基于变权思想的多因素评价

关于动态群体评价问题的研究，目前正在受到重视，是一个较新的研究领域，研究成果也日渐增多，基本表现在交互式群体评价研究和多阶段群体评价研究两方面内容上。但是对于过程交互式群体评价过程的复杂性、过程演化、交互冲突与协调、交互柔性与协同以及过程交互式群体评价方法的研究相对较少，缺乏系统性，需要对这些问题展开详细研究，以期对社会发展过程中存在的复杂群体评价问题研究，尤其是重大工程项目评价,提供一些解决的思路与对策。（3）阶段权重的确定方法多阶段群评价是一类典型的动态群评价方法77-79。对于一些重大的、复杂的评价问题，为了保证评价结果的可靠性和稳定性，需要从多个阶段进行综合评估。多阶段群评价的评价目标就是综合各个阶段的个体偏好来制定群体最优策略使得评价问题的全局指标达到最优。由于各评价阶段之间是相互关联、相互影响的，且各阶段专家的偏好表现也不尽相同，因此，如何确定阶段权重就成为多阶段群评价过程中的一个重要环节。现有的阶段权重确定方法大都是基于时间概念的特征进行处理77,78,80,81，例如通过考虑时间权重方差最小、单调递増或递减、正态分布等情况来确定阶段权重。这些权重计算方法为多阶段群评价分析提供了一定的理论支持，然而，若仅依据时间权重自身的特征进行分析，则可能出现方案综合评价值相似，甚至无法区分的情况82。因此，在实际的评价过程中,除了考虑时间权重本身的特征外，还应结合各阶段方案的评价信息，综合考虑两者来确定阶段权重。通过设置合理的阶段权重可以实现各阶段评价信息的折中与协调，从而有效的减少评价误差。朱建军(2008)66建立了基于评价先验信息和方案区分度的阶段权重优化模型。卢志平(2013)56以最小化各阶段偏好与阶段总偏好的偏差为目标建立了关于阶段权重的数学规划模型。郝晶晶(2013)82在综合考虑主观偏好和评价信息对阶段权重影响的基础上，以相邻阶段方案的综合贴近度离差和最小为优化目标建立了阶段权重确定模型。（4）群体一致性分析方法在群评价过程中，各专家依据各自掌握的信息所给出的评价矩阵可能会有较大的差异，甚至会产生冲突，如果直接把这些差异较大的个体评价矩阵进行集结，可能会影响最终结果的合理性。因此，在得到最终的解决方案之前，如何对专家评价矩阵进行一致性分析，从而引导群体意见趋向一致就显得十分的必要83-86。一致化是一个动态、迭代的群体评价过程，可有效的促使群体意见达成一致。在一致化的过程中，需要将每个专家的个体评价矩阵与由所有专家的个体评价矩阵集结而成的群体评价矩阵进行比较，若二者之间的一致化程度未满足预定的一致化水平，则该一致化程度是不可接受的，此时需修改个体评价信息，经过反复的调整，直到所有专家的个体评价矩阵与群体评价矩阵之间的一致化程度都满足预定的一致化水平时，则认为该群体评价矩阵达到了预定的一致化水平。目前，关于多属性群评价的一致化方法大致可分为交互式和自动式两种。交互式方法依赖于专家的建议，相对来说比较可靠、准确。陈建中(2008)25通过定义群体满意度指标，建立了一种逐步逼近满意解的多轮交互式多属性群评价方法。徐泽水讨论了模糊环境下多属性群评价的交互方法32，并研究了具有多粒度不确定语言信息的多属性群评价交互方法87。付超和杨善林利用证据理论方法对多属性群评价中的群体共识进行了研究36，进而提出一种基于证据理论的群体一致化方法，并建立了基于属性权重的多属性群评价反馈模型88。Parreiras(2010)89针对具有语言评估信息的多属性群评价问题给出了一种灵活的一致化方案。Su(2011)90针对属性值为直觉模糊数的多阶段多属性群评价问题，提出了一种动态交互式群评价方法。Singh and Benyoucef(2013)91提出了一种基于模糊TOPSIS和软共识的群评价方法来解决供应链协调中的多属性评价问题。然而，大部分交互式方法缺少有效的反馈机制来引导专家进行偏好信息的调整，所以在许多实际的评价问题中，交互式方法使用起来不仅成本昂贵且比较耗时。相比之下，自动式一致化方法则可以避免化专家多次修改偏好信息的繁琐程序，节省了时间，提高了效率。徐迎军(2010)92提出了一种基于一致化迭代模型的自动式一致化群评价方法，并利用乘性加权集结算子对一致化后的群体评价矩阵进行集结，从而得到方案的群体综合属性值并选出最优方案。徐泽水(2009)93利用加性加权集结算子(AWA)得到群体评价矩阵，并构造了一个收敛的迭代算法来达到群体一致。徐玖平建立了一个离散支持模型来自动修改某些专家的偏好，从而达到预定的一致化水平94，随后又提出了一种两阶段的一致化方法来解决不确定语言环境下的多属性群评价问题95。但是。由于自动式一致化方法缺失了专家对一致化调整过程的参与和控制，使得最终的群评价结果无法反映专家的主观调整意见。可见，上述两种一致化方法在实际的评价过程中都存在不足和需要改进的地方。对于自动式一致化方法来说，专家更希望在评价过程中能够掌握交互过程，更加直观地得到修正信息，更好地提出自己的意见,而不仅仅是得到最后的结果；对于一般的交互式一致化方法来说，其大都将群体交互过程分割处理，把交互式群评价看作是单次群评价的简单重复，实质上仍属于静态群评价，其不完善之处是在意见反馈环节对于专家如何调整偏好信息缺乏有效的引导，专家对个体信息的调整具有随意性和盲目性。此外，在现有的一致化方法中，专家权重大都是固定不变的，即随着专家偏好信息的调整专家权重没有发生任何改变，这样的权重信息缺乏一定的合理性。总之，随着多属性群评价理论与方法的不断发展和完善，其在管理、经济、社会、军事和科学技术等诸多领域的应用也越来越广泛和深入。未来的研究热点和方向主要集中在以下几个方面：具有不确定或不完全信息的多属性群评价、动态群评价、群评价效果的评价与比较、混合型多属性群评价、网络环境下的复杂大群体评价、各种群评价支持系统的开发与应用等。1.2.2多属性群体评价研究现状专家给出的偏好信息根据准确性可分为确定信息和不确定信息两类。确定信息如整数、效用函数值、序数等。不确定信息主要包括粗糙信息、模糊信息（如三角模糊数、梯形模糊数、直觉模糊数、区间数、语言信息等）和随机信息（如概率偏好信息）30。属性权重的确定方法属性权重是多属性群评价要考虑的一个首要问题。属性权重反映的是属性的重要性程度，影响着方案最终的排序结果。目前关于属性权重的确定方法主要有以下四种：（1）主观赋权法。由评价者根据自身的经验和认识及对各属性的主观重视程度进行赋权。主要有：AHP法、Delphi法、模糊综合评判法、判断矩阵法、最小平方法等。属性的主观权重能较好的体现评价者的意愿，但同时也具有较大的随意性，缺乏客观性。（2）客观赋权法。单纯利用属性的客观信息确定权重，不依赖于人的主观意识。主要有：离差最大化法36 、熵权法55-56、线性规划法58、二次规划法59、基于支持度法60及多种方法的混合61。郭凯红55提出一种基于模糊熵权变换的属性权重计算方法。杨威(2013)58针对基于三角模糊数的多属性群体评价问题，给出了一个确定属性值权重的方法，并通过求解线性规划模型来确定属性权重。刘培德(2012)59针对区间概率条件下基于不确定语言变量的风险型多属性决策问题，通过计算理想解和负理想解，建立了确定属性权重的二次规划模型。戚筱雯(2013)60针对具有语言型、直觉模糊数和区间直觉模糊数三种评价信息的混合型多属性群决策问题，在统一化后，定义了基于支持度的属性权重确定方法。刘小弟(2014)61利用相对熵方法建立了计算属性权重的单目标规划模型。属性的客观权重虽然具有较强的数学理论依据，但却没有考虑决策者的主观意愿。（3）主客观综合赋权法。也称为组合赋权法，该方法综合了属性的主、客观权重信息，克服了主、客观赋权法的不足。闫书丽(2014)62针对基于区间灰数信息的多属性群决策问题，利用灰色关联度和极大熵原理建立了确定属性客观权重的规划模型，并结合主观权重求得属性的综合权重。丁勇(2010)63针对语言型多属性群决策方法，给出了基于二元语义集成算子的属性主观赋权法和基于最小偏差的属性客观赋权方法，并对两类权重信息进行有机集成得到属性的综合权重。（4）交互式赋权法。上述三种赋权法都是由决策者一次导出的，交互式赋权法需要经过多次循环，由决策者通过相互协调对属性权重进行不断的调整和修正来确定最终权重64-65。综上可知，目前关于属性权重的研究主要集中在属性的客观赋权方法上。然而，现有的属性客观权重信息大都只从某一侧面(如支持度、贴近度、偏离度等)对属性的重要程度进行刻画和度量，没有充分利用专家提供的偏好信息，无法全面、综合的反映各属性之间的关系。专家权重的确定方法专家权重是多属性群评价中另一个需要考虑的重要问题。专家权重的确定方法可分为三大类：（1）主观赋权法。由评价者根据各专家的知识、水平、经验、能力、权威以及对评价问题的熟悉程度等来对专家进行赋权，或者通过群体内部专家之间的相互评价来确定专家权重，主要有AHP法和Delphi法等。（2）客观赋权法。根据各专家提供的评价矩阵对专家水平进行评判，从而确定专家权重。郭凯红(2011)55提出一种基于证据距离的专家权重计算方法。周伟(2013)针对直觉模糊群决策提出一种依靠非犹豫度的精确加权方法计算专家权重。闫书丽(2014)62针对区间灰数多属性群决策问题，构建了基于群体意见一致性和信息分布特点的单目标规划模型确定专家权重。朱建军(2008)66提出了基于一致性水平和决策偏差的专家客观赋权方法。卢志平(2013)56针对多阶段群决策问题，通过计算专家个体偏好与群体偏好之间的贴近程度确定各阶段内的专家权重。岳忠良67-69通过定义正、负理想矩阵利用扩展的TOPSIS方法给出基于相对贴近度的专家权重确定方法。戚筱雯60针对具有语言型、直觉模糊数和区间直觉模糊数三种评价信息的混合型多属性群决策问题，在统一化后，定义了基于熵值的专家权重确定方法。徐泽水(2008)70通过定义不确定语言的期望函数将风险态度因子引入各专家偏好关系中，并基于其与总体偏好关系之间的偏离度确定专家权重。岳忠良(2012)71通过引入乐观系数对专家个体决策矩阵相对于正、负理想决策矩阵的相似度进行集结从而建立反映决策者风险态度的专家权重确定模型。梁昌勇和戚筱雯60，72通过计算单个决策矩阵的熵值和决策矩阵之间的距离测度确定了两类专家权重。王坚强(2014)73基于单个决策矩阵的不确定度和决策矩阵之间的偏差度给出了两类专家权重。叶军(2013)74引入基于直觉模糊集和区间直觉模糊集的信息熵度量公式对单个决策矩阵中各专家关于各方案在各属性上的评价值进行度量，并据此计算各专家的细粒度权重。陈晓红(2013)75通过定义直觉梯形模糊数间的距离测度计算各专家关于各方案在各属性上的偏好值与群体平均偏好值之间的相似度，从而确定专家的细粒度权重。（3）主客观综合赋权法。宋光兴(2001)76在提出基于AHP判断矩阵的专家客观赋权法以及基于排序向量的专家客观赋权方法的基础上，将专家的客观权重与主观权重组合为专家的最终权重。在群体评价中，由于同一个专家面对不同的评价问题，可能拥有不同的知识水平和信息量，权重也应随之做出相应的调整和改变。若仅使用主观赋权法可能不太可行，因此，如何对专家进行客观赋权具有重大的现实意义。目前专家的客观权重确定方法有两大发展趋势：（1）权重信息更加全面，从单纯考虑偏离度、贴近度、相似度等发展到两类权重信息的综合60，72，73。（2）权重信息更加精细，从每个专家对应一个权重，到每个专家在各属性下对应一个权重，再到每个专家在各属性下关于各方案对应一个权重74，75。如何结合上述两大发展趋势确定具有更强综合性和更高精确性的专家细粒度客观综合权重信息将是未来研究的一个方向。群体评价作为评价分析领域的一个重要分支，有着广泛的理论与实际应用背景，其着重研究关于离散的、有限个评价方案的群体评价问题，具体表现为：多个专家依据个人的经验、知识与偏好针对多个因素，对有限方案集进行评价或判断，给出每个方案的偏好信息或者做出优劣排序。进而对各专家给出的偏好信息进行综合形成该群体对方案集的综合优劣排序结果。33陈建中,徐玖平.群决策的交互式TOPSIS方法及其应用J.系统工程学报.2008,23(3):276-281,346.34H.S.Shih,H.JShyur,E.S.Lee.An extension of TOPSIS for group decision makingJ.Mathematical and Computer Modelling.2007,45(7-8):801-813.35夏勇其,吴祁宗.一种混合型多属性决策问题TOPSIS方法J.系统工程学报.2004,19(6):630-634.36D.F.Li,Y.C.Wang,S.Liu,F.Shan.Fractional programming methodology for multi-attribute group decision-making using IFSJ.Applied Soft Computing.2009,9(1):219-225.37徐玖平.基于Hausdorff度量模糊多指标群决策的TOPSIS方法J.系统工程理论与实践.2002,(10):84-93.38C.Fu,S.L.Yang.The group consensus based evidential reasoning approach for multiple attributive group decision analysisJ.European Journal of Operation Research.2010,206(3):601-608.39龚志刚,华中生.一种语言评价信息不完全的多属性群决策方法J.中国管理科学.2007,15(1):88-93.40S.Zahir.Cluster in a group:Decision making in the vector space formulation of the analytic hierarchy ProeessJ.European Journal of Operatioal Research.1999,112(3):620-634.41徐选华,陈晓红.基于矢量空间的群体聚类方法研究J.系统工程与电子技术2005,27(6):1034-1037.42胡立辉,罗国松.改进的基于矢量空间的群体聚类算法J.系统工程与电子技术2007,29(3):472-474.43G.Xie,J.L.Zhang,K.K.Lai,L.Yu.Variable precision rough set for group decision-making:an applicationJ.Internation Journal of Approximate Reasoning.2008,49(2):331-343.44J.J.Huang,C.S.Ong,G.H.Tzeng.Interval multidimensional scaling for group decision using rough set conceptJ.Expert Systems with Applications.2006,31(3):525-530.45王钰,刘三阳,张杰.群决策中基于语言信息处理的一种粗糙集方法J.系统工程学报.2006,21(1):18-23.46曹秀英,梁静国.基于粗集理论的属性权重确定方法J.中国管理科学.2002,10(5):98-100.47万俊,邢焕革,张晓晖.基于熵理论的多属性群决策专家权重的调整算法J.控制与决策.2010,25(6):907-910.48Z.S.Xu,J.Chen.An interactive method for fuzzy multiple attribute group decision making J.Information Sciences.2007,177(1):248-263.49D.F.Li,G.H.Chen,Z.G.Huang.Linear programming method for multi-attribute group decision making using IF setsJ.Information Sciences.2010,180(9):1591-1609.50李武,董峰,陈妍.序数偏好下多属性群决策的动态规划法J.华中科技大学学报.2009,37(10):48-51.51Z.S.Xu.An automatic approach to reaching consensus in multiple attribute group decision makingJ.Computes&Industrial Engineering.2009,56(4):1369-1374.52徐泽水.一种不确定型OWA算子及其在群决策中的应用J.东南大学学报.2002.32(1):147-150.53C.H.Yeh,Y.H.Chang.Modeling subjective evaluation for fuzzy group multi-criteria decision makingJ.European Journal of Operational Research.2009,194(2):464-473.属性权重尚战伟,郭永辉,皱俊国.属性和专家客观权重未知的区间数群决策方法J.计算机工程与应用.2016.提出通过属性评价值之间偏离程度的熵值分析和建立目标最小化的非线性规划模型确定属性客观权重林国光,宋海洲.一种基于主客观权重信息集成的多属性群决策J.统计与决策.2016,12:70-73.基于离差最大化思想提出了一种可对多种主观和多种客观权重信息进行集成的最优化组合赋权方法求解属性的集成权重专家权重尚战伟,郭永辉,皱俊国.属性和专家客观权重未知的区间数群决策方法J.计算机工程与应用.2016.通过灰色关联法分析专家综合评价和群体综合评价之间一致性程度确定专家客观权重，并利用自适应迭代法求得稳定的专家权重张娜,方志耕,朱建军.基于等信息量转换的区间二元语义多属性群决策方法.控制与决策.2015,30(3):403-409.考虑均衡函数中两种基本类型，型和型。设且，则为和型惩罚型均衡函数。设且，则为积型惩罚型均衡函数。定义3.8 映射叫做惩罚（激励）型均衡函数，那么其梯度向量为一个惩罚（激励）型状态变权向量。文23中给出了状态变权向量的一个判定定理定理4.1如果映射， 满足（1）惩罚性：（2）连续性：对每个变元连续（3）转移性：关于单减，但任意凸组合关于非减。则为一个维惩罚型状态变权向量。3.2 基于变权思想的多因素评价权重的自适应调整3.2.1 问题描述假设有某多因素评价问题，备选方案集为，因素集为，因素集的权重为，评价矩阵为，表示第个方案在第个因素上的得分，拟进行评价与评价，以便得出最优的备选方案。本节自适应多因素评价问题就是在已知评分矩阵、因素主观权重的基础上，计算出常权综合评价结果，然后使用变权的思想，对因素权重进行调整，计算因素权重调整后的变权综合评价结果，将本次评价结果与上一次结果进行比较。我们认为综合评价结果应该是不同因素信息的集结，最终的评价结果应该是由不同因素信息集结成稳定结果，即与的差异应该足够小使趋于稳定。当评价结果不稳定时，重复以上步骤，对因素权重自适应调整，直至计算出稳定的评价结果。3.2.2 权重确定（1）评价矩阵归一化因素通常可以分为效益型和成本型两类。效益型因素值越大越好，成本型因素值越小越好，在进行评价前应该对因素值进行规范化处理，关于规范化的处理已有不少文献进行研究，在此不再讨论，为了简便起见，本文假设不论效益型或是成本型因素值，均以得分值的大小来衡量优劣，因素值越大方案越优。本文这里对评价矩阵按列进行范数归一化，向量的范数定义为：要使得归一化到单位范数，即建立一个从到的映射，使得的范数为1，则即：对评价矩阵按列归一化后可得标准评价矩阵。（2）因素熵权计算首先，根据定义2和式(3-2)对每一个评价因素的因素熵值进行计算，计算公式为其次，结合定义3和公式（3-3）可得出每一个评价因素的因素熵权常权综合结果为（1） 权重的调整因为考虑常权的不合理性，需要根据不同方案的状态值进行变权，结合公式（2-1），这里仅考虑激励型变权向量，且认为权重的调节度不应该过大，故取。可得到变权公式 （3-10）其中：；变权综合结果为3.2.3多因素评价权重的自适应调整流程小结综合上述方法，本节提出一种基于变权思想的多因素权重自适应调整的方法，具体过程如下。步骤1 数据预处理。首先根据评价环境、评价规则给出评价得分矩阵，然后对评价矩阵进行按列归一化。步骤2 因素熵权的计算。首先计算出每一个因素的因素熵值，然后根据因素熵值计算因素熵权，结合评价得分矩阵可以得出常权综合评价结果。步骤3 因素权重的调整根据步骤2得到的因素权重，结合公式（3-10）对因素权重进行调整，可得到变权向量，结合评价得分矩阵可以得出变权综合评价结果。步骤4 评价结果稳定性判断比较变权后的评价结果和常权评价结果之间的差距。我们以距离来衡量它们之间的差异。距离定义为当时则两次评价结果偏差很小，结果趋于稳定，转至步骤5；否则，转至步骤3继续对权重进行调整。步骤5 输出本次综合评价结果。3.2.4 实例分析设在某次人才综合评价过程中，拟对5名同学进行综合评价，被评价对象集为，评价因素集为。评价因素分别为德育成绩、体育成绩、创新能力和学业成绩，各因素满分均为10分，且均为固定数值，在某次综合测评中，得到具体测评数据如表1所示。拟对评价问题进行分析，以便得出最优的评价结果。表1 某次综合测评得分矩阵A18976.5A29765.5A37566.5A46788.5A59877现采用前文中基于变权思想的多因素权重自适应调整方法开展评价工作。首先，对评价得分矩阵进行归一化处理，从“纵向”考虑运用熵权法计算因素权重。结合公式（3-5）可以得到因素熵值为 结合公式（3-6）可以得到因素熵权为利用线性加权对评价矩阵进行集结，即结合公式（3-7）可以得到常权综合评价结果为对结果排序得：A1A5A4A2A3。然后，根据变权思想从“横向”对因素权重进行调整，经过三次迭代自适应调整后，评价结果趋于稳定。此时计算出变权向量在各被评价对象上的权重如表2所示。表2 变权向量在各方案上的值A10.27530.31510.14260.2671A20.19390.38630.14620.2735A30.22900.46160.12180.1875A40.33690.40380.10230.1569A50.23240.38150.14270.2434结合公式（3-8）得到自适应变权综合评价结果为对结果排序得到A5A1A4A2A3由表1可见，与其他因素相比，被评价对象A2在因素C4上得分较低，被评价对象A1在因素C2上得分明显高于其他方案。若使用线性加权集结方法，这些“偏见”可能会对评价结果有一点影响。本节这里使用惩罚型变权，由表2可见，A2在C4上的权重有所增加，A1在C2上的权重有所减小，从而达到削弱这种“偏见”的影响，从而相应的排序结果更为合理。问题描述设在某次多因素群体评价过程中，备选方案集为，方案的评价因素集为，因素的权重为，满足，多因素群体评价中专家群体为，专家的权重为，满足，专家对备选方案评定后可得到备选方案的得分矩阵，记为，式中：专家对方案的第个因素的评分值。群体评价是多位专家评价结果的集结，各专家的结果往往会与群体评价结果不同，简单线性加权只能从量化角度得出集结结果，未能达到使各专家意见与群体意见一致的目的。为了最终的群体评价结果趋于稳定，可依据个体专家在各方案上的不同状态水平，引用变权思想，对各方案专家的权重进行调整，根据调整后的权重可计算出权重调整后的群体评价结果，当与的差异足够小认为为最终趋于稳定的群体评价结果。当群体评价结果不稳定时重复以上步骤，对专家权重进行自适应调整，直至计算出稳定的评价结果。5.1.2 权重的确定（1）评价得分矩阵归一化处理如3.3.2所介绍的将评价得分矩阵按列归一化处理，得到评价得分矩阵这里不再赘述。（2）各专家因素权重调整首先可以用主观方法（AHP、Delphi）求得各因素的权重，然后依据变权思想，针对每一个专家评分矩阵因素值的状态水平不同，对各专家因素权重做适当调整，结合式（2-1）同样对参数取激励型，可得到各专家因素权重变权公式为 （5-9）其中，根据式（3-9）可得到各专家最优评价矩阵，计算公式为 （5-10）（3）专家权重自适应调整根据专家个体评价结果与群体评价结果之间的差异程度，结合变权公式（2-10）对专家权重做相应调整。计算公式为其中，根据式（3-9）可得到最终评价结果，计算公式为5.1.3 实例分析下面就某汽车零部件制造公司供应商的选择过程给出具体的评价方案。该公司欲选择优质的供应商进行进一步合作，邀请行业内的三位专家对五家候选供应商进行打分评价。专家们对供应商的质量保证能力（f1）、生产能力（f2）、产品的研发能力（f3）、环境建设与历史业绩（f4）这四个因素进行打分，运用本节介绍的方法做出最终群体评价结果，以便选择合适的供应商。专家打分如表1所示，其中表示专家，表示方案，表示专家对方案的打分值。基于XXXXX的群组评价方法引言变权优点，现有研究，存在的缺陷，双向一、基于二、问题描述三、应用举例四、总结设互反判断矩阵。若满足条件： （4-1）则称通过一致性检验。其中，为矩阵的最大特征向量，为随机一致性指标。第3章 动态多因素评价模型 本章首先通过对信息熵和熵权相关理论介绍，利用熵权法根据因素状态值的紊乱程度，从纵向确定因素权重，利用变权理论根据各评价对象的状态水平，从横向确定因素权重。通过将单一阶段常权评价结果和变权评价结果比较，可以得出变权结果更具有合理性；其次，对于多阶段评价问题，根据阶段熵相关理论，对多阶段评价过程中各阶段的权重进行确定，进而得到最终的评价结果。3.1 信息熵和熵权相关概念克劳修斯(T.Clausius) 于1854年提出熵（entropie）的概念，我国物理学家胡刚复教授于1923年根据热温商之意首次把（entropie）译为“熵”。熵理论在其发展中由香农引入信息论领域，作为物质状态的一个函数100，表征系统的紊乱程度，是系统的无序状态的度量。设表示系统处于几种不同状态，每种状态出现的概率为，代表的信息量，则称 （3-1）为的信息熵101。通常是对数所使用的底，当，熵的单位是；当，熵的单位是；当，熵的单位是。 根据信息熵的计算公式，规定当时，。当系统处于几种状态的概率相等时，即时，信息熵值最大，即。在综合评价过程中，设评价对象集为，评价因素集为，评价矩阵为，则称 （3-2）为评价因素输出的因素熵。当时，规定，显然，。由（3-2）得出的因素熵，进而可以求出因素熵权。令为评价因素输出的因素熵，则称 （3-3）为该评价矩阵下的因素熵权。显然，且。在多阶段评价过程中需要确定阶段权重，即需要比较各阶段的相对重要程度，本节这里应用阶段熵理论确定阶段权重。令，为两个离散概率分布，其中，且，则称 （3-4）为相对的相对熵。具有以下性质104：（1）（2）的充要条件为：当且仅当对于一切，。显然，当，为两个离散分布时，相对熵可用于衡量两者的符合程度。由式（3-4）计算出的相对熵，可以计算出阶段熵。设在经历个阶段的评价过程中，某一阶段的因素熵为，该阶段评价的因素熵集为，则称 （3-5）为第阶段与其他阶段的阶段相对熵。由式（3-5）计算出的阶段熵，进而可以计算出各阶段熵权。令第阶段与其他阶段的多阶段评价相对熵为，则称 （3-6）为多阶段评价的阶段相对熵权。显然，且。3.2 基于变权思想的动态多因素评价3.2.1 问题描述假设有某动态多因素评价问题，备选方案集为，评价因素集为，因素的权重为，满足，历经个评价阶段，每个阶段评价得分矩阵记为，其中为固定数值，表示第阶段方案的第个因素的评分值。拟进行评价，以便得出最优的备选方案。3.2.2 评价模型建立（1）评价矩阵归一化因素通常可以分为效益型和成本型两类。效益型因素值越大越好，成本型因素值越小越好，在进行评价前应该对因素值进行规范化处理，关于规范化的处理已有不少文献进行研究，在此不再讨论，为了简便起见，本文假设不论效益型或是成本型因素值，均以得分值的大小来衡量优劣，因素值越大方案越优。本文这里对评价矩阵按列进行范数归一化，向量的范数定义为：要使得归一化到单位范数，即建立一个从到的映射，使得的范数为1，则即：对评价矩阵按列归一化后可得标准评价矩阵。（2）因素权重调整首先可以用主观方法求得各因素的权重，然后依据变权思想，针对每一阶段评价矩阵因素值的状态水平，对阶段内因素权重做适当调整，结合变权公式（2-6），这里仅考虑惩罚型变权向量，且认为权重的调节度不应该过大，故取。可得到阶段内因素权重变权公式为 （3-7）其中，根据式（3-7）得到调整后的因素权重，结合各阶段内评价得分矩阵，可得到每阶段最优评价矩阵，计算公式为 （3-8）（3）阶段熵权计算首先，根据式(3-2)对每一阶段评价因素的因素熵值进行计算，计算公式为 （3-9）由式（3-9）可以得到各阶段的因素熵集为结合式（3-4）、（3-5）可计算出第阶段与其他阶段的评价相对熵值，计算公式为 （3-10）结合式（3-6）、（3-10）可计算出阶段相对熵权，计算公式为 （3-11）根据阶段内最优评价矩阵和阶段权重，可得出最终综合评价结果，计算公式为 （3-12）（4）基于变权思想的动态多因素评价流程小结综合上文所述，本节提出一种基于变权思想的动态多因素评价方法，具体过程如下。步骤1 数据预处理。首先根据评价环境、评价规则给出评价得分矩阵，然后对评价矩阵进行按列归一化。步骤2 因素权重调整。用主观方法（AHP法）求各因素的权重，然后对阶段内因素权重依据变权思想做权重的调整。结合阶段内评价矩阵值，可以得到阶段最优评价矩阵。步骤3 阶段熵权计算。首先计算阶段内每一个因素的因素熵值，计算出第阶段与其他阶段评价的相对熵值，计算出动态多因素评价过程中阶段相对熵权。步骤4 动态多因素评价排序结合阶段相对熵权和阶段内最优评价矩阵，计算出动态多因素评价最终测评结果。3.2.3 实例分析设在某年度人才综合评价过程中，拟对5名同学进行综合评价，被评价对象集（备选方案）为，评价因素集为。评价因素分别为德育成绩、体育成绩、创新能力和学业成绩，各因素满分均为10分，且均为固定数值。表1 某年度三阶段人才综合测评得分矩阵阶段因素第一阶段f18.567.57.5f28567f3746.55f47.5768f55.586.58第二阶段f18.52.546f29366.5f38.554.56.5f47568f58.5225第三阶段f18.5356f27.5367f39357f48.57.557f57568为了更好的获取最优的评价结果，整个评价经历三个阶段，本节假设前一阶段的评价结果不会影响后一阶段。三个阶段的具体评价数据如表1所示。拟对评价问题进行分析，以便得出最优的评价结果。现采用前文中基于变权思想的动态多因素评价方法开展评价工作。步骤1 数据预处理首先，对评价得分矩阵进行按列归一化处理（数据略）。步骤2 因素权重调整利用主观赋权法（AHP法）确定因素权重（具体过程略），得到因素权重为，依据变权思想，根据各阶段因素状态值的不同，对因素权重进行相应的调整。结合公式（3-7）可以计算出变权向量在各阶段在不同被评价对象上的权重如表2所示。表2变权向量在各被评价对象上的值阶段因素第一阶段f10.23490.28240.20790.2760f20.22830.28640.21760.2688f30.22820.28960.19720.2861f40.24750.26040.22810.2651f50.27640.24010.22020.2644第二阶段f10.22630.29330.21700.2645f20.23750.29670.19200.2749f30.25080.23930.22850.2825f40.27990.24990.20640.2649f50.20790.28910.24130.2627第三阶段f10.22320.29600.20900.2729f20.24180.30190.19600.2615f30.22230.30250.21420.2621f40.25580.21540.23790.2921f50.26370.26680.20940.2612由表2变权调整后的因素权重和按列归一化处理后的平均得分矩阵，结合式（3-8）可以得到每阶段的最优评价矩阵如表3所示。表3 各阶段最优评价得分矩阵因素f10.47970.38300.3800f20.42130.45400.4002f30.35780.48220.4023f40.47070.51870.5030f50.46140.30070.4663步骤3 阶段熵权计算首先，对各阶段的因素熵值进行计算。结合式（3-9）可计算出各阶段的因素熵值。其次，对各阶段的相对熵值进行计算。结合式（3-10）可以计算出每阶段的相对熵值。， ， 最后，计算阶段相对熵权。结合式（3-11）可以计算出阶段相对熵权。步骤4 动态多因素评价排序结合阶段相对熵权和最优评价矩阵，可以计算出动态多因素评价最终测评结果。显然最终的排序结果为。通常，多因素群体评价权重包括因素（指标）权重和专家权重两部分，本小节在已知专家和因素主观权重的基础上，提出了一种基于变权思想的多因素群体评价中权重自适应调整的方法。该方法首先根据各专家评价矩阵状态值水平，对因素权重进行调整，再用线性加权计算出各专家评价结果，然后根据各专家评价结果状态值水平，对专家权重进行自适应调整，直至得到稳定的综合评价结果。为了生成一组惩罚型变权，我们引入惩罚型均衡函数。若函数在上有连续的偏导数且（2-3）为一组惩罚型变权，则称为惩罚型均衡函数。状态变权的主要功能是可以实现因素变权思想，因此，要评价问题中各因素的变权规律，只需确定相应的状态变权向量，又文10知均衡函数的梯度向量构成状态变权向量，这样，问题的关键就变为如何确定合适的均衡函数。文27则是从变权的定义出发，构造了带参数的变权向量。本章将从均衡函数、状态变权和带参数的变权三个角度介绍变权向量的构造。所谓一组惩罚型变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；惩罚性：关于变元单调减少；记，称之为惩罚型变权向量。在多因素评价过程中，如上文所述更倾向于综合结果趋于“稳定”，故有前文所介绍的对于因素权重进行惩罚型变权、激励型变权等等，但是对于群体评价，我们更倾向于专家评价结果和群体评价趋于一致，本节将根据变权所要达到的目的不同，介绍带参数的变权向量的构造。若函数在上有连续的偏导数且（2-4）为一组激励型变权，则称为激励型均衡函数。第2章 综合评价中的变权理论研究综述综合评价过程中主要包括三个内容：评价值、评价权重和综合评价方法。其中，权重作为被评价对象的不同侧面的重要程度的体现，权重大小的分配在综合评价过程中显得尤其重要。现有的常权综合在一定程度上反映了被评价对象关于各基本因素的综合情况，但在一些实际问题的评价过程中会出现不合理现象，为了弥补常权综合的不足，汪培庄教授首次提出了变权的思想。本章节将从变权的基本概念、变权的类型、变权的构造方法以及变权的效果从发，对现有变权理论研究进行综述。2.1 变权的理论基础2.1.1 变权的基本概念考虑某项工程设计方案，该方案是否可以付诸实施与两个因素有关：可行性，必要性。假设这两个因素同等重要，则它们的权向量为，于是可以得到综合函数：从实际意义来考虑，一个方案，虽然很可行，但必要性不大；或者说，尽管该方案非常必要，但是不可行，这样的方案人们是不会选择的。这是因为这样，对于状态和状态，按常识应该有，但是按式的常权综合却有这明显地与实际情况相矛盾10。为了弥补常权综合的不足，我国的汪培庄教授首次提出了变权的思想，李洪兴教授在系统研究因素空间理论的基础上，给出了变权的公理化定义，同时提出给因素状态加权的思想。所谓一组惩罚型变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；惩罚性：关于变元单调减少；记，称之为惩罚型变权向量。若为一组惩罚型变权，则为标准可加型函数，称之为惩罚型变权综合函数；的作用在于当增加时，对应的权重减少而是综合值减少，采用惩罚型变权综合函数进行综合时，要想取得较好的综合值就必须每一个单因素状态（评价值）都不太低，因此惩罚型变权综合时一种惩罚缺点的评价方式。汪培庄教授最早提出的变权经验公式9（2-1）即为一组惩罚型变权（）。对此可以进行扩展到维的情形，即（2-2）其中，当然公式（2-2）只是“一类”经验变权，不能滥用。2.1.2 变权的基本类型根据被评价对象自身的特点以及所要达到的变权目的，将变权分为惩罚型变权、激励型变权、混合型变权、折衷型变权，本小节将对这几种变权类型逐一讨论。惩罚型变权是一种对缺点进行惩罚的综合方式，它有一定的适用范围。比如在人才评价中，中低级人才主要看他们的一技之长，此时应该予以激励，即加大有点的权重。又如因素表示工作成绩，工作成绩越大付出的努力也就越大，工作“平平”是最容易做到的，要想工作的更好需要加倍努力，换言之，的状态越大，的权重亦随之增大。为此，我们引入激励型变权。所谓一组激励型变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；惩罚性：关于变元单调增加；记，称之为激励型变权向量。将惩罚型变权与激励型变权加以混合即提出混合型变权。所谓“混合型变权”是指该变权关于某些因素具有惩罚性，而对另外一些因素具有激励性。因此，在某些方面没有明显缺点且在另一些方面很优秀的对象将取得较好的评价值。如果这是对人才评价的话，则是专才评价模式。比如说，在录取研究生时，一般优先考虑外语和政治不要太低而与研究方向有关的专业课特别优秀的学生。这相当于对“外语成绩”和“政治成绩”这两个因素使用惩罚而对“专业课成绩”采用激励。不妨假定关于是惩罚的，关于是激励的。所谓一组混合型变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；混合性：关于变元单调下降当且仅当；关于变元单调增加当且仅当，则称为一组混合型变权，称为惩罚数，为激励数。显然，当时，混合型变权