福建省四地六校2017年高二下第二次联考5月试题(理)及答案

2016 2017学年下学期第二次月考 高二数学（理）试题 (满 分 150分 , 考试时间 120 分钟 ) 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 .） 的共轭复数为 Z ，且满足： 11，其中 i 为虚数单位，则 Z （ ） A 1 B 2 C 2 D 4 是一个离散型随机变量，其分 布列为： 则 q 为 ( ) A 1 B221C221D2213、函数 2( ) 2 x x x的递增区间是 ( ) A. 1(0, )2B. ),21(),0,21( C. 1( , )2 D. )21,0(),21,( 4 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ( , )Bn p 且 ( ) 1 2 , ( ) 3E X D X，则 n 与 p 的值分别为（ ） A 218,3B 316,4C 116,4D 118,45. 已知函数 ()图中的矩形区域投出 100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过 10 次这样的实验，算得落入阴影区域的豆子平均数为 39 ，由此可估计 10 ()f x 值为（ ） A. 61100B. 39100C. 10100D. 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台，在取出的 3 台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（ ） A. 70种 C. 140种 X 1 0 1 P 21 2q 7、 设函数 s i n c o sf x x x ,t f t 处切线的斜率为 k ，则函数 k g t 的部分图像为 （ ） 8 已知随机变量 X 服从正态分布 2(1, )N ，且 ( 0 ) 0 ，则 (1 2 )（ ） A. B. ()13(*n 的展开式中含有常数项的最小的 ) A 4 B 7 C 6 D 5 2 道选择题、 4道填空题、 6道解答题中任取 3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ） A. 1 1 112 6 203322 10C C B. 1 1 1 1 21 2 6 4 1 2 6332 2 1 0C C C C C. 1 1 1 2 2 11 2 6 4 6 1 2 6332 2 1 0()C C C C C D. 3 3 32 2 1 0 1 6332 2 1 0C C 1 2 1 0 1 10 1 2 1 0 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x a a x a x a x a x ，则10 ） （ A） 10 （ B） 10 （ C） 11 （ D） 11 ) | |xf x x e ，又 )( 2 ( ) ( ) 1 0f x tf x t R 2( ) ( ) 1 0f x tf x t R ， 若满足 1)( x 有四个，则 t 的取值范 围为 ( ) A 2 1, B 2 1( , )C 2 1 ,2D 2 12, 二、填空题 (本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ). 的概率分布列如下， 求 )( X 1 5 9 P .3 a 其中 为自然对数的底数），则 的值为 _ 13=(1 1)2， 13+23 +33 =(2 3)2， 3 +33 +43 +53 =(3 5)2， 23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4 7)2，由归纳思想，第 n 个式子 3 3 3 31 2 3 ( 2 1 )n L 。 16已 知 偶 函数 ()定义在 R 上的可导函数，其导函数为 ()，当 0x 时 有22 ( ) ( )f x x f x x，则不等式 )2(4)2 0 1 7()2 0 1 7( 2 0的解集为 . 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 一袋中共有个大小相同的黑球 5 个 和白球 5 个 (1) 若从袋中任意摸 出 2 个球， 求 至少有 1 个白球的概率 . (2)现从中不放回地取球，每次取 1 个球，取 2 次，已知第 1 次取得白球，求第 2 次取得黑球的概率 18.（本小题满分 12分） 已知 a R，函数 221)1( （ 1） 若函数 )( 在 x =3处取得极值，求曲线 )( 在点（ 1， )1(f ）处的切线方程； （ 2）若 a 0,且 函数 )( 有两个不同的零点，求 a 取值范围。 19（本小题满分 12分） 如图 ,在直三棱柱 111 中， 面 1其垂足 D 落在直线 1 （ 1） 求证： （ 2） 若 3 2 P 为 中点， 求二面角 平面角的余弦值 D C 20张先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有12,图），1 3,A A 路口遇到红灯 的 概率 均 为 12；2路口遇到红灯的概率 依次 为 34， 35 若走1 最多 遇到 1 次 红灯的概率 ； 若走2遇到红灯次数 X 的数学期望； 按 照“ 平均 遇到红灯 次数最少 ”的 要求 ， 请你帮 助 张先 生从 上述两条路线中选择一条 最好的上班路线 ，并说明理由 2: 1 ( 0 )a 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 腰直角三角形，直线 10 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切 . （ 1）求椭圆 C 的 方程； （ 2）过点 (2,0)M 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 ，若椭圆 C 的左焦点为 1F ，求 面积的最大值 . , )( ， 其中 a 为常 数， 718,2e . （ 1）求 函数 )(单调区间与极值 ； （ 2）若存在 x 使不等式 )(成立，求实数 m 的取值范围； （ 3）若 1x , 2x （1）， 121 求证： 42121 )( H C 2 2 2 016 2017 学年下学期第二次月考 高二数学（理）参考答案 一、选择题。 (本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项 符合题意，请将正 确答案填入答卷中 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B D A B A D C C A 二、填空题 ： (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .) 13. 7 ； 14. 37； 15. 2 (2 1)； 16. )2015,2019( ； 三、解答题： (本大题共 6小题，共 80分 明过程 或演算步骤 .) 解： (1)记 “ 从袋中任意摸出 2个球，至少有 1个白球 ” 为事件 A， 则971)(21025 (2)令 “ 第 1次取得白球 ” 为事件 B , “ 第 2次取得黑 球 ” 为事件 C ，则 1155111 0 95()18 ， 1 1 1 15 5 5 4111 0 91()2C C C . 故 ( ) 5( | )( ) 9P B B 解：（ 1） x 0 又x )1()1()(2 3分 3是函数 )( 的极值点， 0)3( f 解得： a =3 4分 2214 27)1( )27,1( 又 0)1( f 所求 切线方程 为：27y 6分 （ 2）x )1()1()(2x )(1( 8分 a 0 且 x 0 0，由 0)( x 1 ；由 0)( ： 0 1x 函数 )( 在 1,0( 单调递减；在 ),1 单调递增。 函数 )( 在 x =1时取得极小值21)1( 11 分 由 已知 得21)1( 0， 解得21 a 0 12分 19. （） 证明： 三棱柱 111 为直三棱柱， 面 又 面 1 - 平面1 面1 . 又 1面 面 1 ， 平面 1 又 面 （） 由 （） 知 平面1面 从而 如图 ,以 立空间直角坐标系 平面 1其垂足 D 落在直线 1 . 在 中， 3， ， 3s i n 2B , 060 在直三棱柱 111 中， B . 在1中， t a A B 01 6 0 2 3, .则 B (0,0,0), )0,2,0(A ,C（ 2， 0， 0） ,P（ 1， 1， 0） , 1A （ 0， 2， 2 3 ） , )0,1,1(1 0， 2， 2 3 ） 设平面 一个法向量 ),(1 y z 则 0011103220 可得)3,3,3(1 n .平面 一个法向量 )0,0,1(2 n 721,c 二面角 1 平面角 的 余弦值是7211 2分 20解：（ 1）设走 1L 路线最多遇到 1次红灯为 P(A)=21)21()21()21( 313303 3分 （ 2） 走21次红灯的概率 为21依题意， ,1,2 P(X=0)=( 1,101)531( P(X=1)=20953)431()531(43 2095343)2( 的分布列为 X 0 1 2 P 101 209 209 9分 1027220912090101)( 10 分 (3) 设走 1L 路线最多遇到红灯次数为 Y, 随机变量 Y 服 从 二 项 分 布 ， )21,3( 23213)( E(X) E(Y), 选择21 12 分 21解 ： （ ）由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)( ， 圆心到直线 01 距离 12（ *） 椭圆 , 2， 代入（ *）式得 1， 22， 故所求椭圆方程为 2 4 分 （ ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 )2( 设 00,P x y， 将 直线方程代入椭圆方程得： 2 2 22 8 8 2 0( 1 2 ) x k x ， 4 2 26 4 4 ( 1 2 ) ( 8 2 ) 0k k k ， 解得 2 12k 设 11(),S 22(),T 则 221 2 1 28 8 2,1 2 1 2x x x ， 222212 2116811 1F 到 l 的距 离213 2222)21()21(2321 令 )2,1(,21 2 则 1)1(3)1(23)21()21(2321 22222 .当 24361,34 m a 即 12分 22解： （ 1）0)(, / 得令递减当 )(,0)(),1,0( / ， 递增，当 )(,0)(),1( / )(1 取极小值时，当 . 4分 （ 2）由 )(得 ，令 )( 则2 1(1