高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 新人教a版必修4

1.2.1任意角的三角函数【学习要求】1掌握正弦、余弦、正切函数的定义域2了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切3能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题【学法指导】1三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具2三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.1三角函数的定义域正弦函数ysin x的定义域是_；余弦函数ycos x的定义域是_；正切函数ytan x的定义域是_2三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于P点过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点单位圆中的有向线段 、 、 分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线记作：sin ，cos ，tan .探究点一三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集根据任意角三角函数的定义可知正弦函数ysin x的定义域是_；余弦函数ycos x的定义域是_；正切函数ytan x的定义域是_在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域例如：(1)函数ysin xtan x的定义域为_答案x|xR且xk，kZ(2)函数y的定义域为_答案x|2kx2k，kZ(3)函数ylg cos x的定义域为_答案x|2kx1.证明设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，则sin MP，cos OM，OP1.在RtOMP中，由两边之和大于第三边得MPOMOP，即sin cos 1.问题3若为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2cos2与1的关系解当的终边落在x轴上时，sin 0，|cos |1，sin2cos21；当的终边落在y轴上时，|sin |1，cos 0，sin2cos21；当的终边不落在坐标轴上时，sin MP，cos OM.在RtOMP中，|MP|2|OM|2|OP|21.sin2cos21.综上所述，对于任意角，都有sin2cos21.【典型例题】例1在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合解已知角的正弦值，可知MP，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点.过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的集合为|2k或2k，kZ小结作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处跟踪训练1根据下列三角函数值，作角的终边，然后求角的取值集合：(1)cos ；(2)tan 1.解(1)因为角的余弦值为，所以OM，则在x轴上取点，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1，OP2是所求角的终边，的取值集合为：|2k，kZ(2)因为角的正切值等于1，所以AT1，在单位圆上过点A(1,0)的切线上取AT1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1、P2两点，OP1，OP2是角的终边，则角的取值集合是|2k或2k，kZ|n，nZ例2在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .小结利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin xm或sin xm的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用跟踪训练2已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，在0,2)内，求的取值范围解由题意知如图，由三角函数线可得或0，sin2x，sin x.如图所示x (kZ)，即x (kZ).1角(0”或“sin MP；cos OMcos OM；tan ATtan AT.1三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画