数学与应用数学专业毕业论文高中数学中的不等式

摘 要不等式是中学数学的基础和重要部分，是高中数学的重要工具，基于不等式的重要地位，笔者在导师的指导下就不等式的有关问题进行研究，搜集了大量资料，分别从不等式的性质、均值不等式、不等式的证明、解法、各种思想在不等式中的应用等方面对不等式做进一步的浅显的讲解。文中还针对大家在做不等式题时容易产生的错误进行举例与纠正。关键词：不等式 证明 错解AbstractInequality is Middle School mathematics foundation and an important part of the,Is an important tool for high school mathematics. Based on the important position of inequality, The author, under the guidance of an instructors inequality to study issues related to, Large amounts of data collected, Respectively from the nature of inequality、mean Inequality、Inequality proof solution、Inequality in a variety of ideas in the application of inequality in terms of further explaining the plain. The article also questions for you when you do Inequality prone to errors and to correct for example.Key words: Inequality proof Misunderstanding高中数学中的不等式中学不等式是重要内容，也是近年高考热点与教育者研究的热门知识，本文从不等式的各个方面进行讲解与研究。一、 不等式的性质1、 不等式的几条性质:A 对称性: B 传递性：C 同加性： D 乘法法则： E 倒数法则：F 乘方法则：且G 开方法则： 2、不等式性质应注意的几点内容 A 对于不等式的性质，不仅要了解性质的内容，还要掌握不等式性质是如何证明的。 B 要深入了解不等式的性质，特别要注意有些性质的逆命题是不成立的；有些性质成立的条件是充分必要的，有些是充分不必要的。如：对称性是充要的，传递性是充分不必要的。 C 运用不等式性质时注意不要弱化了条件，也不要强化条件，否则都会出现错误的结论。 3、典例分析 例1 比较与的大小 解 当 时， 当 时， 从而 例2 若 求的取值范围。分析 由，可以求出关于的不等式，利用的范围即可求出的取值范围。解 因此 从而 4、不等式性质的应用（作商法） 若和都是正数，则可通过作商法确定与的大小关系： 这种方法适合：含“幂“指数的不等式。 例 比较与的大小 分析 本题通过两个数的商与1比较确定两个数的大小 解 说明 对于“幂“指数形式不等式，往往采用作商比较，其一般步骤为 作商变形与1比较大小定论 5、性质的错用 在比较数或式的大小时，错用不等式的性质，或函数单调性而导致比较大小错误。 A误认为较大数的平方必然较大，较大数的倒数较大； B在应用若则，但却不成立； C放宽了不等式的基本性质中的条件，所以结论有失正确性； D在应用不等式性质时，有些是可逆的，易产生将非可逆定理当可逆定理使用。二、 算术平均数与几何平均数 1、 概念两个基本不等式：若，则，当且仅当时取等号 若，则，当且仅当时取等号两个基本不等式的区别在于使用条件上的差异，如果，那么叫做这两个正数的算术平均数，数叫做这两个正数的几何平均数。不等式说明了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，这一结论称之为“均值不等式”。2、 均值不等式应注意的几点内容A 均值不等式的功能在于“和与积”的互化。若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用均值不等式。构造运用均值不等式解题的技巧是拆添项或配凑因式。B “和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反之，若积为定值，则可求其和的最小值。应用此结论须注意各项或各因式均正；和或积为定值；各项或各因式能取得相等的值。必要时需做适当的变形，以满足上述前提。C 用均值不等式求函数的最大（小）值时有三个必要条件:一正（各项值为正）二定（和或积为定值）三相等（取等号的条件）。在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧。因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键。 3、典例欣赏 例一 已知：且，求证 证明 ， 说明 当且，即当时等号取到。 例二 已知，求的最小值。 解 且 由重要不等式可得， 当且仅当时上式取等号，即 又，且为定值， 当且仅当时，即时，等号成立 综上，当且仅当时，取最小值16 4、均值不等式的应用 利用重要不等式求最值是不等式应用的主要方面，通过变形，使和或积化为定值，是使用不等式求最值的基本技巧，在利用基本不等式求最值时，要注意变量的符号，特别应注意检验等号能否成立，否则就不能说取得了最值。 形如为模型的问题 A 当时，当且仅当，即时等号成立，而且时，单调递减，当单调递增，当时，取最小值。 B 当时，因为，时，为奇函数。所以当时，单调递增；当，单调递减；当时，在内取最大值为，但当应用上述结论时，必须是在点有意义。 例 求函数的最小值。 分析 本题是求函数的最小值，首先应把函数表达式化为积为定值的形式。 解 （当时取等号）当时，有最小值3 说明 本题中是依据得到的对应函数模型是，这个模型非常重要，要牢固掌握。 5、错解剖析 A 在使用重要不等式时，不注意条件的范围而产生错误。 例 求函数的最大、最小值示错 故有最大值为辨错 重要不等式成立的前提条件如时而本题没有注意的范围只是纠错 当时 时，有最大值 当时， 故当时，有最小值为3B 在运用重要不等式时，当且仅当等号成立条件应用不当，而产生错误。例 若求函数的最小值示错 且（常数）故所以最小值为4辨错 这个错解的原因出在解题时只考虑了一正二定，而第三个条件在时，与能否相等这没有验证，若相等，则，这是不可能的，所以最小值不可能为4。纠错 当且仅当，时取等号，故最小值为5C 在应用时，如不注意题目中所给的条件而应用重要不等式，很容易产生错解。例 若已知,求的最小值。示错 这样最小值为5辨错 当时，这是因为题设中并没有这一条件，因此未必大于0。纠错 设，则 且 结合一元二次函数的图象，可知 ，即时，函数有最小值1三 不等式的证明1、证明方法由于不等式的形式是多种多样的，所以证明方法也就不同。三个最重要的方法是比较法：主要是作差比较法和作商比较法，综合法，换元法。比较法难点是变形：变形的目的是为了判定差的符号，变形方法有：A变成几个因式的积，而各因式的符号是可以确定。B变成几个单项式和，最好各单项式同号。C配方法或应用一元二次函数的图象判定。综合法难点是：由因如何导果，应从已知找可知，逐步推向未知，分析法难点是怎样执果索因，应从未知找需知，逐步靠拢已知。换元法难点在于如何把已知变量改成所需要的变量应用此变量进行证明，注意变量的取值范围。为了扬长避短，实际证明题时比较好的方法有二：用分析思想去想，去找证题途径，用综合思想书写；用分析综合思想，即从欲知想需知，从已知推可知，双管齐下，两面夹击，逐步缩小知与求间的距离，沟通已知条件和结论。 2、方法应用比较法：由，因此证明只要证明即可。其一般步骤是“作差变形判断符号”，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差分的符号，经常将差分变为常数或一个常数与几个平方式和的形式或几个因式积的形式，当差分是二次三项式时，也可用判别式法来判断符号。综合法：是指从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过照顾部的逻辑推理，最后达到结论或需求的问题，常用的不等式有 A 若，则 B 若，则 C 若，则分析法：是指从需证明的不等式出发，分析这个不等式成立的条件，进而转化为判定那些条件是否具备，其特点是从未知看需知逐步靠拢已知，分析法的书写要严格按照“要证明，只需证明，即可证明”的写法，因为这不仅仅是一种格式，而是表明“后一步的成立能否保证前一步成立”。换元法：是数学中的基本方法，几乎到处可见，三角换元法有一定的规律性，问题中若已知，时，可设；。任意互换两个字母，代数式不变，则常用增量法进行换元，换元的目的是通过换元法达到减元的目的。 3、典例欣赏 例1 知，求证 分析 本题是关于与的关系形式的问题，因此在解题时应考虑 证明 同理 三式相加： 例2 设，且，求证： 分析 本题为条件不等式证明题，不等式左边含两个变量，可用已知换去一个 证明 为了证明， 只需证明 即证 即 显然成立，且以上推理步步可逆，所以成立。 例3 求证： 证明 设, 4、错解剖析 A 在应用不等式性质证明时出现错误 例 已知，求证： 示错 又 故不等式成立。 辨错 不等式具有性质，若，则，但却不成立，事实上这种证法是把分子和分母分别缩小了，显然分式的值不一定变小。 纠错 三式相加 B 在不等式证明时不注意题中所给的已知条件从而导致证题的错误 例 设，为偶数，证明： 示错 为偶数 又与同号 ，因此 C 在应用判别式时不注意二次项的系数只有不为零时才能应用而出现错误。 例 求函数的值域。 示错 原函数可化为 辨错 以上做法错在没有注意在应用一元二次方程判别式时必须保证二次项系数不为零，而是否为零没有讨论。 纠错 原函数可化为 当时，不存在值， 当时， 四 不等式的解法 1、各种不等式解法分析 A 简单的一元高次不等式的解法：用序轴标根法求解，其步骤是将最高次的系数化为正数、将分解为若干个一次因式的积、将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线、根据曲线显现出值的符号变化规律，写出不等式的解集。 B 分式不等式的解法：先将不等式整理成或的形式，化为整式不等式求解，即；， 。C 方程与不等式：不等式的解集一般说来可构成某一区间，而区间的端点恰为对应方程的根。所以说带有等号的不等式的解往往含有区间的端点，事实上这样的不等式就是不等式与方程的结合体。由于方程与不等式的密切关系，对于某些不等式问题，可借助方程的某些性质来解决这些问题。2、不等式应用 A 用不等式讨论方程的根的分布范围，具体的理论依据是以的判别式和的对称轴方程的形式确定的一元二次方程的实根的分布规律。 B 不等式在函数单调性问题中的应用主要表现是：根据函数的单调性去掉具体的或抽象的函数关系符号，使两个函数值的不等关系转化为俩个复合自变量的关系。 C 不等式的实际应用是指用不等式解决生产科研和日常生活中的实际问题。3、典例分析 例 解关于的不等式 解 当时，即或时，方程的两根为 不等式的解为或 当时，即时，不等式的解为 当时，即时，不等式的解为R。五 各种思想在不等式中的应用1、换元思想在不等式中的应用 换元思想广泛应用于解方程，不等式证明及解不等式之中。 例 已知，求证 证明 可设 于是 2、函数思想在不等式中的应用 例 设，证明： 分析 将不等式左边的两个变元看成常数，构成一次函数，解答本题。 证明 设整理得 ， （1）当时，在上是增函数于是 （2）当时，在上是减函数 于是 （3）当时，即时 综上得，原式成立。3、 分类讨论思想在不等式中的应用解含有字母系数的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论。分类讨论的原因大致有以下三种：A对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论。B对不等式作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论。C对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论。4、 等价转换的思想在不等式的应用等价转换的思想普遍应用在解不等式中，如解不等式一般可分为八类，一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式、无理不等式、含有绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式。不论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价变换，把它们最终归结为一元一次不等式或一元二次不等式的求解。由于不等式的解集是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根是无法由检验而予以剔除的。这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应该是超越不等式代数化，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式低次化。5、 数形结合思想在不等式中的应用 某些不等式的证明问题，来源于几何问题，又由于这些问题用代数方法解决有一定困难，所以又得针对这个不等式去构造几何模型，进行求解或证明。但此类问题需要有较好的几何基础，即熟悉几何问