复变函数与积分变换12节

第一章 付立叶变换 积分变换 Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式) 1 Fourier积分 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时 间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). t 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发 现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列 的三角函数的线性组合来逼近.- Fourier级数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内 的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化 的情况. 利用Eular公式,可将其写为复数形式 t cos wwww- -+ j ee tn ee tn jntjntjntjn 2 sin, 2 ww= 对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个 周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f (t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t). 对非周期函数 可视为以T为周期的函数当 时的极限,即 则 定理:(付氏积分定理)设 在 满足条件 (1) 在任意有限区间上满足狄氏条件； (2) 收敛，即 绝对可积。 则在 的连续点有 而在 的间断点有 注意：这里的广义积分均在主值意义下收敛。即 可将上面的付氏积分公式写成三角形式 为 的偶函数 为 的奇函数 而 这是付氏积分公式三角形式 这是付力叶正弦积分公式 这是付力叶余弦积分公式 例 1 求矩形脉冲函数 的积分表达式。 2 付立叶变换 定义：在付氏积分公式中，令 则 . 称 为 的付氏变换，记为 , 称为 F 的象函数。称为 的付氏逆变换，记为F称为 的 象原函数。 和 称为一个付氏变换对。 付力叶正弦积分公式 这是f(t)的付力叶正弦变换式 这是F(w)的付力叶正弦逆变换式 这是f(t)的付力叶余弦变换式 这是F(w)的付力叶余弦逆变换式 付力叶余弦积分公式 解： F 例1：设 称为指数衰减函数，求其 付氏变换及积分表达式。 f (t) F 由此可得一个含参变量的广义积分 例2：求钟形脉冲函数 的付氏变换及积分 表达式。 F 解： 如取所示积分路径 由于 为解析函数 故 而 同理 因此 从而 F F 可得一个含参变量的广义积分 求其正弦变换及余弦变换。 例3 解 ： 2、单位脉冲函数及其付氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数 . 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生 的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后 的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍 的单位脉冲函数. 在原电流为0的电路中，某一瞬时 进入一个 单位电量的脉冲。现在要确定电路中的电流强度 以 表示该电路中的电荷函数，则 而 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导 数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 则得 则 这表明在通常意义下的函数类中，找不到一个函数用 来表示上述电路中的电流强度。为确定上述电流强度 须引进一个新的函数称为Dirac函数，简记为 函数 这是一个广义函数。不能用值对应关系确定。 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的 量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲 技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布 的量那样, 以统一的方式加以解决. 定义：对任何一个无穷可微的函数 ，如果满足 其中 则称 的弱极限为 函数，记为 按此定义有 工程上，常将 函数称为单位脉冲函数。并用长度为 1的有向线段表示。线段的长度表示 函数的积分值 称为 函数的强度. 函数具有重要的性质:筛选性 一般地 对无穷次可微函数 有(*) 函数按(*)可以方便的求出 的付氏变换 F 可见单位脉冲函数 与 1 构成一付氏变换对. 而 与 构成一付氏变换对. 注:这里将 的付氏变换仍写成古典形式.但这里的 广义积分 应理解为 .并不 是普通意义下的积分值.因此, 的付氏变换实际上 是一种广义付氏变换. 工程技术中许多重要的函数都不满足绝对可积性 如:常数、符号函数、单位脉冲函数、正弦余弦函数 等。然而它们的广义付氏变换是存在的，可以利用单 位脉冲函数及其付氏变换求出它们的付氏变换。 例4:证明单位阶跃函数 的付氏变换为 证明：则按付氏逆变换可得 F 故 即 因此 与 构成一付氏变换对，从而单 位阶跃函数 可写为积分形式 同理，当 时，则 F 所以1与 是一付氏变换对。同样 和 也构成一付氏变换对。 F 由此可得 它们都在 意义下成立 例5:求 的付氏变换 解： F t pp -w0w0O