浙江省嘉兴市2015-2016学年高二下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷 一、选择题（每题 4 分） 1直线 2x+2y 1=0 的倾斜角为（ ） A 45 B 60 C 135 D 150 2已知直线 y+6=0 和直线 x+（ a 1） y+1=0 相互垂直，则 a 的值为（ ） A 1 B C 1 D 或 1 3直线 l 经过点 A（ 1， 2），在 y 轴上的截距的取值范围是（ 2， 3），则其斜率 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B（ 1， ） （ 1， +） C（ ， 1） （ 4， +） D（1， 4） 4若直线 3x 4y+12=0 与两坐标轴交点为 A、 B，则以 直径的圆的方程是（ ） A x2+x 3y=0 B x2+4x 3y=0 C x2+x 3y 4=0 D x2+4x 3y+8=0 5已知点 P（ 点 A（ 1， 2）在直线 l： 3x+2y 8=0 的异侧，则（ ） A 30 B 30 C 38 D 38 6若点 A（ 2， 3）是直线 =0 和 =0 的公共点，则相异两点（ （ 确定的直线方程是（ ） A 2x 3y+1=0 B 3x 2y+1=0 C 2x 3y 1=0 D 3x 2y 1=0 7设 A、 B 是抛物线 x 上异于原点的不同两点，则 的最小值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 8设直线 l 过双曲线 的一个焦点，且与双曲线相交于 A、 B 两点，若以 直径的圆与 y 轴相切，则 |值为（ ） A 1+ B 1+2 C 2+2 D 2+ 9如图，椭圆 的右焦点为 F，直线 l 不经过焦点，与椭圆相交于点 A， B，与 ，则 面积之比是（ ） A | | B | | C D 10过点 P（ 1， 2）的动直线交圆 C： x2+ 于 A， B 两点，分别过 A， B 作圆 C 的切线，若两切线相交于点 Q，则点 Q 的轨迹为（ ） A直线的一部分 B圆的一部分 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 第 2 页（共 16 页） 二、填空题（每题 3 分） 11两平行直线 x+2y 1=0 和 x+2y+4=0 之间的距离是 12若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+x 4y=0 的圆心，则 a 的值为 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 14已知双曲线 的一个焦点是（ ， 0），则其 渐近线方程为 15直线 1 m） y+2m 2=0（ m R）恒过定点 P，则点 P 的坐标为 16点 P 在圆 x 4） 2+（ y 2） 2=9，点 Q 在圆 x+2） 2+（ y+1） 2=4 上，则 |的最小值是 17已知抛物线 y=焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线相交于 A， B 两点，若 |4，则弦 中点到 x 轴的距离等于 18已知双曲线 =1（ a 0， b 0）， c， 0）是左焦点，圆 x2+y2=双曲线左支的一个交点是 P，若直线 双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题 19已知 三边 在的直线方程分别为 3x 4y+7=0， 2x+3y 1=0，5x y 11=0 （ 1）求顶点 A 的坐标； （ 2）求 上的高所在直线的方程 20平面直角坐标系中有 A（ 0， 1）， B（ 2， 1）， C（ 3， 4）， D（ 1， 2）两点 （ 1）求证： A， B， C， D 四点共面； （ 2）记（ 1）中的圆的圆心为 M，直线 l： 2x y 2=0 与圆 M 相交于点 P、 Q，求弦长 21如图，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 心率为 ，点 A 是椭圆 C 上任意一点，且 周长为 2（ +1） （ 1） 求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若动点 B 在直线 l： y= 上，且 O 到直线 距离为 d（ A， B），求证： d（ A， B）为定值 22如图，已知抛物线 x，过点 P（ 2， 0）作斜率分别为 两条直线，与抛物线相交于点 A、 B 和 C、 D，且 M、 N 分别是 中点 第 3 页（共 16 页） （ 1）若 k1+， ，求线段 长； （ 2）若 k1 1，求 积的最小值 第 4 页（共 16 页） 2015年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 4 分） 1直线 2x+2y 1=0 的倾斜角为（ ） A 45 B 60 C 135 D 150 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系求出答案 【解答】 解：由 2x+2y 1=0 得 y= x+ ， 直线 2x+2y 1=0 的斜率是 1， 则直线 2x+2y 1=0 的倾斜角是 135， 故选 C 2已知直线 y+6=0 和直线 x+（ a 1） y+1=0 相互垂直，则 a 的值为（ ） A 1 B C 1 D 或 1 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 当 a=1 时，经检验，两直线不垂直；当 a 1 时，由斜率之积等于 1 可得= 1，解得 a 值 【解答】 解：当 a=1 时，直线 x+2y+6=0，直线 x+1=0，显然两直线不垂直 当 a 1 时，由斜率之积等于 1 可得 = 1， 解得 a= 故选 B 3直线 l 经过点 A（ 1， 2），在 y 轴上的截距的取值范围是（ 2， 3），则其斜率的取值范围是（ ） A（ 1， ） B（ 1， ） （ 1， +） C（ ， 1） （ 4， +） D（1， 4） 【考点】 直线的斜率 【分析】 设直线方程为 y 2=k（ x 1），求出直线在 y 轴上的截距，利用直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是（ 2， 3），即可求出斜率的取值范围 【解答】 解：设直线方程为 y 2=k（ x 1）， 令 x=0，可得 y=2 k 直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是（ 2， 3）， 2 2 k 3， 1 k 4 故选： D 第 5 页（共 16 页） 4若直线 3x 4y+12=0 与两坐标轴交点为 A、 B，则以 直径的圆的方程是（ ） A x2+x 3y=0 B x2+4x 3y=0 C x2+x 3y 4=0 D x2+4x 3y+8=0 【考点】 圆的标准方程 【分析】 先求出 A、 B 两点坐标， 直径的圆的圆心是 中点，半径是 一半，由此可得到圆的方程 【解答】 解：由 x=0 得 y=3，由 y=0 得 x= 4， A（ 4， 0）， B（ 0， 3）， 以 直径的圆的圆心是（ 2， ），半径 r= ， 以 直径的圆的方程是 ， 即 x2+x 3y=0 故选 A 5已知点 P（ 点 A（ 1， 2）在直线 l： 3x+2y 8=0 的异侧，则（ ） A 30 B 30 C 38 D 38 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 根据点 P（ 点 A（ 1， 2）在直线 l： 3x+2y 8=0 的异侧结合二元一次不等式（组）与平面区域可 知，将两点的坐标代入直线方程式的左式，得到的值符号相反 【解答】 解：将点的坐标代入直线的方程，得： 38； 3 1+2 2 8， 点 P（ 点 A（ 1， 2）在直线 l： 3x+2y 8=0 的异侧， （ 38）（ 3 1+2 2 8） 0， 即： 38 0 故选 D 6若点 A（ 2， 3）是直线 =0 和 =0 的公共点，则相异两点（ （ 确定的直线方程是（ ） A 2x 3y+1=0 B 3x 2y+1=0 C 2x 3y 1=0 D 3x 2y 1=0 【考点】 直线的两点式方程；两条直线的交点坐标 【分析】 把点 A（ 2， 3）代入线 =0 和 =0 的方程，发现点（ （ 在同一条直线 2x 3y+1=0 上， 从而得到点（ （ 确定的直线方程 【解答】 解： A（ 2， 3）是直线 =0 和 =0 的公共点， 23=0，且 23=0， 两点（ （ 在同一条 直线 2x 3y+1=0 上， 故 点（ （ 确定的直线方程是 2x 3y+1=0， 答案选 A 7设 A、 B 是抛物线 x 上异于原点的不同两点，则 的最小值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 第 6 页（共 16 页） 【分析】 设直线 方程为 x=my+t，代入抛物线方程，消去 x，得到 y 的方程，设 A（ ， B（ ， 运用韦达定理和判别式大于 0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为 t 的函数，由配方即可得到所求最小值 【解答】 解：设直线 方程为 x=my+t， 代入抛物线 x，可得 22t=0， 由题意可得 =4t 0，且 t 0， 设 A（ ， B（ ， 则 y1+m， 2t， 可得 = +2t=（ t 1） 2 1， 当 t=1 时， 取得最小值 1 故选： B 8设直线 l 过双曲线 的一个焦点，且与双曲线相交于 A、 B 两点，若以 直径的圆与 y 轴相切，则 |值为（ ） A 1+ B 1+2 C 2+2 D 2+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的焦半径公式求出 A（ B（ 距离，根据以 y 轴相切，得到 x1+ （ x1+ 2，代入坐标后整理即可得到线段 长 【解答】 解：双曲线方程为 ， ， 0）， e= 设 A（ B（ 由双曲线的焦半径公式得： |a= 1， |a= 1， 以 直径的圆与 y 轴相切， x1+ （ x1+ 2 |x1+=2+2 故选： C 9如图，椭圆 的右焦点为 F，直线 l 不经过焦点，与椭圆相交于点 A， B，与 ，则 面积之比是（ ） 第 7 页（共 16 页） A | | B | | C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 根据椭圆的性质，求得 a、 b 和 c 的值及焦点坐标，设出 A 和 B 的坐标，将三角形的面积关系转化为 ，根据椭圆的第二定义求得 关系，即可求得答案 【解答】 解：椭圆 ， ， ， ， 焦点 F（ ， 0）， 令 A（ B（ = = ， 椭圆的右准线： x= ， = ， = ， AF=a =1 ， BF=a =1 ， =1 =1 = = =丨 丨， 故答案选： A 第 8 页（共 16 页） 10过点 P（ 1， 2）的动直线交圆 C： x2+ 于 A， B 两点，分别过 A， B 作圆 C 的切线，若两切线相交于点 Q，则点 Q 的轨迹为（ ） A直线的一部分 B圆的一部分 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据圆的对称性可得， Q 点是经过 C 点垂直于 直线与过 A 点切线的交点由此设 A（ m， n）， Q（ x， y），根据圆的切线的性质与直线斜率公式，分别求出直线 个方程消去 m、 n 得关于 x、 y 的一次方程，即为点 Q 轨迹所在直线方程，再根据图形可得直线与圆 C 相交而 Q 不可能在圆上或圆内，可得 Q 轨迹是直线的一部分 【解答】 解：设 A（ m， n）， Q（ x， y），根据圆的对称性可得， Q 点是经过 C 点垂直于 点切线的交点， 圆 x2+ 的圆心为 C（ 0， 0） 切线 斜率为 = ， 得 程为 y n= （ x m），化简得 y=x+ 又 直线 斜率 ， 直线 斜率 ， 得直线 程为 y= x 联立，消去 m、 n 得 x 2y+3=0，即为点 Q 轨迹所在直线方程 由于直线 x 2y+3=0 与圆 C： x2+ 相交， 直线位于圆上或圆内的点除外 故选： A 二、填空题（每题 3 分） 11两平行直线 x+2y 1=0 和 x+2y+4=0 之间的距离是 【考点】 两条平行直线间的距离 【分析】 直接利用平行线之间的距离公式求解即可 【解答】 解：两平行直线 x+2y 1=0 和 x+2y+4=0 之间的距离是 d= = 故答案为： 12若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+x 4y=0 的圆心，则 a 的值为 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线 3x+y+a=0 上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】 解： 圆 x2+x 4y=0 的圆心是（ 1， 2） 圆心在直线 3x+2y+a=0 上， 3+2+a=0， a=1 故答 案为： 1 第 9 页（共 16 页） 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 B 时， 直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大，且 B（ 2， 1） 将 B（ 2， 1）的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2 2+1=5即 z=2x+y 的最大值为 5 故答案为： 5 14已知双曲线 的一个焦点是（ ， 0），则其渐近线方程为 y= 2x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的标准方程借助焦点坐标建立方程即可 【解答】 解：双曲线的标准方程为 =1， 双曲线 的一个焦点是（ ， 0）， 焦点在 x 轴上， 则 c= ， ， 0， 则 1+ =， 第 10 页（共 16 页） 即 =4，即 ， b=2， 则双曲线的渐近线方程为 y= x= 2x， 故答案为： y= 2x 15 直线 1 m） y+2m 2=0（ m R）恒过定点 P，则点 P 的坐标为 （ 0， 2） 【考点】 恒过定点的直线 【分析】 直线 1 m） y+2m 2=0 可化为 y 2+m（ x y+2） =0，根据 x=0， y=2 时方程恒成立，可知直线过定点 P 的坐标 【解答】 解：直线 1 m） y+2m 2=0 可化为 y 2+m（ x y+2） =0， 得 ，解得 x=0， y=2 直线 1 m） y+2m 2=0（ m R）恒过定点 P（ 0， 2） 故答案为：（ 0， 2） 16点 P 在圆 x 4） 2+（ y 2） 2=9，点 Q 在圆 x+2） 2+（ y+1） 2=4 上，则 |的最小值是 3 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 分别找出两圆的圆心的坐标，以及半径 r 和 R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离 d，根据 d 大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又 P 在圆 ， Q 在圆 ，由 d（ R+r）即可求出 | |的最小值 【解答】 解： 圆 x 4） 2+（ y 2） 2=9 的圆心坐标 4， 2），半径 r=3， 圆 x+2） 2+（ y+1） 2=4 的圆心坐标 2， 1），半径 R=2， d=| 2+3=R+r， 两圆的位置关系是外离， 又 P 在圆 ， Q 在圆 ， 则 | |的最小值为 d（ R+r） =3 故答案为： 3 17已知抛物线 y=焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线相交于 A， B 两点，若 |4，则弦 中点到 x 轴的距离等于 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦 中点到准线的距离，进而可求弦 中点到 y 轴的距离 【解答】 解：由题意，抛物线 y=焦点坐标为（ 0， ），准线方程为 y= ， 根据抛物线的定义， |4， A、 B 到准线的距离和为 4， 弦 中点到准线的距离为 2 第 11 页（共 16 页） 弦 中点到 y 轴的距离为 2 = ， 故答案为： 18已知双曲线 =1（ a 0， b 0）， c， 0）是左焦点，圆 x2+y2=双曲线左支的一个交点是 P，若直线 双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ， +） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设直线 方程为 y=k（ x+c），由直线和圆相交，可得 k 不为 0，求得圆和双曲线的交点 P，运用两点的斜率公式，由题意可得 k ，解不等式可得 b 2a，结合离心率公 式计算即可得到所求范围 【解答】 解：设直线 方程为 y=k（ x+c），即 y+， 由直线和圆有交点，可得 c， 解得 k 0 联立圆 x2+y2=双曲线方程 =1， 解得交点 P，设为（ ， ） 可得 k= 0， 由题意可得 k ， 结合 a2+b2= a 化简可得 b 2a，即有 4 可得 5 即有 e= 故答案为：（ ， +） 第 12 页（共 16 页） 三、解答题 19已知 三边 在的直线方程分别为 3x 4y+7=0， 2x+3y 1=0，5x y 11=0 （ 1）求顶点 A 的坐标； （ 2）求 上的高所在直线的方程 【考点】 待定系数法求直线方程 【分析】 （ 1）把直线方程联立解得交点 A 的坐标； （ 2）设 上的高所在直线的方程为 3x 2y+m=0，代入点 A，求出 m，即可得出 上的高所在直线的方程 【解答】 解：（ 1）由条件 得 x=3， y=4， 所以 A（ 3， 4）； （ 2）设 上的高所在直线的方程为 3x 2y+m=0， A 代入可得 9 8+m=0， 所以 m= 1， 所以 上的高所在直线的方程为 3x 2y 1=0 20平面直角坐标系中有 A（ 0， 1）， B（ 2， 1）， C（ 3， 4）， D（ 1， 2）两点 （ 1）求证： A， B， C， D 四点共面； （ 2）记（ 1）中的圆的圆心为 M，直线 l： 2x y 2=0 与圆 M 相交于点 P、 Q，求弦长 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）设 出圆的一般式方程，由 A， B， C 的坐标求出过 A， B， C 的圆的方程，代入 D 的坐标成立，说明 A， B， C， D 四点共圆； （ 2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由垂径定理得答案 【解答】 证明：（ 1）由已知，过点 A（ 0， 1）， B（ 2， 1）， C（ 3， 4）的圆的方程为： x2+x+=0， 则 ， 解得 第 13 页（共 16 页） x2+2x 6y+5=0，将 D（ 1， 2）代入，适合方程， 点 D 在圆 x2+2x 6y+5=0 上，即 A， B， C， D 四点共圆； 解：（ 2） 圆 M 的方程为：（ x 1） 2+（ y 3） 2=5， 圆心 M（ 1， 3）到直线 l： 2x y 2=0 的距离 d= ， 弦长 |2 21如图，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 心率 为 ，点 A 是椭圆 C 上任意一点，且 周长为 2（ +1） （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若动点 B 在直线 l： y= 上，且 O 到直线 距离为 d（ A， B），求证： d（ A， B）为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得： = ， a2=b2+2a+2c=2 ，联立解出即可得出 （ 2）设 A（ B ，由 得 =0， 分类讨论： 若 线 方程为： y = （ x 即