江西省赣州市2017年高二数学下第二次5月月考试题（理）及答案VIP

江西省赣州市 20165 月）月考试题 理 注：全卷总分 150 分，考试时间 120 分钟，请按要求作答。 一、 选择题。本题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分。在每题列出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的。 1已知 2+i） z=1+2i，则 （） A + i B i C +i D i 2 用数学归纳法证明某命题时，左式为 + 2n 1） （ k Z， n N*） 在验证 n=1时，左边所得的代数式为（） A B + C + D +3极坐标方程（ 1）（ ） =0（ 0 ）表示的图形是（） A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 4、 用反证法证明命题： “ 三角形的内角中至少有一个不大于 60o ” 时，假设正确的是 60o 60o 个大于 60o 60o 5不等式 |2x 1|+|x+1| 2的解集为（） A （ ， 0） （ ， + ） B（ ， + ） C（ ， 1） （ ， + ） D （ ， 0） 6由曲线 y= ，直线 y=x 2及 A B 4 C D 6 7从 0， 1， 2， 3， 4， 5共 6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被 5整除的有（） A 40个 B 36 个 C 28个 D 60个 8由抛物线 y=x 3围成的平面图形的面积为（） A B C 64 D 32 9设 ，那么 的值为（） A B C D 1 10已知函数 f（ x）的导函数为 f （ x），且满足 f（ x） =2（ 1） + f （ 1） =（） A e B 1 C 1 D e 11将号码分别为 1、 2、 、 9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 b则使不等式 a2b+10 0成立的事件发生的概率等于（） A B C D 12下列命题中 若 f （ =0，则函数 y=f（ x）在 x= 直线 5x 2y+1=0与函数 f（ x） =2x+ ）的图象不相切； 若 z C（ 且 |z+2 2i|=1，则 |z 2 2i|的最小值是 3； 定积分 正确的有（） A B C D 二、填空题：本大题共有 4 小题，每小题 5分，共 20 分，答案填写在答题卷上 . 13复数 在复平面中的 第 象限 14有 5名数学实习老师，现将他们分配到 2014年高二年级的三个班实习，每班至少 1名，最多 2名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 15 ，由此猜想出第 n（ n N+）个数是 16已知 y=f（ x）是奇函数，当 x （ 0， 2）时， f（ x） =a ），当 x （ 2， 0）时，f（ x）的最小值为 1，则 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 10分）在直角坐标系 原点 立极坐标系已知曲线 （ （ 为参数） （ ）化 说明它们分别表示什么曲线； （ ）若 对应的参数为 t= ， 2上的动点，求 到直线 （ 2=7距离的最小值 18（ 12 分）已知函数 f（ x） =x3+x 16 （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 2， 6）处的切线方程； （ 2）直线 y=f（ x）的切线，且经过 原点， 求直线 19（ 12分）给出四个等式： 1=1； 1 4=（ 1+2）； 1 4+9=1+2+3； 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） 猜测第 n（ n N*）个等式，并用数学归纳法证明 20（ 12 分）（ 1）已知等差数列 （ n N*），求证： 为等差数列； （ 2）已知等比数列 0（ n N*），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =|2x 1|+|2x+a|， g（ x） =x+3 （ ）当 a= 2时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集； （ ）设 a 1，且当 时， f（ x） g （ x），求 22（ 12 分）已知函数 f（ x） = （ a R） （ ）求函数 f（ x）单调区间； （ ）若 a= 1，求证：当 x 1时， f（ x） 第二次月考答案 选择题答案： 16 11D 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要 求的，答案填写在答题卷上 . 1（ 5分）已知 2+i） z=1+2i，则 （） A + i B i C +i D i 解答： 解： 2+i） z=1+2i， 可得 z= = = + i i故选： B 2（ 5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为 + 2n 1） （ k Z，n N*）在验证 n=1时，左边所得的代数式为（） A B + C + D +分析： 在验证 n=1时，令左边 n=1 可得：所得的代数式为： 解答： 解：由于左式为 + 2n 1） （ k Z， n N*）， 因此在验证 n=1时，左边所得的代数式为： 故选： B 3（ 5分）极坐标方程（ 1）（ ） =0（ 0 ）表示的图形是（） A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 由题中条件： “ （ 1）（ ） =0” 得到两个因 式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到 解答： 解：方程（ 1）（ ） =0=1 或 = ， =1 是半径为 1的圆， = 是一条射线故选 C 4 B 5（ 5分）不等式 |2x 1|+|x+1| 2的解集为（） A （ ， 0） （ ， + ） B（ ， + ） C （ ， 1） （ ， + ） D（ ， 0） 分析： 通过对自变量 掉绝对值符号，即可得出不等式 |2x 1|+|x+1| 2的解集 解答： 解： 当 x 时， |2x 1|+|x+1|=2x 1+（ x+1） =3x， 3x 2，解得 x ，又 x ，x ； 当 1x 时，原不等式可化为 x+2 2，解得 x 0，又 1x ， 1x 0； 当 x 1时，原不等式可化为 3x 2，解得 x ，又 x 1， x 1 综上可知：原不等式的解集为（ ， 0） （ ， + ）故选： A 6（ 5分）由曲线 y= ，直线 y=x 2及 A B 4 C D 6 分析： 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线 y= ，直线 y=x 2的交点，确定出积分区间和被积 函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解 解答： 解：联立方程 得到两曲线的交点（ 4， 2）， 因此曲线 y= ，直线 y=x 2及 S= 故选 C 点评： 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积 分的简单应用问题 7（ 5 分）从 0， 1， 2， 3， 4， 5共 6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被 5整除的有（） A 40个 B 36个 C 28个 D 60个 分析： 由题意知能被 5整除的三位数末位必为 0或 5当末位是 0时，没有问题，但当末位是 5时，注意 0不能放在第一位，所以要分类解决， 末位为 0的三位数其首次两位从 1 5的 5个数中任取 2个排列 末位为 5的三位数，首位从非 0， 5的 4个数中选 1个，再挑十位，相加得到结果 解答： 解：其中能被 5整除的三位数末位必为 0或 5 末位为 0的三位数其首次两位从 1 5的 5个数中任取 2个排列而成方法数为 0， 末位为 5的三位数，首位从非 0， 5的 4个数中选 1 个，有 再挑十位，还有 合要求的数有 41=16种 共有 20+16=36个合要求的数， 故选： B 点评： 本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被 5整除的三位数的特征（末位数为 0， 5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非 0的限制 8（ 5分）由抛物线 y=x 3围成的平面图形的面积为（） A B C 64 D 32 分析： 由题设条件，需要先求出抛物线 y=4 分时可以以 可以 故本题法一以 2以 解答： 解：联立方程组 ，得， 2， ， 抛物线 y=x 3所围成的平面图形的面积， S= =（ y ） | = ；故选： A 点评： 本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时 要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的 9（ 5分）设 ，那么 的值为（） A B C D 1 分析 ： 令 x=1， 可 得 a0+a1+a2+a3+a4+， 再令 x= 1可 得 a1+a3+5 解得 a0+a2+ a1+值 ， 即可求得要求式子的值 解答： 解：令 x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+，再令 x= 1可得 a1+a3+5 两式相加除以 2求得 a0+a2+22，两式相减除以 2可得 a1+ 121， 故 = ，故选 A B 10（ 5分）已知函数 f（ x）的导函数为 f （ x），且满足 f（ x） =2（ 1） + f （ 1） =（） A e B 1 C 1 D e 分析 已知函数 f（ x）的导函数为 f （ x），利用求导公式对 f（ x）进行求导，再把 x=1代入，即可求解； 解答： 解： 函数 f（ x）的导函数为 f （ x），且满足 f（ x） =2（ 1） +ln x，（ x 0） f （ x） =2f （ 1） + ，把 x=1代入 f （ x）可得 f （ 1） =2f （ 1） +1，解得 f （ 1） = 1，故选 B； 点评： 此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对 f（ x）进行正确求导，把 f（ 1）看成一个常数，就比较简单 了； 11（ 5分）将号码分别为 1、 2、 、 9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 b则使不等式 a 2b+10 0成立的事件发生的概率等于（） A B C D 分析： 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有 99 种结果，满足条件的事件是使不等式 a 2b+10 0成立的，即 2b a 10，列举出当当 b=1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9时的所有的结果，得到 概率 解答： 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有 99=81 种结果， 满足条件的事件是使不等式 a 2b+10 0成立的，即 2b a 10 当 b=1， 2， 3， 4， 5时， 种结果，共有 45种结果， 当 b=6时， 种结果当 b=7时， 种结果 当 b=8时， 种结果当 b=9时， 种结果 共有 45+7+5+3+1=61种结果 所求的概率是故选 D 点评： 本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含 的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏 12（ 5分）下列命题中 若 f （ =0，则函数 y=f（ x）在 x= 直线 5x 2y+1=0与函数 f（ x） =2x+ ）的图象不相切； 若 z C（ 且 |z+2 2i|=1，则 |z 2 2i|的最小值是 3； 定积分 正确的有（） A B C D 考点 ： 命题的真假判断与应用 专题 ： 综合题；推理和证明 分析： 若 f （ =0，且在 x=改变，则函数 y=f（ x）在 x= 求出导数 f （ x），由切线的斜率等于 f （ 根据三角函数的值域加以判断即可； |z+2 2i|=1表示圆， |z 2 2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值； 令 y= ，则 x2+6（ y0 ），点（ x， y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的 解答： 解： 若 f （ =0，且在 x=函数 y=f（ x）在 x=不正确； 若直线与函数的图象相切，则 f （ = 22） =然 正确； | z+2 2i|=1的几何意义是以 A（ 2， 2）为圆心，半径为 1的圆， |z 2 2i|的几何意义是圆上一点到点 B（ 2， 2）的距离，连接 然最小值为 1=4 1=3，故 正确； 令 y= ，则 x2+6（ y0 ），点（ x， y）的轨迹表示半圆，定积分 4为半径的圆面积的 ，故定积分 4 2=4 ，故 正确 故选： D 点评： 本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应 用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题 二、 填空题：本大题共有 4小题，每小 题 5分，共 20 分，答案填写在答题卷上 . 13（ 5分）复数 在复平面中的第 四 象限 分析： 化简复数为 a+形式，然后判断即可 解答： 解：复数 = = = 即复数对应点为：（ ）在第四象限故答案为：四 点评： 本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力 14（ 5分）有 5名数学实习老师，现将他们分配到 2014班至少 1名 ，最多 2名，则不同的分配方案有 90种（用数字作答） 分析： 根据题意，先把 5名实习老师分成三组，一组 1人，另两组都是 2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到 3 个班，即进行全排列，计算可得答案 解答： 解：把 5名实习老师分成三组， 一组 1人，另两组都是 2人，有 =15 种方法， 再将 3组分到 3个班，共有 0种不同的分配方案，故答案为： 90 点评： 本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列 15（ 5分） ，由此猜想出第 n（ n N+）个数是 考点 ： 归纳推理 专题 ： 综合题；推理和证明 分析： 根号下由两个数组成，前一个数是首项为 2，公差为 1的等差数列，后一个数是分数，通项是 ，从而可猜想第 解答： 解： ， 将根号下的数分成两个数的和， 2， 3， 4 的通项是 n+1； ， ， 的通项是 由此猜想第 故答案为： 16（ 5分）已知 y=f（ x）是奇函数，当 x （ 0， 2）时， f（ x） =a ），当 x （ 2，0）时， f（ x）的最小值为 1，则 分析： 根据函数的奇偶性，确定 f（ x）在（ 0， 2） 上的最大值为 1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得 解 答： 解： f （ x）是奇函数， x （ 2， 0）时， f（ x）的最小 值为 1， f （ x）在（ 0， 2）上的最大值为 1， 当 x （ 0， 2）时， f （ x） = a，令 f （ x） =0得 x= ，又 a ， 0 2， 令 f （ x） 0，则 x ， f （ x）在（ 0， ）上递增；令 f （ x） 0，则 x ， f （ x）在（ ， 2）上递减， f （ x） f（ ） = a = 1， 0，得 a=1故答案为： 1 三、解答题：本大 题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 10 分）在直角坐标系 原点 立极坐标系已知曲线 （ （ 为参数） （ ）化 说明它们分别表示什么曲线； （ ）若 对应的参数为 t= ， 2上的动点，求 到直线 （ 2=7距离的最小值 分析： （ ）曲线 （ 利用 即可化为普通方程； 为参数 ），利用 =1 化为普通方程 （ ）当 t= 时， P（ 4， 4）， Q（ 8 3，故 M ，直线 （ 2 =7 化为 x 2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出 解答： 解：（ ）曲线 （ 化为（ x+4） 2+（ y 3） 2=1， C 1为圆心是（ 4， 3），半径是 1的圆 （ 为参数），化为 点在 半轴长是 8，短半轴长是 3的椭圆 （ ）当 t= 时， P（ 4， 4）， Q（ 8 3，故 M ， 直线 （ 2 =7 化为 x 2y=7， M 到 d= = |5+ ） +13|， 从而当 ， 时， 18（ 12 分）已知函数 f（ x） =x3+x 16 （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 2， 6）处的切线方程； （ 2）直线 y=f（ x）的切线，且经过原点，求直线 分析： （ 1）求出原函数的导函数，得到函数在 x=2 时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案； （ 2）设出切点 坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求 解答： 解：（ 1）由 f（ x） =x3+x 16，得 f （ x） =3， f （ 2） =32 2+1=13， 曲线 y=f（ x）在点（ 2， 6）处的切线方程为 y 6=13（ x 2），即 13x y 20=0； （ 2）设切点为（ ）， ， 切线方程为 ， 切线经过原点， ， ， 2则 f （ 2） =13， 所求的切线方程为 y=13x；切点为（ 2， 26） 19（ 12分）给出四个等式： 1=1； 1 4= （ 1+2）； 1 4+9=1+2+3； 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） 猜测第 n（ n N*）个等式，并用数学归纳法证明 考点 ： 数学归纳法；归纳推理 专题 ： 点列、递归数列与数学归纳法 分析： 由已知猜测：第 n（ n N*）个等式为： 1 22+32 42+ （ 1） n 1 1） n 1（ 1+2+n ）=（ 1） n 1 利用数学归纳法证明即可 解答： 解： 1=1； 1 4=（ 1+2）； 1 4+9=1+2+3； 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） 猜测第 n（ n N*）个等式为： 1 22+32 42+ （ 1） n 1 1） n 1（ 1+2+n ） =（ 1） n 1 下面利用数学归纳法证明：（ 1）当 n=1时， 1=1，成立； （ 2）假设当 n=k（ k N*）时，等式 1 22+32 42+ （ 1） k 1成 立 则当 n=k+1时，左边 =1 22+32 42+ （ 1） k 1 1） k（ k+1） 2= +（ 1） k（ k+1） 2=（ 1） k =（ 1） k =右边， 当 n=k+1时，等式成立 综上可得：第 n（ n N*）个等式为： 1 22+32 42+ （ 1） n 1 1） n 1（ 1+2+n ） =（ 1）n 1 成立 点评： 本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 1）已知等差数列 （ n N*），求证： 为等差数列； （ 2）已知等比数列 0（ n N*），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明 分析： （ 1）由求和公式可得 = ，进而可得 判为等差数列； （ 2）类比命题：若 等比数列， 0，（ n N*）， ，则 等比数列，只需证明 为常数即可 解答： 解：（ 1）由题意可知 = ， b n+1 = ， a n等差数列， b n+1 = 为常数，（ b n仍为等差数列； （ 2）类比命题：若 等比数列， 0，（ n N*）， ，则 等比数列， 证明：由等比数列的性质可得： = ， 故 = = 为常数，（ 故 等比数列 点评： 本题考查等差数列的定义，涉及类比推理和等比数列的定义，属中档题 21（ 12 分） （选修 4 5：不等式选讲） 已知函数 f（ x） =|2x 1|+|2x+a|， g（ x） =x+3 （ ）当 a= 2时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集； （ ）设 a 1，且当 时， f（ x） g （ x），求 考点 ： 绝对值不等式的解法；函数单调性的性质 专题 ： 压轴题；不等式的解法及应用 分析： （ ）当 a= 2时，求不等式 f（ x） g（ x）化为 |2x 1|+|2x 2| x 3 0设 y=|2x 1|+|2x 2| x 3，画出函数 形结合可得结论 （ ）不等式化即 1+ax+ 3，故 xa 2对 都成立故 a 2，由此解得 解答： 解：（ ）当 a= 2时，求不等式 f（ x） g（ x）化为 |2x 1|+|2x 2| x 3 0 设 y=|2x 1|+|2x 2| x 3，则 y= ，它的图象如图所示： 结合图象可得， y 0的解集为（ 0， 2），故原不等式的解集为（ 0， 2） （ ）设 a 1，且当 时， f（ x） =1+a，不等式化为 1+ax+3 ，故 xa 2对都成立故 a 2，解得 a ，故 1， 22（ 12 分）已知函数 f（ x） = （ a R） （ ）求函数 f（ x）单调区间；（ ）若 a= 1，求证：当 x 1时， f（ x） 分析： （ ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数 f（ x）单调区间； （ ）设 ，证明 F（ x）在（ 1， + ）上为增函数，即可得出结论 解答： （ ）解： f（ x）的定义域为 x 0 （ 1分） （ 2分） 若 a0 时， f（ x） 0 恒成立，即 f（ x）的单调区间为（ 0， + ） （ 4分） 若 a 0时，令 f（ x） 0，得 （ 5分） 即 f（ x）的单调区间为 ，减区间为 （ 6分） （ ） 证明：设 （ 7分） 则 （ 8分） F （ x）在（ 1， + ）上为增函数，且 （ 10 分） 即 F（ x） 0在（ 1， + ）上恒成立 （ 11分） 当 x 1， （ 12 分） 3（ 5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 25 10 35 女生 5 10 15 合计 30 20 50 根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（） 参考数据： 临界值表： P（ 2k ） k B 99% C D 考点 ： 线性 回归方程 分析： 根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论 解答： 解：根据所给的列联表，得到 2= 对照临界值表可知有 把握认为喜爱打篮球与性别有关 故选： A 点评： 本题考查独立性检验的应用， 考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题 4（ 5分）设随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4），若 P（ 2a 3） =P（ a+2），则 A B C 5 D 3 考点 ： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题 ： 计算题 分析： 根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于 x=3 对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于 方程即可 解答： 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4）， P （ 2a 3） =P（ a+2）， 2a 3与 a+2关于 x=3对称， 2a 3+a+2=6， 3a=7 ， a= ，故选 A 点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于 x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目 5（ 5分）一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 发病的牛的头数为 ，则 于（） A 点 ： 离散型随机变量的期望与方差 分析： 把每个牛是否得病作为一 个实验，牛发病的概率是 牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为 服从二项分布，根据方差的公式 D=得到结果 解答： 解： 由题意知该病的发病率为 每次实验结果都是相互独立的， B（ 10， 由二项分布的方差公式得到 0故选 C 15（ 5分）如图所示， 以 径为 1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用 豆子落在正方形 ， 豆子落在扇形 影部分）内 ” ，则 P（ B|A） = 分析： 根据几何概型计算公式，分别算出 P（ P（ A），再由条件概率计算公式即可算出 P（ B|A）的值 解答： 解：根据题意，得 P（ = = = P （ A） = = P （ B|A） = = 故答案为： 20（ 12 分）某同学参加高校自主招生 3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p， q（ p q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3 p x y （ ）求该生至少有 1门课程取得优秀成绩的概率及求 p， （ ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望 考点 ： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题 ： 概率与统计 分析： （ ）用 该生第 ， i=1， 2， 3由题意得 P