2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）（数学理）

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分其中第卷第2224题为选考题，其他题为必考题第卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x|2，xR，Bx|4，xZ，则AB()A(0,2)B0,2C0,2 D0,1,2解析：Ax|2x2，xR，Bx|0x16，xZ，ABx|0x2，xZ0,1,2答案：D2已知复数z，是z的共轭复数，则z()A. B.C1 D2解析：z，z|z|2.答案：A3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：y，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.答案：A4如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()解析：法一：(排除法)当t0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t或t时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.法二：由题意知P(2cos(t)，2sin(t)，P点到x轴的距离为d|y0|2|sin(t)|，当t0时，d；当t时，d0.故选C.答案：C5已知命题p1：函数y2x2x在R为增函数p2：函数y2x2x在R为减函数则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3Cq1，q4 Dq2，q4解析：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；q1：p1p2是真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(綈p1)p2为假命题，q4：p1(綈p2)为真命题真命题是q1，q4.答案：C6某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200C300 D400解析：记“不发芽的种子数为”，则B(1 000,0.1)，所以E1 0000.1100，而X2，故EXE(2)2E200.答案：B7如果执行如图的框图，输入N5，则输出的数等于()A. B.C. D.解析：由框图知：k1时，S0；k2时，S；当k3时，S；当k4时，S；满足条件k5，故还需进行下一步运算，当k5时，S(1)()()1，不满足条件k0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析：当x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.答案：B第卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13设yf(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足yif(xi)(i1,2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为_解析：由均匀随机数产生的原理知：在区间0,1满足yif(xi)的点都落在了函数yf(x)的下方，又因为0f(x)1，所以由围成的图形的面积是，由积分的几何意义知f(x)dx.答案：14正视图为一个三角形的几何体可以是_(写出三种)解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形答案：三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分)15过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_解析：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意知：，解之得：a3，b0，r，所以圆的方程是：(x3)2y22.答案：(x3)2y2216在ABC中，D为边BC上一点，BDCD，ADB120，AD2.若ADC的面积为3，则BAC_.解析：由ADB120知ADC60，又因为AD2，所以SADCADDCsin603，所以DC2(1)，又因为BDDC，所以BD1，过A点作AEBC于E点，则SADCDCAE3，所以AE，又在直角三角形AED中，DE1，所以BE，在直角三角形ABE中，BEAE，所以ABE是等腰直角三角形，所以ABC45，在直角三角形AEC中，EC23，所以tanACE2，所以ACE75，所以BAC180754560.答案：60三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)由已知得，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1，而a12，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1从而22Sn123225327n22n1得(122)Sn2232522n1n22n1.即Sn(3n1)22n1218(本小题满分12分)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E(，0)可得(，n)，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C(，0,0)，D(0，0)，E(，0)，P(0，0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)由(1,0，1)，可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.19(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为14%.(2)K29.967.由于9.9676.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好20(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc, 其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1| .得a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.21(本小题满分12分)设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解：(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)，从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0，ln2a)时， f(x)0，而f(0)0，于是当x(0，ln2a)时，f(x)0，综合得a的取值范围为(，请考生在第22、23、24三题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一题记分22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明：(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，)(2)C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(