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第一章质点运动与牛顿定律1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m),再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求(1)全过程的位移和路程；(2)整个过程的平均速度和平均速率。解：（1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为：图1-9 其大小为：全过程位移的方向为：即方向向东偏北（2）平均速度 其大小为： 平均速度的方向沿东偏北平均速率 1-10题图1-10 一质点P沿半径的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为，设t0时，质点位于O点。按如图所示的坐标系，求：(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。解：如图所示，在坐标系中，因，则质点P的参数方程为： 坐标变换后，在坐标系中有： ，则质点P的位矢方程为： 5s时的速度和加速度分别为 ：1-11 已知一质点的运动方程为(单位为SI制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物体运动的类型。解：由 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为：；（1）第2秒内的平均速度 (2)第3秒末的速度 ，与运动方向相反。(3)第一秒末的加速度 （4）令，得 时x达到极值,从此时开始质点将改变运动方向。令，得 ，这是个拐点，在此时刻之前，质点作加速运动，在此时刻之后，质点作减速运动。1-12质点的运动方程为，求当t=2(s)时，质点的速度和加速度a。解：质点在任意时刻的速度为：则 ，当t=2(s)时，质点的速度大小为：方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 质点在任意时刻的加速度为：则 ，当t=2(s)时，质点的加速度大小为：方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-13已知质点的运动方程为式中R，为常量，试问质点作什么运动？其速度和加速度为多少？解：由已知坐标分量式 可知为： 将上面两式相加 ，此即质点作匀速率圆周运动，其速度分量式 ，大小 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 其加速度分量式 ，大小 方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-14物体沿直线运动，其速度为(单位为SI制)。如果t=2(s)时，x=4(m)，求此时物体的加速度以及t=3(s)时物体的位置。解：由可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为： ； 上式变形后再两边积分为：当t=2(s)时，物体的加速度为：当t=3(s)时物体的位置为：1-15已知一质点由静止出发，其加速度在轴和轴上分别为，（a的单位为SI制），试求t=5(s)时，质点的速度和位置。解：由，可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为：，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时质点的速度为：速度的大小：方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 ，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时，质点的位置为：位置的大小：方向：以表示位置与x轴间的夹角，则 图1-61-16路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速行走，试求人影顶端移动的速度。解：由于 故可得： 两边微分： 变形上式可得：所以人影顶端移动的速度为：由 可得：1-17 一质点作半径为r=10(m)的圆周运动,其角坐标可用（单位为SI制）表示，试问：（1）t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当角等于多少时，其总加速度与半径成？解（1）由于，则角速度，在时，法向加速度和切向加速度的数值分别为： 当总加速度与半径成时，此时应有：即： 于是 1-18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即(SI制),式中k为常数。已知质点在第2(s)末的线速度为32，试求t=0.5(s)时质点的线速度与加速度。解 由且可知： 所以 则t=0.5(s)时质点的线速度、角加速度、切向加速度和总加速度分别为：1-19 一只在星际空间飞行的火箭，当它的燃料以恒定速率燃烧时，其运动函数可表示为，其中u是喷出气流相对火箭体的速度，是一个常量，b是与燃烧速率成正比的一个常量。(1)求此火箭的速度；(2)求此火箭的加速度表示式；(3)设，并设燃料在120s内燃烧完，求t=0s和t=120s时的速度；(4)求在t=0s和t=120s时的加速度。解（1）由可知此火箭的速度为：(2)此火箭的加速度为： (3) 火箭在t=0s和t=120s时的速度分别为： (4) 火箭在t=0s和t=120s时的加速度分别为：1-20 一质量为10kg的质点在力的作用下沿轴作直线运动。在t=0时，质点位于处，速度为，求质点在任意时刻的速度和位置。解：由牛顿第二定律得 由 得 质点在任意时刻的速度：由 得 质点在任意时刻的位置： 1-21 以速度作匀速运动的汽车，在关闭发动机后，它的加速度为，其中k为比例常数，是速度。求：(1)关闭发动后t时刻的速度；(2)关闭发动机后在t时间内前进的距离。解（1）由可知： ， 上式两边积分 （2）由 可得： 上式两边积分 （a）1-22一质量为的小球，最初位于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑，试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作用力。解：小球在运动过程中只受重力mg和圆轨道对它的支持力N，取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得法向： （1）切向： （2）由（2）式 ： 即 而故 等式两边积分 得 则小球在点C的角速度为 由（1）式得 由此可得小球对圆轨道的作用力为 负号表示与反向。1-23轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0kg，飞机以55.0m.s的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数，求：（1）10s后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s内滑行的距离。解：以地面飞机滑行方向为坐标正方向，由牛顿定律及初始条件，有 得 因此，飞机着陆后的速率为 又 故飞机着陆后10s内滑行的距离 1-24一物体自地球表面以速率竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为，其中m为物体的质量，k为常量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值（设重力加速度为常量）。解：分别对物体上抛、下抛时作受力分析，以地面为原点，竖直向上为y轴如图所示（1）物体在上抛过程中，根据牛顿定律有： 依据初始条件对上式积分，有 物体到达最高处时，故有 （2）物体下落过程中，有 对上式积分，有 则 1-25 将物体用细绳系住，绳的另一端固定在支架上，绳长为，物体经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，形成所谓的圆锥摆。已知物体的质量为m，绳与铅直线的夹角为，试求此时绳中的张力和物体运动的周期。解：选小球为研究对象，其受力如图，由牛顿定律可得：法向： （1）竖直方向： （2）由（2）式可得此时绳中的张力为： 将（1）式与（2）式相除 即 且 则物体运动的周期为：第二章连续体运动2-6一飞轮绕定铀转动，其角坐标与时间的关系为 ，式中a、b、c均为常量。试求(1)飞轮的角速度和角加速度；(2)距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度。 解(1)由定义可知飞轮的角速度和角加速度分别为 （2）由定义可知距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度分别为 2-7 一滑轮绕定轴转动，其角加速度随时间变化的关系为,式中，a、b均为常量，设t0时，沿轮的角速度和角坐标分别为和，试求滑轮在t时刻的角速度和角坐标。解 由于，则有 2-8一刚体以每分钟60转的转速绕z轴正方向做匀速转动,设这时该刚体上一点P的位矢为(m)，则该时刻P点的速度为？解 刚体的角速度为 P点的速度为 2-9已知一飞轮从静止开始做匀变速定轴转动，在10min内转过1200圈，则它在10 min末时的角速度为多少？第二个10min内它转过的圈数为多少？解 由飞轮在10min内转过1200圈可知 2-10题图2-10 如图所示、发电机的皮带轮A被汽轮机的皮带轮B带动，A轮和B轮的半径分别为，。已知汽轮机在启动后以匀角加速度转动，两轮与皮带间均无滑动，求(1)经过多少时间后发电机的转速为600 rmin?(2)当汽轮机停止工作后，发电机在1min内由600rmin减到300rmin、设减速过程是均匀的，求角加速度及在这1min内转过的圈数。解（1）由于两轮与皮带间均无滑动，故有 因为 则当发电机的转速为600 rmin时，经过的时间为 （2）由 在此时间内发动机转过的圈数为 2-11内燃机曲柄OA以匀角速度转动，通过连杆AB带动活塞在汽缸中往复运动。已知，试利用变角求活塞的速度。解：由题可知，点和速度即为活塞的速度，由几何关系可得：2-11题图即活塞的速度为：2-12已知如图所示的机构尺寸如下：，如轮按的规律转动，则当时，AB杆上M点的速度和加速度分别等于多少？ 212题图2-12 解：由2.2.1节知识和题意可知，杆上各点的运动情况完全相同而作平动运动，即杆上各点的速度、加速度均相同。所以有： 2-13试求质量为、半径为R的均匀圆盘对通过它的边缘端点A且垂直于盘面的轴的转动惯量。解：根据平行轴定理和绕圆盘中心O的转动惯量可得213题图214质量为，半径为R的薄圆盘，可绕通过其一直径的轴转动，如图所示，转动惯量。若该薄圆盘从静止开始在恒力矩作用下转动，则s后位于圆盘边缘上与轴的垂直距离为的B点的切向加速度和法向加速度分别等于多少？解 由于薄圆盘在恒力矩作用下转动，根据转动定律可得214题图 则经过s后B点的切向加速度和法向加速度分别为 2-15 如图所示，一根长为，质量为m的匀质细杆，可绕水平光滑轴在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，求它下摆角时的角速度和角加速度。215题图解 由于匀质细杆受到重力矩的作用，使杆绕定轴O加速转动，当杆与水平成角位置时，对转轴的重力矩为 根据转动定律得 而 所以杆下摆角时的角加速度为 因 2-16用落体观察法测定飞轮的转动惯量是将半径为R的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为的重物。令重物以初速度为零下落并带动飞轮转动，如图所示，记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量，试写出它的计算式。(假设轴承间无摩擦) 解：设绳子的拉力为，对飞轮而言，根据转动定律，有2-16题图 （1）而对重物而言，由牛顿定律，有 （2）由于绳子不可伸长，因此有 （3）重物作匀加速下落，则有 （4）联解（1）、（2）、（3）、（4）式可得飞轮的转动惯量为 217题图2-17 如图所示装置，定滑轮的半径为，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为和的物体A、B。A置于倾角为的钭面上，它和斜面间的摩擦因数为。若B向下作加速运动时求：(1)其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。(设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑)解 作A、B和滑轮的受力分析如图所示，其中A是在张力、重力、支持力和摩擦力的作用下运动，根据牛顿定律，沿斜面方向有 （1）而B则是在张力和重力的作用下运动，有 （2）由于绳子不能伸长、绳与轮之间无滑动，则有 （3） 对滑轮而言，根据定轴转动定律有 （4）且有 （5）解上述各方程可得 218题图2-18 质量为和的两物体A、B分别悬挂在218题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为和，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。解 分别对两物体及组合轮作受力分析如图所示，根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有 （1） （2） （3） （4）由角加速度和线加速度之间的关系，有 （5） （6）解上述方程组，可得 2-19 飞轮的质量，半径，绕其水平中心轴O转动，转速为900rev/min，现利用一制动用的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速，已知闸杆的尺寸如219题图所示，闸瓦与飞轮间的摩擦因数，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。则：(1)设，问可使飞轮在多长时间内停止转动，在这段时间内飞轮转了几转? (2)如要在2s内使飞轮转速减半，需加多大的制动力?解 飞轮和闸杆的受力分析如图所示，根据闸杆的力矩平衡，有 而，则闸瓦作用于轮的摩擦力矩为 （1） 当，则可使飞轮停止转动所需时间为 在这段时间内飞轮转过的圈数为由得=所以要在2s内使飞轮转速减半，需加的制动力为 2-20 水在同一流管中作稳定流动，截面积为处的流速为12cm/s，问在流速为4cm/s处的面积是多少?解 由流体在定常流时的连续性方程，可得 2-21 一水管的一端的横截面积为，水的流速为，水管的另一端比上端低10cm，横截面积为（1）求水在较低的一端的流速，（2）如果在较高一端的压强是，则在较低一端的压强应该是多大？解 由流体在定常流时的连续性方程，可得 又由伯努利方程，可得 222一截面积为40的水平管子有一缩小处，其截面积为。水在粗管中作定常流动的速度为100。求：（1）水在缩小处的流速；（2）缩小处和粗管内两点间的压强差；（3）粗管中每分钟有多少立方米的水流出。解 由流体在定常流时的连续性方程，可得 又由伯努利方程，可得 因是水平管子，则有 每分钟流过粗管的流体体积为 第三章能量定理和守恒定律3-5一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。已知摆球质量为，圆半径为，摆球速率为，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为多少？解 一周内作用在摆球上重力冲量的大小为 3-6用棒打击质量为0.3Kg、速率为20m/s的水平飞来的球，球飞到竖直上方10 m的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力。解 因球飞到竖直上方过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 由冲量的定义可得棒给予球的冲量为 其冲量大小为 球受到的平均冲力为 3-7质量为M的人，手里拿着一个质量为m的球，此人用与水平线成角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对人的速度水平向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少?（假设人可视为质点） 解 把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守恒，故有 式中为人抛物后相对地面的水平速率，为抛出物对地面的水平速率，得 人的水平速率的增量为而人从最高点到地面的运动时间为 所以，人跳跃后增加的距离为3-8 一质量为m2kg的物体按的规律作直线运动，求当物体由运动到时，外力做的功。 解 由，可得 当物体在处时，可得其时间、速度分别为 当物体在处时，可得其时间、速度分别为 则外力做的功为 3-9求把水从面积为的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的距离为5m。3-9题图解 将地下室中的水抽到街道上来所需作的功为 3-10题图3-10如图所示，一个质量M2kg的物体，从静止开始，沿着四分之一的圆周，从A滑到B，在B处时速度的大小是6m/s。已知圆的半径R4m，求物体从A到B的过程中，摩擦力所作的功。解 以物体和地球为一系统，物体滑动过程中，受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功为 3-11最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为，在同一时间间隔内，该力所作的功为，问该质点质量是多少？ 解 由于质点最初处于静止，因此，初动量，初动能，根据动量定理和动能定理分别有 而 所以 3-12 如图所示，A球的质量为m，以速度u飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为其方向与u方向成，B球的质量为5m，它被撞后以速度飞行，的方向与u成 ()角。求：(1)求两小球相撞后速度的大小；(2)求碰撞前后两小球动能的变化。解 取A球和B球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得3-12题图水平： （1） 垂直： （2）联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为 碰撞前后两小球动能的变化为 3-13一质量为10g、速度为的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动，若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。解 以子弹为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁内后，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，则有 3-14一质量为m的质点在x-y平面内运动，其位置矢量为，其中a，b和均是正常数 试证明该质点对于坐标原点角动量守恒。解 由可得 即质点在运动过程中，只受向心力作用，且向心力对坐标原点的力矩为零，所以该质点对于坐标原点角动量守恒。3-15在光滑的水平面上有木杆，其质量，长，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量为的子弹，以的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。解 以子弹和木杆为一系统，根据角动量守恒定律 3-15题图 3-16 一质量为的小孩，站在一半径为、转动惯量为的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大?解 由相对角速度的关系，小孩相对地面的角速度为 以小孩和转台为一系统，由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有 式中负号表示转台的方向与人对地面的转动方向相反。3-17 一质量为m的地球卫星，沿半径为的圆轨道运动，为地球的半径。已知地球的质量为，求：(1)卫星的动能；(2)卫星的引力势能；(3)卫星的机械能解 （1）卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得 则 （2）取与卫星、地球相距无限远（）时的势能为零，则处在轨道上的卫星所具有的势能为 （3）卫星的机械能为 3-18如图所示，一质量为m的子弹在水平方向以速度射入竖直悬挂的靶内，并与靶一起运动，设靶的质量为M，求子弹与靶摆动的最大高度。解 取子弹和靶为一系统，子弹与靶棒碰撞过程中无水平外力作用，由动量守恒定律得3-18题图 （1）子弹与靶在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得 （2）联解（1）、（2）式可得子弹与靶摆动的最大高度为 3-19题图3-19 如图所示，质量为m的钢球。系在长为的绳子的端，绳子的另一端固定。把绳拉到水平位置后，再把球由静止释放，球在最低点与质量为M的钢块作完全弹性碰撞，问碰撞后钢球能达多高?解 球由静止释放过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 （1）以球和钢块为一系统，球在最低点与钢块作完全弹性碰撞中，无水平方向外力作用，则有 （2） （3） （4）联解（1）、（2）、（3）、（4）可得钢球能达到的高度为 3-20长为质量为的细棒可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来正好与棒下端相碰(设碰撞完全弹性)使杆向上摆到。如图所示，求小球的初速度。 解 取小球和棒为一系统，小球与棒碰撞过程中，外力对转轴力矩为零，则由角动量守恒定律得 （1）3-20题图又小球与棒碰撞为完全弹性碰撞，则有 （2）棒在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得 （3）联解（1）、（2）、（3）可得小球的初速度为 3-21 如图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为k），它的一端固定，另一端系一质量为的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度，今有一质量为的子弹以速度沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度时，求滑块速度的大小和方向。解 设子弹嵌入滑块后的共同速度为，由动量守恒定律得 再由机械能守恒定律得3-21题图 可解得当弹簧被拉伸至长度时，滑块速度的大小为 由角动量矩守恒得 第五章5-6 在容积为的容器中，有内能为 J的刚性双原子分子理想气体。求:（1）气体的压强；（2）若容器中分子总数为个，则分子的平均平动动能及气体的温度为多少？ 解：（1）对刚性双原子分子而言，i=5,由和可得气体压强（2）分子数密度，则该气体的温度气体分子的平均动动能为： 5-7 自行车轮直径为71.12cm，内胎截面直径为3cm。在的空气里向空胎里打气。打气筒长30cm，截面半径为1.5cm。打了20下，气打足了，问此时胎内压强是多少？设车胎内最后气体温度为。解： 设向自行车内胎所打的空气的摩尔数为由 得 其中，气打足后，胎内空气的体积 温度 ，压强为 ，由得 5-8 某柴油机的气缸充满空气，压缩前其中空气的温度为，压强为 Pa。当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的1/17，其时压强增大到Pa，求这时空气的温度（分别以K和0C表示）解： 设压缩前空气的体积为 V，根据得5-9 温度为时，1mol氦气、氢气和氧气各有多少内能？1g的这些气体各有多少内能？ 解： 1mol氦气的内能 1mol氢气的内能 1mol氧气的内能 1g氦气的内能 1g氢气的内能 1g氧气的内能 5-10已知某理想气体分子的方均根速率为。当其压强为1atm时，气体的密度为多大？解： 所以气体的密度为： 5-11容器中贮有氧气，其压强P=1atm，温度。试求：(1)单位体积内的分子数； (2)氧分子质量； (3)氧气密度；(4)分子的方均根速率； (5)分子的平均平动动能。解： （1） 单位体积的分子数 （2）氧分子的质量（3）（4）（5）分子的平均平动动能5-12某些恒星的温度可达到约，这也是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。在此温度下，恒星可视为由质子组成的。问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i =3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能（1）质子的平均动能为（2）由平均平动动能与温度的关系，得质子的方均根速率为5-13 摩尔质量为89g/mol的氨基酸分子和摩尔质量为5.0 g/mol的蛋白质分子在的活细胞内的方均根速率各是多少？解： 氨基酸分子的方均根速率为：蛋白质分子的方均根速率为：5-14求温度为时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。解：氢气的摩尔质量，气体温度， 则有 氧气的摩尔质量为 则有5-15 有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N和 求a值；（3）求在速率/2到3/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动能。 解： （1）因为，所有分子所允许的速率在0到的范围内，由的归一化条件可知图中曲线下的面积 即曲线下面积表示系统分子总数N 。（2）从图中可知，在0 到区间内；而在到区间，则利用归一化条件有 得 （3）速率在到间隔内的分子数为（4）分子速率平方的平均值按定义为 故分子的平均平动动能为 5-16 设有N个粒子，其速率分布函数为(1)作出速率分布曲线； （2）由N和 求a；（3）求最可几速率；（4）求N个粒子的平均速率；（5）求速率介于0 /2之间的粒子数；（6）求/2 区间内分子的平均速率。解：（1）速率分布曲线如图所示： (2)根据归一化条件即 （3）根据最可几速率的定义，由速率分布曲线得 （4）（5）在速率 之间的粒子数（6）区间内分子总数为：区间内分子的平均速率为： 5-17 设氮气分子的有效直径为m，（1）求氮气分子在标准状态下的碰撞频率；（2）若温度不变，气压降到，求碰撞频率。解 （1）标准状态下，氮气分子的平均自由程为： 氮气分子的平均速度 氮气分子在标准状态下的碰撞频率 （2）当温度 ，压强 时，氮分子的平均自由程：所以氮气分子的碰撞频率 5-18目前实验室获得的极限真空约为，这与距地球表面处的压强大致相等。试求在时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。（设气体分子的有效直径 cm） 解： 由理想气体压强公式得分子数密度为： 分子的平均自由程为： 可见分子间几乎不发生碰撞5-19 一架飞机在地面时机舱中的压力计指示为，到高空后压强为。设大气的温度均为。问此时飞机距地面的高度为多少？（设空气的摩尔质量为1）解： 因为当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成。气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布。利用地球表面附近气压公式 即可得飞机高度为5-20 一圆柱形杜瓦瓶的内外半径分别为和，瓶中贮有的冰，瓶外周围空气的温度为，求杜瓦瓶两壁间的空气压强降到何值以下时，才能起保温作用？（设空气分子的有效直径为3 m，壁间空气温度等于冰和周围空气温度的平均值。）解 ： 杜瓦瓶两壁间的空气温度为 当 时，杜瓦瓶两壁间空气的压强为：故，杜瓦瓶两壁间的空气压强降到以下时，才能起保温作用。5-21真空管的线度为m，其中真空度为，设空气分子的有效直径为3 m ，求时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。解： 单位体积内空气分子数 平均自由程：真空管的温度m，故真空管中分子间很难发生碰撞。平均碰撞频率 第六章6-21 一热力学系统由如图628所示的状态a沿acb过程到达状态b时，吸收了560J的热量，对外做了356J的功。(1) 如果它沿adb过程到达状态b时，对外做了220J的功，它吸收了多少热量?(2)当它由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对它做了282J的功，它将吸收多少热量？是真吸了热，还是放了热?解： 根据热力学第一定律 （1）a沿acb过程达到状态b，系统的内能变化是： 由于内能是状态系数，与系统所经过的过程无关系统由a沿acb过程到达状态b时系统吸收的热量是：（2）系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，系统的内能变化：即系统放出热量4866-22 64g氧气的温度由0升至50，1保持体积不变；(2)保持压强不变。在这两个过程中氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能？对外各做了多少功？解：（1） A=0 （2） 6-23 l 0g氦气吸收103 J的热量时压强未发生变化，它原来的温度是300K，最后的温度是多少？解： 由 得6-24 一定量氢气在保持压强为4.00Pa不变的情况下，温度由00 升高到500时，吸收了6.0104 J的热量。 (1) 求氢气的量是多少摩尔? (2) 求氢气内能变化多少? (3) 氢气对外做了多少功?(4) 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量? 解： （1）由 得 （2） （3） （4）图6-24 习题6-21 图解6-25 使一定质量的理想气体的状态按图6-24中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以P轴和V轴为渐近线的双曲线。（1）已知气体在状态A时的温度300K，求气体在B，C和D状态时的温度。（2）从A到D气体对外做的功总共是多少？解：（1）AB为等压过程： BC为等温过程： CD为等压过程： （2） 6-26 3 mol氧气在压强为2atm时体积为40L。先将它绝热压缩到一半体积，接着再令它等温膨胀到原体积。(1) 求这过程的最大压强和最高温度；(2) 求这一过程中氧气吸收的热量、对外做的功以及内能的变化。解： （1）最大压强和最高温度出现在绝热过程的终态（2）图6-25 习题6-25 图解6-28 如图625为一循环过程的TV图线。该循环的工质是 mo1的理想气体。其和均已知且为常量。已知a点的温度为，体积为，b点的体积为，ca为绝热过程。求：(1) c点的温度；(2) 循环的效率。解： （1）c a为绝热过程， （2）a b等温过程，工质吸热bc为等容过程，工质放热为 循环过程的效率 6-29有可能利用表层海水和深层海水的温差来制成热机。已知热带水域表层水温约为25，300m深处水温为5。求这两个温度之间工作的卡诺热机的效率多大？解： 6-30 1mol氮气的循环过程如图630所示，ab和cd为绝热过程，bc和da为等体过程。求：（1）a，b，c，d各状态的温度。图6-30 习题6-29 图解（2）循环效率。解： (1)由理想理想气体状态方程得a状态温度b状态的温度C状态的温度d状态的温度根据热力学第一定律,得(2) 循环效率6-31 如图626表示一氮气循环过程，求一次循环过程气体对外做的功和循环效率。解： 如图626所示，完成一次循环过程气体对外所做的功为矩形abcd的面积：即：或： 循环过程中氮气吸收的热量由理想气体状态方程图6-27 习题6-31 图解6-32 图627所示为1mo单原子理想气体经历的循环过程，其中ab为等温线，若，已知，求循环的效率。解： 设ab等温线的温度为T，b点的压强：6-33一台冰箱工作时，其冷冻室中的温度为10，室温为15。若按理想卡诺致冷循环计算，则此致冷机每消耗J的功，可以从冷冻室中吸出多少热量？解： 由于 所以6-34 一台家用冰箱，放在气温为300K的房间内，做一盘13的冰块需从冷冻室取走的热量。设冰箱为理想卡诺致冷机。（1）做一盘冰块所需要的功是多少？（2）若此冰箱能以的速率取出热量，求所要求的电功率是多少瓦？做冰块需多少时间？解： （1）因为卡诺致冷机的制冷系数，做一盘冰块所需要的功是： （2）取走的热量所需用的时间为： 若此冰箱能以的效率取出热量，做冰块所用的时间： 图6-29习题6-34图解6-35 1mol氧气(当成刚性分子理想气体)经历如图629的过程由a经b到c。求在此过程中气体对外做的功、吸的热以及墒变。解： 此过程中气体对外做功，由氧气在a点的温度 氧气在c点的温度此过程中氧气对外做的功：由氧气内能的变化：熵变： 6-36 求在一 个大气压下30 g，40的冰变为100的蒸汽时的熵变。已知冰的比热，水的比热 ，在1.013气压下冰的熔化热，水的汽化热。解： 的冰升温至时的熵变为 冰等压等温熔成的水时的熵变为的水等压升温至时的熵变为的水等压等温汽化为的水蒸气时的熵变为的冰变为的水蒸气时的总熵变为 6-37 你一天大约向用围环境散发J热量，试估算你天产生多少熵?忽略你进食时带进体内的熵，环境的温度按273K计算。解 ：设人体温度为，环境温度为。一天产生的熵即人和环境熵的增量之和，即6-38 一汽车匀速开行时，消耗在各种摩擦上的功率是20kW。求由于这个原因而产生熵的速率(J/（K.s）是多大？设气温为12。解： 产生熵的速率为6-39 云南鲁甸县大标水岩瀑布的落差为65m，流量约为23。设气温为20，求此瀑布每秒钟产生多少熵？解： 水落下后机械能转变为内能使水温从升高到。可由下式求得：，即 由给定数值 此问题中只有水发生熵变，1秒内水的熵变为： 第七章电场7-1回答下列问题：（1）在电场中某一点的场强定义为，若该点没有检验电荷，那么该点的场强如何？如果电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强是否一定很大？提示：电场强度是电场的基本性质，由电荷的分布决定，而与试验电荷无关。因而若该点没有试验电荷，场强并不发生变化；若该点的电场力很大，场强不一定很大。（2）根据点电荷的场强公式：，从形式上看，当所考察的场点和点电荷的距离时，则按上述公式，但这是没有意义的。对这个问题如何解释。提示：点电荷的场强公式是由库仑定律推导而来，而库仑定律是经验公式，当时，点电荷的模型不成立，库仑定律不成立，此时点电荷的场强公式也不成立。（A）（B）（C）（D）7-2题图7-2个带正电荷的质点。在电场力作用下从A点出发经C点运动到B点，其运动轨迹如图7-2所示。巳知质点运动的速率是递减的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是( )。质点沿曲线运动时，加速度的 方向总是指向曲线凹的一边；依题意，质点的切向加速度与线速度反向；电场强度E的方向即为质点在该点加速度a的方向，将a分解为切向加速度与法向加速度提示：D7-3题图7-3如7-3题图所示，闭合曲面S内有点电荷q，P为S面上一点，在S面外A 点有点电荷，若将移至B点，则（）(A)穿过S面的电通量改变、P点的电场强度不变；(B)穿过S面的电通量不变，P点的电场强度改变；(C)穿过S面的电通量和P点的电场强度都不变；(D)穿过S面的电通量和P点的电场强度都改变。提示：B7-4 在真空中有A、B两块板，板面积为S，分别带有电量、，相距为d，若忽略边缘效应，则两板间的相互作用力为多少？解：A板上的电荷在B板产生的场中，。因此，A板上的电荷所受的电场力为：同理：这是一对作用力与反作用力。7-5 在一个等边三角形的三个顶角处各放置一个电荷，电荷的大小和性质都相同，如果以这三角形的中心为球心，作一个包围这三个电荷的球形高斯面，问：(1)能否利用高斯定理求出它们所产生的场强?(2)高斯定理是否仍然成立?提示：(1)不能，由带电体所产生的静电场中，若场中场强的分布具有对称性(轴对称、平面对称、球面对称)，则可应用高斯定理求场强因为在对称性的电场中，可作高斯面，使场强E在高斯面上等值。 (2)仍然成立。7-6如果通过闭合面S的电通量为零，能否肯定S面的场强处处为零?提示：不能，只能说明场强的能量为零，不能认为场强处处为零。7-7在带电量Q(Q0)的物体A附近放置一个不带电的导体B，试判断带电体A的电位VA、导体B的电位VB、无穷远处的电位的大小关系。77题图提示：如77题图所示， 导体B的电位将升高。原来B不带电，电位为零，当A移近时，在B上靠近A的一端感应出负电荷，此负电荷与A上的正电荷相联系。在B上远离A的一端感应出正电荷，此正电荷发出的电力线伸向无限远。取，由于电力线总是从电位高处指向电位低处，可知此时B的电位大于零，即电位升高了。7-8导体空腔内有点电荷，空腔内任一点的电势与空腔电势相同吗? 为什么?提示：由高斯定理可分别求出空腔及内外的电场，再由电势的定义式可知，空腔内任一点的电势与空腔电势不相同。7-9关于静电场中的电位移矢量线，下列说法中，正确的是( )。A、起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断；B、任何两条电位移矢量线互相平行；C、起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移矢量线在无自由电荷的空间不相交；D、电位移矢量线只出现在有电介质的空间。提示：C。电位移线起于正自由电荷，止于负自由电荷，通过介质时不中断。7-10题图7-10在边长为a的正六角形的六个顶点都放有电荷，如7-10题图所示，则六角形中心O处的电场强度为多少？ 解：如7-10