关于置信区间与假设检验的研究.docx

关于置信区间与假设检验的研究摘要：关于置信区间与假设检验的问题主要从以下几个方面进行研究：定义，解决方法，在实际问题中的应用以及二者的区别与联系等。其中引入了许多数理统计中的思想，对解决实际问题有很大帮助。关键词：置信区间；假设检验；正态总体about confidence interval and hypothesis test researchabstract: about confidence interval and hypothesis testing problems mainly from the following aspects: definition, the solution actual problem, in the application and the difference and relationship, etc. the introduced many mathematical statistics of the thought, to solve practical problems are of great help.key words: confidence interval；hypothesis testing；normal population一引言置信区间与假设检验是统计推断的两类重要问题，在解决实际问题时都有着广泛的应用，二者既有区别又有联系，本文就置信区间与假设检验这两个问题进行探究，从而了解二者如何解决统计方面的问题，并简单归纳总结二者的区别与联系。二研究问题及成果 1置信区间1.1定义（注：置信区间的长度 -反映了估计精度，-越小, 估计精度越高； a 反映了估计的可靠度, a 越小, 越可靠，a 越小, 1- a 越大, 估计的可靠度越高,但这时, - 往往增大, 因而估计精度降低；a 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个）表示（如图a所示）， （a）1.2利用枢轴量法求置信区间是待估参数和统计量x的函数不含其他未知函数服从与未知参数无关的已知分布服从以上三条性质的量q称为枢轴量(或主元)利用枢轴量法求置信区间的步骤: 根据待估参数构造枢轴量q，一般可由未知参数的极大似然估计量改造得到对于给定的置信水平1-，利用枢轴量q的分布的上分位点求出常数a，b，使（，比如取a，b分别为q的上1- /2和上/2分位点估计的精度最高。）利用不等式的恒等变形，将中不等式变形即可得到置信区间1.31.31（1）方差枢轴量q=，则置信度为1-的置信区间为因为，且所以由有（见图b） 图（b）标准正态分布的双侧分位点再由置信区间定义可知，即为所求均值的置信度为1-的置信区间，常写成例：已知某种灯泡的寿命x（单位：小时）服从正态分布n (,8).现从这批灯泡中取10个，测得其寿命分别为1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200若=0.05，试求期望的置信区间。解：由样本得x=1147，n=10，=0.05，查表得z/2=z0.05=1.96.由于2已知，故的置信区间为，即1147-+1.75即（1145.25,1148.75）为所求置信区间方差由于2未知，故考虑到s2是2的无偏估计，将中的，则，（参见图c）图（c）t分布的双侧分位点即 例. 由式（2）方差2的置信区间均值已知 ，取枢轴量 q=i=1n(xi-)22(n)由概率 p21-2(n)i=1n(xi-)2222(n)1-得 s 2 的置信度为1- 得2的置信度为1-的置信区间为 i=1n(xi-)222n,i=1n(xi-)221-2(n) 均值未知因为，即得（参见图d）图（d）2分布的双侧分位点例求例3中1.3.2(x1,x2,xn)为取自总体n(1,12)的样本，(y1,y2,yn)为取自总体n(2,22)的样本,x,s12; y,s22分别表示两样本的均值与方差，置信度为1-(1) 或，取其 均为未知，但此时 取均为未知，但m，n50则12n+22ms12n+s22m ，推出x-y-(1-2)s12n+s22mn(0,1)因为x, y相互独立，因此1-2的置信区间为x-y+z2s12n+s22m均为未知，但n=m令zi=xi=yi,i=1,2，n,可以将它们看成来自正态总体zn（1+2，12+22）的样本z=x-y，sz2=1n-1i=1nxi-yi-(x-y)2仿单个正态总体公式x-t2(n-1)sn, x+t2(n-1)sn此时1-2的置信区间为(x-y)+t2(n-1)szn（2）在下，即1.4非正态总体均值的区间估计若总体 x 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视xn(,2n)若2已知，则的置信度为1-的置信区间可取为x+z2n若2未知，则的置信度为1-的置信区间可取为x+t2sn1.5例：2假设检验2.1定义假设检验是推论统计的重要内容，是先对总体的未知数量特征作出某种假设，然后抽取样本，利用样本信息对假设的正确性进行判断的过程。2.2基本思想小概率反证法思想。小概率思想是指小概率事件（p0.01或p1227.因方差未知，用t检验法，这时拒绝域x-0snt（n-1）其中n=5，t（n-1）=t0.05（4）=2.1384.由样本得x=1259，s2=142.5代入可得to-3.3722.1348因此接受ho，即认为测量值不大于12772.9.2设两个总体xn(1,12),yn(2,22)相互独立,(x1,x2,xn1)与(y1,y2,yn2)是分别来自x与y的两个样本.样本均值分别为:,样本方差分别为:,.方差12、22未知，但12=22选用统计量,例：解：2.9.3例：2.102.10.1例：2.10.2得检验问题的拒绝域为33.1区别区间估计通常求得的是以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验以假设总体参数值为基准，不仅有双侧检验也有单侧检验；区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（置信水平）1-去保证总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平去检验对总体参数的先验假设是否成立。3.2联系区间估计与假设检验都是根据样本信息对总体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的可信程度或风险。对同一问题的参数进行推断，二者使用同一样本、同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。区间估计问题可以转换成假设问题，假设问题也可以转换成区间估计问题。区间估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区域，置信区间以外的区域就是假设检验中的拒绝域。3 结束语以上对置信区间与假设检验问题所进行的研究是基于数理统计的思想，置