高二数学精品教案：1.6 3（选修2-2）

5 微积分学基本定理定积分计算(续)教学目的与要求：1. 理解并掌握微积分基本定理的内容及意义. 具有应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力.2. 熟练应用积分第二中值定理证明定积分有关问题.教学重点，难点：1. 微积分基本定理的内容及意义. 应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力.2. 应用积分第二中值定理证明定积分有关问题.教学内容：当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一 变限积分与原函数的存在性设f在a,b上可积,根据定积分的性质4,对任何x(a,b), f在a, x上也可积.于是,由 (1)定义了一个以积分上限x为自变量的函数,称为变上限的定积分.类似地,又可定义变下限的定积分: (2)与统称为变限积分.注：在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成x(例如)以免与积分上、下限的x相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质.由于 因此下面只讨论变上限积分的情形.定理9.9 若f在a,b上可积,则由(1)式所定义的函数在a,b上连续.证 对a,b上任一确定的点x,只要x+xa,b,按定义式(1)有 因f在a,b上有界,可设于是,当x0时有 当x0时则有由此得到 即证得在点x连续.由x的任意性, 在a,b上处处连续. 定理9.10 (原函数存在定理) 若f在a,b上连续,则由(1)式所定义的函数在a,b上处处可导,且 (3)证 对a,b上任一确定的x,当x0且x+xa,b时,按定义式(1)和积分第一中值定理,有 由于f在点x连续,故有 由x在a,b上的任意性,证得是f在a,b上的一个原函数. 注 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式(1)给出了f的一个原函数,正因为定理9.10的重要作用而被誉为微积分学基本定理. 且可用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。因f的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当f为连续函数时,它的任一函数F必满足 若在此式中令x=a,得到C=F(a),从而有再令x= b,即得 (4)这是牛顿一菜布尼茨公式的又一证明.比照定理9.1,现在只需假设被积函数f为连续函数,其原函数F的存在性已为定理9.10所保证,无需另作假设.利用变限积分又能证明下述积分第二中值定理.定理9.11 (积分第二中值定理) 设函数f在a,b上可积.(i)若函数g在a,b上减,且g(x)0,则存在a,b使得 (5)(ii)若函数g在a,b上增,且g(x)0,则存在,使得 (6)证 下面只证(i),类似地可证(ii).设 由于f在a,b上可积,因此F在a,b上连续,从而存在最大值M和最小值m. 若g(a)=0,由假设,此时对任何式恒成立.下面设g(a)0,这时(5)式即为 (5)所以问题转化为只须证明 (7)因为由此可借助F的介值性立刻证得(5).当然(7)式又等同于 (7)下面就来证明这个不等式.由条件f有界,设而g必为可积,从而对任给的0,必有分割T:a=x0x1xn=b,使 现把按积分区间可加性写成 来源:对于I1,必有 对于,由于F(x0)=F(a)=0,和 可得 再由于是利用I=1,2,n估计得I2.同理由F(xi)m,i=1,2,n又有I2mg(a). 综合得到 由为任意小正数,这便证得 即不等式（7）成立，随之有（7），（5）和（5）式成立。 推论 设函数f在a,b上可积。若g为单调函数，则存在a,b，使得来源: （8）证 若g为单调递减函数，令h(x)=g(x)-g(b),则 h为非负、递减函数。由定理9.11(),存在，使得 =由于 因此证得 若g为单调递增函数，只须令h(x)=g(x)-g(a),并由定理9.11(ii)和(6),同样可证得(8)式成立.注 积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具.二 换元积分法与分部积分法对原函数的存在性有了正确的认识,就能顺利地把不定积分的换元积分法和分部积分法移植到定积分计算中来.定理9.12 (定积分换元积分法) 若函数f在a,b上连续,来源: 则有定积分换元公式: (9)证 由于(9)式两边的被积分函数都是连续函数,因此它们的原函数都存在.设F是f在a,b上的一个原函数,由复合函数微分法 可见F是的一个原函数.根据牛顿一菜布尼茨公式,证得 =F 注1从以上证明看到,在用换元法计算定积分时,一旦得到了用新变量表示的原函数后,不作变量还原,而只要用新的积分限代入并求其差值就可以了.这就是定积分换元积分法与不定积分法的区别,这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数,理应保留与原来相同的自变量;而定积分的计算结果是一确定的数,如果(9)式一边的定积分计算出来了,那么另一边的定积分自然也求得了.注2 如果在定理9.12的条件中只假定f为可积函数,但还要求是单调的,那么(9)式仍然成立.(本节习题第14题.)例1 计算解 令应用公式(9),并注意到在第一象限中cos t0,则有 = 例2 计算解 逆向使用公式(9),令 例3 计算J解 令得到 对最末第二个定积分作变换有 它与上面第三个定积分相消.故得 J= 事实上,例3中的被积函数的原函数虽然存在,但难以用初等函数来表示,因此无法直接使用牛顿一菜布尼茨公式.可是像上面那样,利用定积分的性质和换元公式(9),消去了其中无法求出原函数的部分,最终得出这个积分的值.换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质,如本节习题中的第5,6,7等题.定理9.13 (定积分分部积分法) 若为a,b上的连续可微函数,则有定积分分部积分公式: (10)证 因为是 在a,b上的一原函数,所以有移项后即为(10)式. 为方便起见,公式(10)允许写成 (10)例3 计算来源:解 例5 计算解 当n2时,用分部积分求得Jn=.移项整理后得到递推公式:. (11)由于 重复应用递推式(11)便得 (12)令可得 因而这两个定积分是等值的。 由例5结论（12）可导出著名的沃利斯（Wallis）公式： （13）事实上，由把（12）代入，得到 由此又得因为来源:所以故得 （即（13）式）。沃利斯公式（13）揭示了与整数之间的一种很不寻常的关系。三 泰勒公式的积分型余项若在a,b上u(x)、v(x)有n+1阶连续导函数，则有 （14）这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明。下面应用公式（14）导出泰勒公式的积分型余项。设函数f在点x0的某一领域U(x0)内有n+1阶连续导函数。令 利用（14）式得 =，其中Rn(x)即为泰勒公式的n阶余项。由此求得 （15）这就是泰勒公式的积分型余项.由于f（n+1）（t）连续，（x-t）n在x0,x( x, x0)上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将（15）式写作 =，其中这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项。如果直接用积分第一中值定理于（15），则得 由于 因此又进一步把 改写为 （16）特别当x0=0时又有