ i）当 时， 恒成立，函数 无极值点； （ 时， 有两个解 ， ，且 时， ，时， ， 时， ，所以函数 有两个极值点； （ 时，方程 有一个解 ，且 时 ， 时， ，所以函数 有一个极值点； 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，倾斜角 . （ 1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程； （ 2）设 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值 . 【答案】 （ 1） （ 2） 23. 选修 4等式选讲 已知函数 . （ 1）若 ，解不等式： ； （ 2）若 的解集为 ，且 ，求 的最小值 . 【答案】 （ 1） （ 2